解析版：浙江省宁波市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）.doc

2015年浙江省宁波市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（） A y=x1 B y=（）x C y=x+ D y=ln（x+1）2设aR，则“a=”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+a（a+1）y+4=0垂直”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件3将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如图所示，则该几何体的正视图为（） A B C D 4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A m，n，且，则mn B m，n，且，则mn C m，n，mn，则 D m，n，m，n，则5已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB的中点到y轴的距离为（） A 4 B 5 C 6 D 116将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则的最小值为（） A B C D 7在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x24x+y2=0（2x4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上，当=20时，点C的轨迹为（） A 椭圆一部分 B 抛物线一段 C 线段 D 圆弧8已知点（x，y）的坐标满足条件，且x，y均为正整数若4xy取到最大值8，则整数a的最大值为（） A 4 B 5 C 6 D 7二、填空题：本大题共7小题前4题每空3分，后3题每空4分，共36分9已知集合A=x|（x2）（x+5）0，B=x|x22x30，全集U=R，则AB=，A（UB）=10已知，则tan的值是，cos2的值是11已知f（x）=，则f（3）=；若关于x的方程f（x）=ax+1恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为12设Sn为数列an的前n项和，a1=1，a2=3，Sk+2+Sk2Sk+1=2对任意正整数k成立，则an=，Sn=13设P为双曲线=1（a0，b0）在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若A，B始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率e的取值范围为14已知，若|=，则与夹角的余弦值的最小值等于15若对任意R，直线l：xcos+ysin=2sin（+）+4与圆C：（xm）2+（ym）2=1均无公共点，则实数m的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan（）求角C的大小；（）已知ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积17如图，正四棱锥SABCD中，SA=AB，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点设P为线段FG上任意一点（）求证：EPAC；（）当直线CP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角PBDS的平面角的余弦值18如图，F是椭圆=1（ab0）的左焦点，椭圆的离心率为A，B为椭圆的左顶点和上顶点，点C在x轴上，BCBF，BCF的外接圆M恰好与直线l1：x+y+3=0相切（）求椭圆的方程；（）过点C的直线l2与已知椭圆交于P，Q两点，且=4，求直线l2的方程19已知m为实数，且m，数列an的前n项和Sn满足Sn=+m（）求证：数列an3n+1为等比数列，并求出公比q；（）若an15对任意正整数n成立，求证：当m取到最小整数时，对于n4，nN，都有20设函数f（x）=x|xa|+b，a，bR（）当a0时，讨论函数f（x）的零点个数；（）若对于给定的实数a（1a0），存在实数b，使不等式x对于任意x2a1，2a+1恒成立试将最大实数b表示为关于a的函数m（a），并求m（a）的取值范围2015年浙江省宁波市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（） A y=x1 B y=（）x C y=x+ D y=ln（x+1）考点： 函数单调性的判断与证明；函数的单调性及单调区间专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数解析式得出判断单调区间，即可判断即可解答： 解：y=x1在区间（0，+）上为减函数，y=（）x是减函数，y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+）上为，增函数，y=lnx在区间（0，+）上为增函数，A，B，C不正确，D正确，故选：D点评： 本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间2设aR，则“a=”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+a（a+1）y+4=0垂直”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 集合分析： 通过讨论a的范围，求出两直线垂直的充分必要条件，从而得到答案解答： 解：a=0时，l1：y=，l2：x=4，两直线垂直；a=1时，l1：y=x+，l2：x=4，两直线不垂直；a1且a1时，l1：y=x+，l2：y=x，若两直线垂直，则=1，解得：a=，综上，直线l1 和l2垂直的充要条件是a=0或a=，故“a=”是“直线l1：ax+2y1=0与直线l2：x+a（a+1）y+4=0垂直”的充分不必要条件，故选：A点评： 