各年级的注意事项.doc

第三章 各年級的注意事項譯者 林心怡當許多學生所擁有的必要基本技能，還不足以應付所有該年級的數學內容時，特別是在早期階段，想要落實課程標準是一項艱鉅的工作。本章的討論在於探討數學課程中各標準的要點，並且說明其中幾個要點在以課程標準為基礎的課程中所扮演的重要角色。另外，本章也提出一些要點，例如學生在哪些地方可能發生學習困難、在何時可能發生這裡也提供如何應對的技巧及方法。最後，本章還指出特別需要注意的細節。本章對於較低年級的討論範圍如下：l 重點部分(area of emphasis)學習的主要目標（直接取自數學課程標準）l 主要的課程標準(Key standards)確認一些極重要的標準，並試著將它們放入課程(context)l 細節(Elaboration)針對課程標準以及相關的範圍，提供額外的詳細說明。l 各年級應具有的能力(Grade-Level accomplishment)確認在數學學習的範圍內，可能出現的特定困難及必須注意之處六年級以上，我們比較不探討各年級已能處理的問題，而將重點擺在討論主要的標準與細節。 幼稚園到七年級的主要標準內容的組成，是數學課程標準中的五個主題（數字常識，代數與函數，測量與幾何，統計、資料分析與機率，以及數學推理）。很明顯的，數學推理與其他四個主題截然不同。數學推理本來就應該融入其他每一個主題；對於整個數學基礎而言，數學推理是發展基本技能及概念理解的基礎。從所有課程標準來看，數學推理是必要的。基於這項理由，本章就不會再強調數學推理的要點。 本章對於八年級到十二年級的課程組織方式是依照數學科目，只有一些基本科目代數、幾何、代數、三角學、初等微積分課程、數學分析、以及機率與統計有仔細地討論。至於其他課程則參考其他相關資訊，例如進階測驗（Advanced Placement，簡稱AP），以及本書以外的資訊。 對所有的教師、學生與課室而言，如果要進行較有難度的數學解題，那麼各年級數學能力的發展情況是非常具有意義的。在此過渡期，對於以課程標準為基礎的數學課程而言，這樣的資訊特別有幫助。各主題 數學課程的內容常會被區分為幾類，稱為各主題。就如同大多數的分類系統，數學的各個主題也趨向於將內容打散，並形成幾個較小、容易分辨且可理解的類別。然而，在區分這些類別時並未取得共識；因此，區分各主題的作法就顯得有人工化的味道，而各式各樣的分類系統也就開始因應而生。除此之外，要將一項特定的數學概念或技能限制歸類為單一的主題，常常是很困難的。無論如何，對於幼稚園到七年級而言，這個架構仍然可以呈現出數學內容的五個主題。 由於，從一個年級跨進下一個年級時，數學內容都會有所不同；因此，從幼稚園到七年級的數學課程中，任何主題內容都會大幅度影響數學課程。換句話說，各主題內容的唯一功用是在影響課程的組織與思維，它們是在說明課程，而不是在定義課程。同樣的，確認每一年級的數學教育的主題內容，並不是要求各主題一定要規劃出同等份量的課程。 本章接著要說明各主題的性質(general Natural)：數字常識學校中大部份的數學教學都必須依賴數字，以便於進行數計數、計算、測量及估計。本數學課程標準主要是強調數字概念的發展、數字的計算（包含加、減、乘、除、找出次方和根、還有其它延伸的部分）、數的命名及寫法（記數的系統，包括十進位基數、分數、負數、有理數、百分數、科學符號的記法等），以及估計。在較高的年級，本主題的學習範圍還包括質數與複合數、無理數，並利用有理數逼近的近似值、實數及複數。代數與函數這個主題包含了兩個相關的科目。函數就是規則(rules)，也就是把在初始狀態的一個元素，指派到(asssign)第二種狀態的另一個元素。例如，即使在幼稚園這麼早的時期，孩子們會收集彩色的球，並根據顏色分類它們，因此他們在進行分類時開始依每個球的顏色做指派的動作。更大一點的孩子，學生能操作簡單的數字函數，例如把某種測量數量換算成另一種，如12英吋約等於一呎。 因此，函數是數學課程中一門重要的領域。據指出，函數在小學階段僅僅是非正式接觸的課程，隨著學生升上更高的年級，他們對代數的理解力就會日益增進，因此函數課程也就顯得更重要了。從第一年開始接觸代數課程之後，學生每年都會遇到函數的課程，並對函數課程有不一樣的體認。 實際上，代數也是由非正式開始的。它一開始在三年級是以四則運算的形式出現。對較高的年級而言，代數是一項非常重要的工具，我們必須利用它來解出方程式及不等式，以及在現實情境中使用它作為數學模式以解釋現象。從自然語言（他們平常每天所使用的溝通語言）轉換成代數的抽象語言時所產生的困難，是學生必須克服的；相反的，學生可以從代數的正式語言到自然語言的過程中，表現出他們吸收概念後的全然理解。測量與幾何幾何學是在研究宇宙中的空間及圖形。不論是實際或理論，在學校中任何關於空間的學習都歸於幾何主題。在低年級的階段，這個主題包括測量工具的使用（例如：尺），以及基本形體的辨識（例如：三角形、圓形、正方形、球體及立方體）。在較高年級的學習內容就擴展到面積及體積、還有角度的測量。到了中學，平面幾何就被當是證明數學概念的敲門磚，而且平面幾何往往被認為是一種迷人的結構，它對文明世界的影響已經超過2000年。統計、資料分析與機率 本主題的內容包括：各種平均數的定義與計算，以及分類法或以統計圖示法進行資料分析，並且討論到抽樣的隨機性或偏誤。在學習排列組合和巴斯卡三角時，本主題與主題2（代數與函數）和主題1（數字常識）之間有密切的連結。在小學階段，關於收集資料和用圖表呈現這兩項，其學習成效是非常有限的，大多數的小學生只能計算簡單的平均數以及操作簡單的機率實驗。當學生已經具備一般分數及代數概念的基本技能後，這個主題在七年級以後就會變得更加重要，他們因而能進一步探討統計以及統計對日常生活所造成的影響。數學推理 只要我們是在證實一項數學敘述，就會涉及數學推理。低年級的數學推理主要是歸納的形式，而且很快就加入演繹推理。