高考数学一轮总复习 第3章 导数及其应用 第二节 导数的应用课件 理.ppt

第二节导数的应用 知识点一导数与函数的单调性 极值 1 函数的单调性与导数 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 2 函数极值的概念 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程的根 检查f x 的方程的根的左右两侧导数值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 3 极大值点 极小值点统称为极值点 极大值 极小值统称为极值 f x 0 f x 0 极大值 极小值 利用导数解决单调性问题 1 求函数的单调区间 函数f x x2 2lnx的单调递减区间为 答案 0 1 2 利用单调性求参数的取值范围 函数f x x3 ax在 1 上是增函数 则实数a的取值范围为 解析f x 3x2 a 则3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 所以a 3 且a 3时 f x 不恒为0 答案 3 有关极值的两个易混点 极值点 取极值条件 3 极值点是f x 取得极值时的x值 函数f x x3 3x2的极小值点是 解析f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 0或x 2 当0 x 2时f x 0 当x 2时 f x 0 所以x 2是f x 极小值点 答案2 4 f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 若函数f x x2 alnx在x 1时取得极值 则a 答案 2 知识点二导数与函数的最值及在实际生活中的应用 1 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 最小值 最大值 f a f b 2 解决优化问题的基本思路 利用导数求函数最值 5 若为闭区间 可直接比较函数值 若为闭区间注意 利用函数单调性求解 函数f x x3 12x 8在 0 3 上的最小值为 解析f x 3x2 12 由f x 0得x 2 又f 0 8 f 2 8 f 3 1 所以f x 最小值为 8 答案 8 突破利用导数研究函数单调性的方法 利用导数求函数单调区间的步骤 1 求函数f x 的定义域 2 求导函数f x 3 在定义域内解不等式f x 0和f x 0 若不等式中带有参数时 可对参数进行分类讨论 4 确定函数f x 的单调区间 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1 可导函数在某一区间上单调 实际上就是在该区间上f x 0 或f x 0 f x 在该区间的任意子区间内都不恒等于0 恒成立 然后分离参数 转化为求函数的最值问题 从而获得参数的取值范围 2 可导函数在某一区间上存在单调区间 实际上就是f x 0 或f x 0 在该区间上存在解集 这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题 3 若已知f x 在区间i上的单调性 区间i中含有参数时 可先求出f x 的单调区间 令i是其单调区间的子集 从而可求出参数的取值范围 例1 已知函数f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 是否存在a 使f x 在 2 3 上为减函数 若存在 求出a的取值范围 若不存在 请说明理由 解f x ex a 1 若a 0 则f x ex a 0 即f x 在r上单调递增 若a 0 ex a 0 ex a x lna 因此当a 0时 f x 的单调增区间为r 当a 0时 f x 的单调增区间是 lna 2 f x ex a 0在 2 3 上恒成立 a ex在x 2 3 上恒成立 又 2 x 3 e 2 ex e3 只需a e3 当a e3时 f x ex e3在x 2 3 上 f x 0 即f x 在 2 3 上为减函数 a e3 故存在实数a e3 使f x 在 2 3 上为减函数 点评 1 利用导数的符号来判断函数的单调性 2 已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题 3 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 导数与极值 最值 的求解方略 求函数f x 极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 4 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 若遇极值点含参数不能比较大小时 则需分类讨论 求函数f x 在区间 a b 上的最值的方法 1 若函数在区间 a b 上单调递增或递减 f a 与f b 一个为最大值 一个为最小值 2 若函数在闭区间 a b 内有极值 要先求出 a b 上的极值 与f a f b 比较 最大的是最大值 最小的是最小值 可列表完成 1 求f x 在区间 1 上的极小值和极大值点 2 求f x 在 1 e e为自然对数的底数 上的最大值 点评 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 利用导数求解不等式恒成立问题突破方略 利用导数证明不等式的方法 1 证明f x g x x a b 可以构造函数f x f x g x 如果f x 0 则f x 在 a b 上是增函数 同时若f a 0 由增函数的定义可知 x a b 时 有f x 0 即证明了f x g x 利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值 各类不等式与函数最值关系如下 注 上述的大于 小于改为不小于 不大于 相应的与最值对应关系的不等式也改变 如果函数没有最值 则上述结果可以用函数值域相应的端点值表述 例3 设函数f x x ax2 blnx 曲线y f x 过p 1 0 且在p点处的切线斜率为2 1 求a b的值 2 证明 f x 2x 2 当00 当x 1时 g x 0时 g x 0 即f x 2x 2 点评 1 运用导数证明不等式f x g x 成立的一般步骤 第一步 构造h x f x g x 第二步 求h x 第三步 判断h x 的单调性 第四步 确定h x 的最小值 第五步 证明h x min 0成立 第六步 得出所证结论 2 利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面 也是高考的一个新热点 其关键是构造适当的函数 判断区间端点对应的函数值与0的关系 实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性 并通过单调性证明不等式 导数与函数的综合问题 利用导数研究方程的根 函数的零点和图象交点问题 是高考题的典型题型 该类问题一般可通过导数研究函数的单调性 极值 变化趋势等 根据题目要求 画出函数图象的走势规律 然后分析观察 列出相应不等式 或方程 求解 要注意转化与化归 函数与方程 数形结合 分类讨论思想的应用 1 求f x 的单调区间与极值 2 若函数f x 的图象与函数g x 的图象在区间 0 e2 上有公共点 求实数a的取值范围 答题模板 第一步 确定函数定义域