本题考查了充分必要条件，考查直线垂直的性质，是一道基础题3将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如图所示，则该几何体的正视图为（） A B C D 考点： 简单空间图形的三视图专题： 作图题；空间位置关系与距离分析： 从俯视图与侧视图分析，得出去掉的长方体的位置应该在的方位，即可得出结论解答： 解：由俯视图与侧视图可知去掉的长方体在原长方体的内侧与右上方，故几何体的正视图为：C故选：C点评： 本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A m，n，且，则mn B m，n，且，则mn C m，n，mn，则 D m，n，m，n，则考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择解答： 解：对于A，m，n，且，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n与垂直，又n，得到nn，又m，得到mn，所以mn；故A正确；对于B，m，n，且，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m，n，mn，则与可能平行；故C错误；对于D，m，n，m，n，则与可能相交；故D错误；故选：A点评： 本题考查了线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是由已知条件，正确运用定理的条件进行判断5已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB的中点到y轴的距离为（） A 4 B 5 C 6 D 11考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离解答： 解：F是抛物线y2=4x的焦点，F（1，0），准线方程x=1，设A（x1，y1），B（x2，y2）|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=12，即有x1+x2=10，线段AB的中点横坐标为（x1+x2）=5，线段AB的中点到y轴的距离为5故选：B点评： 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键6将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则的最小值为（） A B C D 考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的最小值解答： 解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，可得函数y=2sin2（x）+=2sin（2x+2）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+2）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得+2=k+（kz），即= kz，的最小值为 ，故选：D点评： 本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x24x+y2=0（2x4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上，当=20时，点C的轨迹为（） A 椭圆一部分 B 抛物线一段 C 线段 D 圆弧考点： 轨迹方程专题： 计算题；平面向量及应用分析： 设出C点坐标，把A的坐标用表示，得到|OA|，结合中结论求出C的横坐标为定值5，进一步求出C的纵坐标的范围，则点C的轨迹可求解答： 解：设C（x，y），A（2+2cos，sin），其中，则xOC=|OA|2=（2+2cos）2+（2sin）2=8（1+cos）=16，|OA|=4cos由得：|OC|cos=5，x=|OC|cos=5从而y=|OC|sin=5tan5，5故点C的轨迹是一条线段，其两个短点的坐标分别为A（5，5），B（5，5）故选：C点评： 本题考查了轨迹方程，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是利用平面几何知识把未知长度的式子转化为已知长度的式子，是中档题8已知点（x，y）的坐标满足条件，且x，y均为正整数若4xy取到最大值8，则整数a的最大值为（） A 4 B 5 C 6 D 7考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 由题意作出可行域，求出图中C的坐标，显然C不是整解，把C的坐标代入不等式4xy8，求出a的范围，然后验证得答案解答： 解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即C（），C（）不是整解，解得：a，当a=4时，C（），此时可行域内无整解，使得目标函数z=4xy取到最大值8，当a=5时，C（），此时可行域内有整解（4，8），使得目标函数z=4xy取到最大值8整数a的最大值为5故选：B点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，对于整解的讨论是解答该题的关键，是中档题二、填空题：本大题共7小题前4题每空3分，后3题每空4分，共36分9已知集合A=x|（x2）（x+5）0，B=x|x22x30，全集U=R，则AB=x|5x1，A（UB）=x|5x3考点： 交、并、补集的混合运算专题： 集合分析： 根据集合的基本运算进行化简和求解即可解答： 解：A=x|（x2）（x+5）0=x|5x2，B=x|x22x30=x|x3或x1，则AB=x|5x1，UB=x|1x3，则A（UB）=x|5x3，故答案为：x|5x1，x|5x3点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础10已知，则tan的值是，cos2的值是考点： 两角和与差的正切函数；二倍角的余弦专题： 三角函数的求值分析： 由两角和与差的正切函数展开已知等式，整理即可求得tan的值，由万能公式即可求得cos2的值解答： 