初中数学思想方法汇总.doc

初中数学思想方法的概念、种类及渗透策略分析分类讨论思想一、分类讨论思想的意义当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而需对不同情况进行分类研究.通过分类讨论，常能化繁为简，更清楚地暴露事物的本质，并增加条件，“分类讨论”,简言就是先分类，后讨论。阅读大纲和教材会发现,初中数学对分类讨论本着先易后难、循渐进的原则,把“分类讨论思想”分两个层次,即“分类思想”和“讨论思想”。分类思想在初中数学占有相当要的地位,通过教学应使学生确立类思想,学会分类方法,而“讨论思则要求通过有关知识的传授起到潜默化的作用。分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在试题中占有重要的位置。二、分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象,确定对象的全体确定分类标准,正确进行分类逐步进行讨论,获取阶段性结果归纳小结,综合得出结论。三、分类讨论思想的分类原则：分类讨论必须遵循原则进行，在初中阶段，我们经常用到的有以下4大原则:(1)同一性原则 (2)互斥性原则 (3)相称性原则 (4)多层次性原则四、七年级数学中体现分类讨论思想的知识点上册：1、含字母式子的绝对值的化简2、过平面内的点画直线的条数3、线段、角的计算4、立体图形异面点之间的最短距离5、数轴上两点间的距离6、分段计费问题。下册：1、两边分别平行的两角的关系2、正数的平方根3、实数的分类4、坐标平面内点的坐标5、P112第10题6、解字母系数的不等式7、借助不等式（组）的正整数解讨论方案设计问题。五、典型例题例1.（2011浙江中考 ）解关于x的不等式组： a() 9a+8例2已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_ 或_ 。练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.例2下列说法正确的是（）A、两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。C、两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。与角有关的分类讨论思想的应用角的一边不确定性引发讨论。例3在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射线OM平分AOB，ON平分BOC，求MON的大小。练习已知AOB=60,过O作一条射线OC，射线OE平分AOC，射线OD平分BOC，求DOE的大小例4化简练习：设a是有理数，求a+的值例5：甲、乙两人骑自行车，同时从相距75km的两地相向而行，甲的速度为15km/n，乙的速度为10km/n，经过多少小时甲、乙两人相距25km？例6：在同一图形内，画出AOB=60，COB=50，OD是AOB的平分线，OE是COB的平分线，并求出DOE的度数例7：如图，长方体的长宽高分别为3、4、5，一只蚂蚁长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由。六、练习题（菁优网期末考试题精选）1.阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定例如：考查代数式（x-1）（x-2）的值与0的大小当x1时，x-10，x-20，（x-1）（x-2）0当1x2时，x-10，x-20，（x-1）（x-2）0当x2时，x-10，x-20，（x-1）（x-2）0综上：当1x2时，（x-1）（x-2）0当x1或x2时，（x-1）（x-2）0（1）填写下表：（用“+”或“-”填入空格处）（2）由上表可知，当x满足 时，（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）0；（3）运用你发现的规律，直接写出当x满足 时，（x-7）（x+8）（x-9）0x-2-2x-1-1x33x4x4x+2-+x+1-+x-3-+x-4-+（x+2）（x+1）（x-3）（x-4）+-2已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从BCDEFA的路径移动，相应的ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示若AB=6cm，试回答下列问题：（1）图甲中的BC长是多少？（2）图乙中的a是多少？（3）图甲中的图形面积的多少？（4）图乙中的b是多少？3某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠，甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场优惠的条件是：每台优惠20%（1）什么情况下到甲商场购买更优惠？（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？（3）什么情况下两家商场的收费相同？4.为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：每月用气量单价不超出75m3的部分2.5元/m3超出75m3不超出125m3的部分2.75元/m3超出125m3的部分3元/m3（1）甲用户1月份的用气量为145m3，应缴费多少元？（2）乙用户2、3月份共用气175m3（2月份用气量超过3月份），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？5如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）2=0（1）求a，b的值；（2）在y轴上存在一点M，使COM的面积=ABC的面积，求点M的坐标数学建模思想一、数学建模思想的意义数学建模思想，就是通过对实际问题的分析，抓住其本质，联想相应的知识，建立数学模型，利用数学知识解决问题的一种数学思想。二、已学模型1、一元一次方程；2、二元一次方程的整数解、正整数解；3、二元一次方程组；4、不等式（组）；（正整数解）5、假设法；（鸡兔同笼）6、用样本数据估计总体相应的数据。