应用数学学习指南2.doc

第一章 函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.理解函数的概念2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型.重点 函数的概念、复合函数和初等函数的概念，会求函数的定义域.难点 分段函数的概念，建立简单实际问题的函数模型.（二） 内容提要1.函数的定义(1) 函数的定义定义1 设和是两个变量,是一个给定的数集,如果对于每个数,变量按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称是的函数,记作.数集称为该函数的定义域, 称为自变量, 称为因变量.当自变量取数值时，因变量按照法则所取定的数值称为函数在点处的函数值，记作.当自变量遍取定义域的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集=称为函数的值域.定义2 设与是两个非空实数集，如果存在一个对应规则，使得对中任何一个实数，在中都有惟一确定的实数与对应，则对应规则称为在上的函数，记为 ,称为对应的函数值，记为,其中，称为自变量，称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数中，表示函数，是对应于自变量的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在处的函数值称为函数，并用的形式表示是的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则.例如就是一个特定的函数，确定的对应规则为就是一个函数.(2) 函数的两要素函数的定义域是自变量的取值范围，而函数值又是由对应规则来确定的，所以函数实质上是由其定义域和对应规则所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如，就是相同的函数.2 函数的三种表示方法(1) 图像法 用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究.(2) 表格法 将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.(3) 公式法用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法. 这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： 分段函数 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如 就是一个定义在区间上的分段函数. 用参数方程确定的函数 用参数方程 （）表示的变量与之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数可以用参数方程表示. 隐函数 如果在方程中，当在某区间I内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的值存在，则称方程在区间I内确定了一个隐函数.例如方程就确定了变量是变量之间的函数关系.注意 能表示成(其中仅为的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如可以化成显函数.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如.3 函数的四种特性设函数的定义域为区间，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表函数的特性定 义图像特点奇偶性 设函数的定义域关于原点对称，若对任意满足则称是上的偶函数；若对任意满足则称是上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数偶函数的图形关于轴对称;奇函数的图形关于原点对称单调性 若对任意，当时，有,则称函数是区间上的单调增加函数；当时，有,则称函数是区间上的单调减少函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数是区间上的单调函数，则称区间为单调区间单调增加的函数的图像表现为自左至右是单调上升的曲线; 单调减少的函数的图像表现为自左至右是单调下降的曲线有界性 如果存在，使对于任意满足则称函数是有界的图像在直线与之间周期性 如果存在常数，使对于任意，有则称函数是周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小周期在每一个周期内的图像是相同的4 基本初等函数六种基本初等函数见下表 六种基本初等函数表函数解析表达式常函数（为常数）幂函数（为常数）指数函数（,为常数）对数函数（,为常数）三角函数反三角函数arcarc,arc5. 反函数、复合函数和初等函数反函数、复合函数和初等函数的定义见下表 几种函数的定义表函数种类定 义举 例反函数设函数为定义在数集上的函数，其值域为如果对于数集中的每个数，在数集中都有惟一确定的数使成立，则得到一个定义在数集上的以为自变量，为因变量的函数，称其为函数的反函数，记为，其定义域为，值域为函数的反函数为复合函数若函数的定义域为，函数在上有定义，其值域为且，则对于任一，通过函数有确定的与之对应，通过函数有确定的值与之对应这样对于任一，通过函数有确定的值与之对应，从而得到一个以为自变量，为因变量的函数，称其为由函数和复合而成的复合函数，记为，其定义域为，称为中间变量由函数和复合而成的复合函数为由函数和不能复合成复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，且用一个式子表示的函数，称为初等函数二、主要解题方法1求函数定义域的方法例1 求下列函数的定义域:(1) =+ ，(2) =.解 (1) 由所给函数知,要使函数有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得这两个不等式的公共解为 与所以函数的定义域为.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得即 ,因此，所给函数的定义域为 .小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零；(II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 ，要满足；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分；(VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求.2将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数 (1) ， （2） . 解 (1) 最外层是二次方，即，次外层是正弦，即 ，从外向里第三层是幂函数 ，即，最里层是多项式，即 , 所以，分解得 ， ， ，. (2) 最外层是对数，即次外层是正切，即, 从外向里第三层是指数函数，即 ，最里层是简单函数，即 +2, 所以，分解得 ，+2.小结 （I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数.3 建立实际问题的函数模型的方法 例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型. 解 设某产品年产量为台，收益函数为.因为产量超过600台时，售价要打8折，而超过800台时，多余部分本年销售不出去，从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意，有 即收益函数模型为 例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为，是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为，底宽为，试建立与的函数模型. 解 设矩形高为，根据等量关系写关系式 显见，在关系式中有两个变量及，此外我们应把表成的一元函数.为此，需把变量也表示成与有关的量.根据题中所给限制条件截面积为,建立与的关系. 即 将代入得 此式即为我们所要找的周长与底宽的函数模型. 小结 运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.建立函数模型的具体步骤可为 ：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3) 具体写出解析式，并指明其定义域.三、学法建议1本章的重点是函数、复合函数、初等函数等概念以及