解：tan（+）=3，解得：tan=，cos2=故答案为：，点评： 本题主要考查了两角和与差的正切函数，万能公式的应用，属于基本知识的考查11已知f（x）=，则f（3）=3；若关于x的方程f（x）=ax+1恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为（0，）（42，）考点： 分段函数的应用专题： 函数的性质及应用分析： 作出函数f（x）和y=ax+1的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可解答： 解：由f（x）的表达式得f（3）=f（2）+1=f（1）+1+1=f（1）+2=f（0）+1+2=f（0）+3=0+3=3，当1x2时，0x11，此时f（x）=f（x1）+1=3（x1）2+4（x1）+1=3x2+10x6，当2x3时，1x12，则f（x）=f（x1）+1=3（x1）2+10（x1）6+1=3x2+16x18，作出函数f（x）的图象如图：若于x的方程f（x）=ax+1恰有三个不同的解，则等价为函数f（x）与y=ax+1恰有三个不同的交点，直线y=ax+1过定点D（0，1），当直线过点C（1，1）时，此时a=0，直线和f（x）有2个交点，当直线过点A（2，2）时，此时2=2a+1，解得a=，此时直线和f（x）有4个交点，当直线经过点B（3，3）时，即3=3a+1，解得a=，当直线y=ax+1与f（x）=3x2+4x相切时，即3x2+4x=ax+1，即3x2+（a4）x+1=0，由判别式=（a4）212=0，解得a=4+2（此时直线的斜率a，不成立舍去）或a=42，此时直线和f（x）有4个交点，综上要使两个函数的图象恰有三个不同的交点，则直线满足在DC和DA之间，或在切线和DB之间，即0a，或42a即（0，）（42，）故答案为：3，（0，）（42，）点评： 本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，是个难题12设Sn为数列an的前n项和，a1=1，a2=3，Sk+2+Sk2Sk+1=2对任意正整数k成立，则an=2n1，Sn=n2考点： 数列递推式；数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： 由数列递推式得到数列数列an为以2为公差的等差数列，然后直接由等差数列的通项公式和前n项和公式得答案解答： 解：由Sk+2+Sk2Sk+1=2，得（Sk+2Sk+1）（Sk+1Sk）=2，即ak+2ak+1=2，kN*，从第二项起，数列an为以2为公差的等差数列，又a1=1，a2=3，a2a1=31=2也成立，数列an为以2为公差的等差数列，则an=1+2（n1）=2n1，故答案为：2n1，n2点评： 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是中档题13设P为双曲线=1（a0，b0）在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若A，B始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率e的取值范围为（，+）考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线y=的倾斜角大于45，即有斜率大于1，即为1，运用离心率公式和双曲线的离心率范围，即可得到所求范围解答： 解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，由题意，A，B始终在第一或第二象限内，则有渐近线y=的倾斜角大于45，有斜率大于1，即为1，双曲线离心率e=，又e1，即有e的范围为（，+）故答案为：（，+）点评： 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题14已知，若|=，则与夹角的余弦值的最小值等于考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 先用有向线段表示向量，设与的夹角为1，与的夹角为2，从图形上便可看出与的夹角为12，根据图形及已知条件便可求得cos（12）=，而，从而得到cos（12）=，可设，将该式可以整理成关于的一元二次方程：，根据该方程有解0即可求出y即cos（12）的最小值解答： 解：如图，设与的夹角为1，与的夹角为2；与的夹角为12；cos（12）=cos1cos2+sin1sin2=；cos（12）=；设y=，将该式变成：；将该式看成关于的一元二次方程，该方程有解；=（30y240）216（100100y2）0；解得y，或（舍去）；与夹角的余弦值的最小值为故答案为：点评： 考查向量加法的平行四边形法则，三角函数的定义，以及两角差的余弦公式，一元二次方程有解时判别式015若对任意R，直线l：xcos+ysin=2sin（+）+4与圆C：（xm）2+（ym）2=1均无公共点，则实数m的取值范围是m考点： 直线与圆的位置关系专题： 计算题；直线与圆分析： 求出圆心到直线的距离大于半径，结合对任意R恒成立，即可求得实数m的取值范围解答： 解：由题意，圆心到直线的距离d=|mcos+msin2sin（+）4|1，所以|（2m2）sin（+）4|1，所以（2m2）sin（+）41或（2m2）sin（+）41，所以m故答案为：m点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查实数m的取值范围，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan（）求角C的大小；（）已知ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面积考点： 正弦定理；两角和与差的正切函数专题： 解三角形分析： （）利用已知等式，化简可得sinC=，结合C是三角形的内角，得出C；（）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=2sinAcosA再分两种情况cosA=0与cosA0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得ABC的面积解答： 