高阶系统的时域分析

目 录 摘要 . I 1 稳定性分析 . 1 1.1劳斯判据原理 . 1 1.2稳 定性的判断 . 2 1.3 由劳斯判据求取 a, b, K范围 . 2 2 系统时域分析 . 4 2.1 系统单位阶跃响应 . 4 2.1.1 单位阶跃响应曲线 . 4 2.1.2 单位阶跃响应性能指标 . 5 2.2系统单位斜坡响应 . 6 2.2.1 单位斜坡响应曲线 . 6 2.2.2 单位斜坡响应性能指标 . 7 2.3 系统单位加速度响应 . 8 2.3.1 单位加速度响应曲线 . 8 2.3.2 单位加速度响应性能指标 . 9 3.绘制根轨迹 . 10 4.小结与体会 . 11 参考文献 . 12 本科生课程设计成绩评定表 . 13 1 高阶系统的时域分析 1 稳定性分析 1.1 劳斯判据原理 假若 劳斯阵列表中第一列系数均为 正数 ，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有 负数 ，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 劳斯阵列表 列取如下： ns 000 aa 202 aa 404 aa 1ns 110 aa 312 aa 514 aa 2ns 10001 / aa 1210220 aaa 1410422 aaa 1610624 aaa 3ns 210102 / aa 2221230 aaa 2421432 aaa 2621634 aaa 4ns 30203 / aa 3232240 aaa 3432442 aaa 3632644 aaa 通项 : ijijij aaa i112 1n2,1 i ； 642j ， 判断： 若 表中若第一列的数（即 i0a1n2,1 i ）均大于零，这时系统稳定。否则系统不稳定。第一列变换符号的次数表明了系统在右半平面极点的个数。 2 1.2 稳定性的判断 单位反馈系统的开环传递函数为： 2()() ( 4 8 ) ( )pK s bGs s s s s a 所以，当 a=1.b=4,K=10 时，可求得系统特征方程为： 4018125)( 234 sssssD =0 由劳斯判据，列出劳斯表： 4s 1 12 40 3s 5 18 2s 8.4 40 1s -5.8 0s 40 由劳斯表可看出，第一列有负数 -5.8 ， 系统不稳定 ，第一列变换符号次数为 2，表明系统在右半平面极点的个数为 2。 1.3 由劳斯判据求取 a, b, K 范围 系统特征方程为： KbsKasasassD )8()48()4()( 234 =0 根据特征方程列劳斯表如下： 4s 1 8+4a Kb 3s 4+a 8a+K a Kaa 4 )8()48(a4 ）（2sKb1s0s)8()4)(48()4(a8 2KaaaKbaK ）（Kb 3 由劳斯 -赫尔维茨稳定判据有： )2(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0)8()4)(48()4(a8( 1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0)8()84)(4(008048042KaaaKbaKaKaaKbKaaa）（由 (1) 式可求得： ),(,160164,160032164 2aKKaKKaa 式 (2) 可化简为： 0)2 5 61 2 832(1632)1(8)4( 2322 aaaKbababK 综上可得系统稳定时 K， a， b 满足的条件为： .0)25612832(1632)1(8)4(0)8()84)(4(00822322 aaaKbababKaKaaKbKaa 4 2 系 统时域分析 在求得的范围内任取一组数据： a=b=3;k=15。 经计算，满足使系统稳定的条件。 此时系统 闭 环传递函数： 4539207 )3(15)( 234 ssss ss )5)(3( 15)5()3( )3(15)( 222 ssssss ss可求得： ,5n 521 ， 21 ， 219d ， 219212,1 js ， 30 s 2.1 系统单位阶跃响应 2.1.1 单位阶跃响应曲线 打开 MATLAB, 并在 Command Window 中输入以下程序： num=15,45； den=1,7,20,39,45； step(num,den) 然后按回车，在弹出的 Figure 窗口内就是单位阶跃响应的曲线，如图 1 所示 ： 图 1 单位阶跃响应 曲线 5 2.1.2 单位阶跃响应性能指标 单位阶跃响应 ： ssRttr 1)()(1)( 输出拉氏表达式为： )5()3( )3(15)( 22 ssss ssC时域表达式为 ： 1） 动态性能指标： 峰值时间 ： )()(1 1153 11i i iidpsszst 1.77 43143|iiiisssP 0.8182 11111|iiiizzsQ 1.1055 42142|iiiisssF 0.4197 超调量 ： e tPQ p % 37.33% 调节时间 ： )2ln (1 FQtns 7.67s 用 MATLAB 中 LTIVIEW 仿真图形工具 也可方便得到系统动态性能指标 ， 在命令窗口中，键入 ltiview，回车，系统调用 LTI VIEWER 工具 ，仿真可得： 上升时间 ： rt 0.694 峰值时间 ：pt=1.8 调节时间 ：st=7.66 超调量 ： % 37.1% 2） 稳态性能指标： 系统静态位置误差系数为： 系统静态速度误差系数为： 系统静态加速度误差系数为： 故 系统 稳态误差： psss kssEe 11)(0lim 0.5 0)5)(3( s150lim)()(2s0lim 2 2 sssssHsGsk a0)5)(3( s150lim)()(s0lim 2 sssssHsGsk v1)5)(3( 150lim)()(0lim 2 sssssHsGsk pee tt ttt 213 )219s i n (196)219co s (192 0 9611 51)(h 6 2.2 系统单位斜坡响应 单位斜坡响应 ： 2s1)()( sRttr输出拉氏表达式为： )5()3( )3(15)( 222 ssss ssC2.2.1 单位斜坡响应曲线 由于 Matlab 中没有专门绘制斜坡响应的函数，因此要自己构建单位斜坡响应。 