7、列举法；8、算术法；3、 方法 在分析各种实际问题，抓其本质的过程中，了解各类问题的生活背景，感受数学模型在社会日常生活中的广泛应用，积累数学背景知识，体会数学阅读与文学阅读的区别（数学阅读是量的分析，文学阅读是字词的理解），提高阅读有数学背景的材料的能力，培养用合适的数学模型解决问题的能力。四、典型题目（精选于菁优网七年级期末考试试卷）感受数学应用的广阔背景吧！经历选模、建模、解决问题的过程。1根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？2某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量（1）问：年降水量为多少万m3？每人年平均用水量多少m3？（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000m3海水，淡化率为70%每淡化1m3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元企业将淡化水以3.2元/m3的价格出售，每年还需各项支出40万元按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？3如图所示，在桌面上放着A、B两个正方形，共遮住了27cm2的面积，若这两个正方形重叠部分的面积为3cm2，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，则正方形A的面积是 4如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，FAD比FAE大48，设FAE和FAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的一个方程组是（） 5.某电信局现有300部已申请装机的电话等待装机假设每天新申请装机的电话部数相同，该电信局每个电话装机小组每天装的电话部数也相同，那么安排3个装机小组，恰好30天可将需要装机的电话全部装完；如果安排5个装机小组，则恰好10天可将需要装机的电话全部装完试求每个电话装机小组每天装机多少部？每天有多少部新申请装机的电话？6某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米；做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米本着最大限度使用现有布料的原则，请你设计这两种型号时装的生产方案（即两种型号时装分别计划生产的套数），有几种？请写出来34-27如图，在33的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等（1）求x，y的值；（2）在备用图中完成此方阵图34x-2ya2y-xcb8为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积、产量、利润分别如下：占地面积（m2/垄）产量（千克/垄）利润（元/千克）西红柿301601.1草莓15501.6（1）若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？9.在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要踢满30场球赛比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第15和第16名的球队降级（下赛季参加乙级联赛）某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表各队末赛的3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行球队积分排名甲队421乙队402A队1613B队1613C队1613D队1613（1）第27轮比赛结束时，乙队负了7场，求乙队此时胜、平各多少场？（2）第27轮比赛结束时，甲队的负场数比乙队多，则甲队的胜、平、负场数各是多少？（3）若最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，则A队是否降级？为什么？10一支部队行军两天，共进行78km，这支部队第一天的平均速度每小时比第二天快1.5km，如果第一天行军4小时，第二天行军5小时，那么这两天每天的平均速度各是多少？11某饮料厂有甲，乙两条饮料灌装生产线，根据市场需求，计划平均每天灌装饮料700箱如果两条生产线同时工作，则完成一天的生产任务需要工作7小时；如果两条生产线同时工作2.5小时后，再由乙生产线单独工作，则完成一天的生产任务还需10小时（1）求甲、乙两条灌装生产线每小时各灌装多少箱饮料？（2）已知甲灌装生产线工作1小时的成本费用为550元，乙灌装生产线工作1小时的成本费用为495元，如果每天用于灌装生产线的成本费用不得超过7370元，那么甲灌装生产线每天至少工作多少小时？12如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则图中阴影部分面积（单位：cm2）为（）A16B44C96D14013根据如图所给信息，回答下列问题：（1）分别求出桌子和椅子的单价是多少？（2）学校根据实际情况，要求购买桌椅总费用不超过1000元，并且购买桌子的数量是椅子数量的，求该校本次购买桌子和椅子共有哪几种方案？（3）厂家为了搞促销活动，推出凡一次性购买桌子和椅子的数量共28张以上（含28张），可享受八折优惠，请问该校在满足（2）的条件下，最多能购买多少张桌子？多少张椅子？总费用是多少元？14有一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为6，把个位上的数字与十位上的数字调换位置后，得到新的两位数比原数大18，原来的两位数是 平面直角坐标系-数形结合思想的平台一、数形结合思想的意义 数学研究的对象，是现实世界中的数量关系（简称“数”） 和空间形式（简称“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透、相互转化的，正如著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合思想方法就是把抽象严谨的数学语言、数量关系与直观表意的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”，给抽象的问题以形象化的原型，从而给人们以形象思维的启示；反过来，“以数助形”，则对直观问题以数理推证和精确刻划，从而起到把握数学本质的目的。