解：（）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan，得到，所以，所以sinC=，又C（0，），所以C=或者；（）sinC+sin（BA）=sin（B+A）+sin（BA）=2sinBcosA，而2sin2A=4sinAcosA由sinC+sin（BA）=2sin2A，得sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，A=，可得b=2，可得三角ABC的面积S=bc=；当cosA0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，c=2，C=60或者120，c2=a2+b22abcosCa2+b2ab=12，联解得a=2，b=4；或者a=，b=；ABC的面积S=absinC=24sin60=2或者综上ABC的面积为或者点评： 本题着重考查了三角恒等变换、利用正弦定理和余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题17如图，正四棱锥SABCD中，SA=AB，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点设P为线段FG上任意一点（）求证：EPAC；（）当直线CP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角PBDS的平面角的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）设AC交BD于O，通过题意，利用线面垂直的判定定理即可；（）通过建立空间直角坐标系，即求平面BDS的一个法向量与平面PBD的一个法向量的夹角的余弦值，计算即得结论解答： （）证明：设AC交BD于O，SABCD为正四棱锥，SO底面ABCD，SOAC，BDAC，AC平面SBD，ACSD，又SDFG，ACGF，又ACGE，AC平面GEF，又PE平面GEF，EPAC；（）解：不妨设AB=2，如图建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），C（1，1，0），D（1，1，0），E（1，0，0），G（0，1，0），S（0，0，），F（，），=（，），设=（，），故点P（，1，）=（1，）AC平面GEF，取平面EFG的一个=（1，1，0），设CP与平面EFG所成角为，则sin=|cos，|=，点P在线段FG上，01，即=时sin取最大值，也即最大，此时点P为GF中点，即P（，）设二面角PBEF的大小为，由图中可知为锐角平面BDS的一个法向量为=（1，1，0），设平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），则=（2，2，0），=（，），=2x+2y=0，=x+y+z=0取z=2，则x=y=1，即=（1，1，2），cos=|cos，|=，即二面角PBDS的余弦值为点评： 本题考查二面角、空间中直线间的位置关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题18如图，F是椭圆=1（ab0）的左焦点，椭圆的离心率为A，B为椭圆的左顶点和上顶点，点C在x轴上，BCBF，BCF的外接圆M恰好与直线l1：x+y+3=0相切（）求椭圆的方程；（）过点C的直线l2与已知椭圆交于P，Q两点，且=4，求直线l2的方程考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）通过e=，可得c、b均能用a来表示，在RtBFO中，利用tanBFO=可得圆M的圆心坐标及半径，通过圆心M到直线l1的距离等于r，计算即可；（）设直线l2的方程方程为y=k（x3），并与椭圆方程联立，利用韦达定理及=4，计算即得结论解答： 解：（）e=，c=a，b=，又F（c，0），B（0，b），在RtBFO中，tanBFO=，BFO=，|BF|=aBCBF，BCF=，|CF|=2aBCF的外接圆M的圆心坐标为：M（，0），半径r=a，又圆M与直线l1：x+y+3=0相切，圆心M到直线l1：x+y+3=0的距离等于r，即=a，又a0，a=2，b=，椭圆的方程为：+=1；（）由（I）知F（1，0），C（3，0），设直线l2的斜率为k，则直线l2的方程方程为y=k（x3），联立，消去y得：（3+4k2）x224k2x+36k212=0，由韦达定理可得：xP+xQ=，xPxQ=，yPyQ=k2（xP3）（xQ3）=k2xPxQ3k2（xP+xQ）+9k2，则=（1+xP，yP）（1+xQ，yQ）=1+xP+xQ+xPxQ+yPyQ=1+9k2+（13k2）（xP+xQ）+（1+k2）xPxQ=1+9k2+（13k2）+（1+k2）=，=4，=4，解得k=，直线l2的方程为：y=（x3）点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，注意解题方法的积累，属于中档题19已知m为实数，且m，数列an的前n项和Sn满足Sn=+m（）求证：数列an3n+1为等比数列，并求出公比q；（）若an15对任意正整数n成立，求证：当m取到最小整数时，对于n4，nN，都有考点： 数列的求和；等比关系的确定专题： 等差数列与等比数列分析： （I）当n2时，an=SnSn1=+3n1，变形为，又a1=3m，0，即可证明；（II）由（I）可得：an3n+1=4n1，化为an=3n+1，由an15，可得，令bn=，通过bn+1bn=，可得b1b2b3b4b5，于是=b3=，可得m取到最小整数为3，此时an=，Sn=，当n4时，3n+14n=0，则Sn0，当n5时，Sn4Sn10，因此Sn4Sn1，通过递推可得+，即可证明解答： （I）证明：当n2时，an=SnSn1=+m=+3n1，化为，变形为，又a1=3m，0，数列an3n+1为等比数列，公比q=4；（II）证明：由（I）可得：an3n+1=4n1，化为an=3n+1，由an15，可得，令bn=，则bn+1bn=，b1b2b3b4b5，=b3=，解得m取到最小整数为3，此时an=，