程序如下： num=15,45; den=1,7,20,39,45; G=tf(num,den) t=0:0.005:10; u=t; lsim (G,u,t) grid on xlabel(t/s),ylabel(c(t) title(unit-step Response) 相应的 单位斜坡响应曲线如图 2： 图 2 单位斜坡响应 7 2.2.2 单位斜坡响应 性能指标 时域表达式为 ： ee tt tttt 23 )219s i n (1913)219co s (1 3 31 0 4 5333 515 8)(h 根据主导极点的概念， 由于主导极点219212,1 js 实部的模小于其他极点的31，因此 系统 可以近似为二阶系统： 515)( 2 sss由传递函数可知： 24.2nw， 22.0 ， 03.7722.0a r c c o sa r c c o s 1） 动态性能指标： 峰值时间 ： 调节时间 ： 上升时间 ： 超调量 ： % = 21/ e *100%=49.2% 2） 稳态性能指标： 系统静态 位置误差系数为： 1)5)(3( 150lim)()(0lim 2 sssssHsGsk p系统静态速度误差系数为： 系统静态加速度误差系数为： 故稳态误差： vkssEe sss 1)(0lim 0)5)(3( s150lim)()(2s0lim 2 2 sssssHsGsk a0)5)(3( s150lim)()(s0lim 2 sssssHsGsk v437.1dpt 09.63 nst 96.01 2 nrt 8 2.3 系统单位 加速度 响应 单位 加速度 响应 ： 32 1)(21)( ssRttr 输出拉氏表达式为： )5()3( )3(15)( 223 ssss ssC2.3.1 单位加速度响应曲线 由于 Matlab 中没有专门绘制单位 加速度 响应的函数，因此要自己构建单位 加速度 响应。 程序如下： num=15,45; den=1,7,20,39,45; G=tf(num,den); t=0:0.005:10; u=（ 0.5*t2） ; lsim(G,u,t) 相应的 单位 加速度 响应曲线如图 3所示 ： 图 3单位加速度响应 9 2.3.2 单位 加速度 响应性能指标 时域表达式为 ee tt tttttc 232 )219s i n (1973)219c o s (575 2 2 5399 515 82225 4)( 由主导极点的概念，高阶系统性能指标可利用二阶系统性能指标进行估算 515)( 2 sss由传递函数可知： 24.2nw， 22.0 ， 03.7722.0a r c c o sa r c c o s 1） 动态性能指标： 峰值时间 ： 调节时间 ： 上升时间 ： 超调量 ： % = 21/ e *100%=49.2% 2） 稳态性能指标： 系统静态位置误差系数为： 1)5)(3(150lim)()(0lim2 sssssHsGsk p系统静态速度误差系数为： 系统静态加速度误差系数为： 故稳态误差： a1)(0lim kssEesss 0)5)(3( s150lim)()(20lim 2 2 sssssHsGSsk a0)5)(3( s150lim)()(0lim 2 sssssHsSGsk v437.1dpt 09.63 nst 96.01 2 nrt 10 3.绘制根 轨迹 已知 a=1;b=4 系统 开环传递函数为： )1)(84( )4(2 ssss sK用 Matlab 绘制根轨迹 程序 如下 ： num=1， 4; den=1,7,20,39,45; G=tf(num,den) rlocus（ G） grid minor 对应 根 轨迹 如图 4 所示 ： 图 4 系统根轨迹图 11 4.小结与体会 这次的课程设计分为四部分，分别是判断系统是否稳定、计算使系统稳定的参数条件、选择参数并计算在特定输入（单位阶跃、斜坡。加速度）条件下的系统动态与稳态参数响应并做图和画跟轨迹。由于系统是 高 阶 （四阶） 系统， 大部分的计算都能够比较容易的完成，不过 在计算动态参数时 废了 很大一番功夫。 为了方便计算，在选择 参数时要使系统能够早得到主导极点，并且能 够分解成两个二次多项式， 只有这样才能 进行估算 ，通过课程设计，我对高阶系统性能指标估算有了更深入的认识，对闭环主导极点对系统性能的影响有了深刻的领会 。 在选择好参数后，要用 MATLAB 画三种单位输入条件下的输出响应，这就要我们能够熟练的掌握 MATLAB 的使用方法。在查找了各方面的资料并请教同学之后终于能够画出所需的图形。 此外，通过课程设计，我对 MATLAB 一些功能的使用有了更深入的认识。 在 MATLAB中，提供了线性时不变系统仿真的图形工具 LTI Viewer，可方便地获得阶跃响应、脉冲响应和 Bode 图、奈魁斯特图等，并可得到系统有关性能指标。 这一次的课程设计让我们在学习了书本上的知识后，不仅仅是纸上谈兵。我们能个够 把 理论上的知识应用到实际当中，还可以把书本上的理论知识完全吃透，而不是简单的记住了几个公式。这些都为以后的工作学习打下了基础。 12 参考文献 1 胡寿松 . 2007.自动控制原理 (第五版 ). 北京：科学出版社 2 张静 . 2007.MATLAB在控制系统中的应用 . 北京：电子工业出版社 3 张爱民 . 2005.自动控制原理 . 北京：清华大学出版社 4 王广雄 . 2005.控制系统设计 . 北京：清华大学出版社 5 黄坚主 . 2004.自动控制原理及其应用 . 北京：高等教育出版社 6 王加文 、 王皓 . 2005. MATLAB编程基础 编著 .北