从“以数助形”的角度来看“数形结合”思想主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、平面直角坐标系把几何问题进行代数化；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用线段比例证明相似等。 在初中数学教学中，数形结合的思想方法应用广泛，常见的有判断有理数大小的关系、代数式变换、解方程及解不等式、列方程解应用题，函数及其图像、平面几何问题、数据统计及简单的三角函数等方面。二、有关论述 三、基础知识点1. 平面直角坐标系的定义；2. 坐标平面内点的坐标的定义；3. 各象限内及坐标轴上点的坐标的特征；4. 一三（二四）象限角平分线上的坐标特点；5. 与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征；6. 一维、二维坐标；7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系，8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系；9、面积割补法；10、绝对值的性质；11、图形面积公式；12、平移的性质；四、基本思想方法1、思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。2、方法：画示意图、平移。五、典型例题例1、两只小虫A、B躺在数轴上睡大觉，已知它们之间的距离为10个单位长度，其中小虫A躺在数+4对应的点上，小虫B所在的位置绝对值大于6，则小虫B所在的位置表示的数是 。例2、如图在平面直角坐标系中，A(2，3)，B（5，3)，C（2,5）是三角形的三个顶点，求BC的长。 例3：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追他。 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，教学时要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图这里隐含着数形结合的思想方法，不论是行程问题、追击问题，还是工程问题、浓度问题等，只有依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。 例4：有一十字路口，甲从路口出发向南直行，乙从路口以西1500米处向东直行，已知甲、乙同时出发，10分钟后两人第一次距十字路口的距离相等，40分钟后两人再次距十字路口距离相等，求甲、乙两人的速度。（注：数形结合） 六、典型题目（精选自菁优网七下期末考试题）1如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是 在x轴上，到原点距离为的坐标 2.（1）请在下面的网格中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为（4，1），（1，-2）；（2）在（1）的条件下，过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在BM的延长线上截取MC=BM写出点C的坐标；平移线段AB使点A移动到点C，画出平移后的线段CD，并写出点D的坐标（注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) 3已知直角坐标平面内两点A（-2，-3）、B（3，-3），将点B向上平移5个单位到达点C，求：（1）A、B两点间的距离；（2）写出点C的坐标；（3）四边形OABC的面积 4在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积 5计算图中四边形ABOD的面积 6已知点A（-4，-1），B（2，-1）（1）在y轴上找一点C，使之满足SABC=12求点C的坐标（写必要的步骤）；（2）在直角坐标系中找一点C，能满足SABC=12的点C有多少个？这些点有什么特征？ 7如图，每个小正方形的边长为单位长度1（1）写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标，说出各点到两坐标轴的距离；并总结坐标平面内的点到坐标轴距离公式。（2）点C与E的坐标什么关系？（3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？（4）你能求出图中哪些线段的长度？（总结公式）哪些图形的面积？ 8如图，在ABC中，已知点A（0，3），B（-2，-3），C（3，-5）（1）在给出的平面直角坐标系中画出ABC；（2）将ABC向左平移4个单位，作出平移后的ABC；（3）点B到x、y轴的距离分别是多少？ 9如，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a，b满足关系式|a-4|+（b-2）2=0，c=a+b（1）求A、B、C三点的坐标，并在坐标系中描出各点；（2）在坐标轴上是否存在点Q，使COQ得面积与ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积 10如图所示，长方形ABCD在坐标平面内，点A的坐标是A（，1），且边AB、CD与x轴平行，边AD，BC与y轴平行，AB=4，AD=2（1）求B、C、D三点的坐标；（2）怎样平移，才能使A点与原点重合？ 11在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是 11如图，OAB的顶点B的坐标为（4，0），把OAB沿x轴向右平移得到CDE如果CB=1，那么OE的长为 12.如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标； （2）设BAO的邻补角和ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长BA至E，在ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若EAC、FCA、ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问AGH和BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由 13如图，是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式 14已知关于x的不等式组3x+m0x5的所有整数解的和为-9，求m的取值范围 15小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，同时出发沿相同路线前往 如图，l1，l2分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程S与所用的时间t的关系（1）他们中谁先到目的地？早到多少时间？（2）小明和小斌的速度分别是多少？（3）当他们中第一人到达目的地时，另一人还差几千米到达目的地？ 16“龟兔赛跑”：龟跑得慢，但坚持不懈；而兔跑得快，看不起龟，中途睡觉，醒来龟已到终点下列哪个图象能大致表示“龟兔赛跑”中路程s与时间t的关系（ ）ABCD 17如图，是一辆汽车的速度随时间变化的图象，请你根据图象提供的信息填空：（1）汽车在整个行驶过程中，最高速度是 千米/时；（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是 ；（3）汽车出发后，8分钟到10分钟之间的运动情况如何？ 18某人骑自行车沿直线旅行，先前进了akm，休息了一段时间后又按原路返回bkm（ba），再前进ckm，则此人离出发点的距离s与时间t的关系示意图是（ ）ABCD 19如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD各个顶点的坐标分别是O（0，0），B（2，6），C（8，9），D（10，0）；（1）三角形BCD的面积= （2）将点C平移，平移后的坐标为C（2，8+m）；若SBDC=32，求m的值；当C在第四象限时，作COD的平分线OM，OM交于CC于M，作CCD的平分线CN，CN交OD于N，OM与CN相交于点P（如图2），求 P OCC+ODC的值 折叠与平移1、 基础知识1、 本质 折叠与平移都是图形与变换的内容。其中有些折叠是将要学习的轴对称的一部分，平移是全等变换的一部分。它们在培养学生的动手能力、空间想象能力方面有较大的作用。2、 折叠的性质；3、 平移的定义；4、 平移的性质；5、 坐标平面内平移与坐标的关系。1、如图a，ABCD是长方形纸带，DEF=23，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是 2如图，将边长为5个单位的等边ABC沿边BC向右平移4个单位得到ABC，则四边形AACB的周长为（ ）A22B23C24D25 3如图，在四边形纸片ABCD中，ADBC，ABCD，将纸片折叠，点A、D分别落在A、D处，且AD经过点B，EF为折痕，若DFC=86时，AEB=（ ）A120B74C86D146 4如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，则草地面积为（ ）A140米2B144米2C148米2D152米25如图：将四边形ABCD进行平移后，使点A的对应点为点A，请你画出平移后所得的四边形ABCD（画图工具不限） 练习在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ）A（3，7）B（5，3）C（7，3）D（8，2）6.如图，在平面直角坐标系中，ABOC是平行四边形已知A、B两点的坐标分别为A（，），B（-2,0）（1） 求C点的坐标； （2）将平行四边形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得四边形 的四个顶点的坐标是多少？并画出大致位置 （3）求平行四边形ABOC的面积 7如图，将ABC沿CB边向右平移得到DFE，DE交AB于点G已知A：C：ABC=1：2：3，AB=9cm，BF=5cm，AG=5cm，则图中阴影部分的面积为 cm2 8如图所示，甲、乙是两张画有图形的透明胶片，把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是（ ）ABCD 9如图是一张长方形纸片ABCD，小明想通过折叠这个长方形纸片使顶点C落在边AD上，他想通过探究的方法找到折痕BF，再通过实践操作沿探究得到的BF折叠，看顶点C是否能落在AD上？他手边的工具有圆规，刻度尺和量角器你能替他设计一种方案吗？写出你的设计方案 归纳与猜想1、 题型1、 规律探索题2、 新定义题3、 程序设计题4、 阅读理解型试题5、 操作性试题二、典型试题1 一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 2如图，一个动点A在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从点（-1，-1）到A1（0，1），第二次运动到A2（3，-1），第三次运动到A3（8，1），第四次运动到A4（15，-1），按这样的运动规律，经过第13次运动后，动点A13的坐标是 3图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有 个苹果、第十行有 个（可用乘方形式表示）4定义运算：a*b，当ab时，有a*b=a，当ab时，有a*b=b，如果（x+3）*2x=x+3，那么x的取值范围是（ ）Ax3Bx3Cx1D1x35.观察下列有规律的点的坐标：A1（1，1）；A2（2，-4）；A3（3，4）；A4（4，-2）；A5（5，7）；A6（6，-）；A7（7，10）；A8（8，-1），依此规律，A11的坐标为 ，A12的坐标为 6、007无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面-层有一个圆圈，以下各层均比上-层多一个圆圈，一共堆了n层将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+n= 如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和考点：规律型：数字的变化类 7类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位用实数加法表示为3+（-2）=1若坐标平面上的点