凡是關於計算過程的解釋、題目及各種難題的解答、演算法則及公式的理解、以及各領域數學基本結果的證明，這些都必須運用到數學推理。事實上，數學推理和其它四個主題的性質並不相同，必須有所區分。數學推理就是數學的核心，也就是數學的基礎，需要仔細、簡潔且可理解的證明。學生必須明白在獲得結論之前，必須先有假設，而他們必須要有能力確認假設是否獲得證實。學生必須發展出邏輯思考的習慣，並且能理解和質疑所有的假設。在日後的生活中，這種推理技能將提供給學生基本的能力，讓他們能做出合理的判斷及決定，因此他們就擁有無價的答辯能力，並且能對錯誤的主張能加以正確無誤地駁斥。主要標準數字常識代數和函數測驗和幾何統計、資料分析和機率數學推理幼稚園1.0 1.1 1.2 1.32.0 2.13.0 3.11.0 1.11.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.21.0 1.1 1.21.0 1.1 1.22.0 2.1 2.2一年級1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.52.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.73.0 3.11.0 1.1 1.2 1.31.0 1.1 1.22.0 2.1 2.2 2.3 2.41.0 1.1 1.22.0 2.11.0 1.1 1.22.0 2.1 2.23.0二年級1.0 1.1 1.2 1.32.0 2.1 2.2 2.33.0 3.1 3.2 3.34.0 4.1 4.2 4.35.0 5.1 5.26.0 6.11.0 1.1 1.2 1.31.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.52.0 2.1 2.21.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.21.0 1.1 1.22.0 2.1 2.23.0三年級1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.52.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.83.0 3.1 3.2 3.3 3.41.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.52.0 2.1 2.21.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.61.0 1.1 1.2 1.3 1.41.0 1.1 1.22.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.63.0 3.1 3.2 3.3四年級1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.92.0 2.1 2.23.0 3.1 3.2 3.3 3.44.0 4.1 4.21.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.52.0 2.1 2.21.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.2 2.33.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.81.0 1.1 1.2 1.3 2.0 2.1 2.21.0 1.1 1.22.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.63.0 3.1 3.2 3.3五年級1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.52.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.51.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.51.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.2 2.31.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.51.0 1.1 1.22.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.63.0 3.1 3.2 3.3六年級1.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.2 2.3 2.41.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.2 2.33.0 3.1 3.21.0 1.1 1.2 1.32.0 2.1 2.2 2.31.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.22.3 2.4 2.53.0 3.1 3.23.3 3.4 3.51.0 1.1 1.2 1.32.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.73.0 3.1 3.2 3.3七年級1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.72.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.51.0 1.1 1.21.3 1.4 1.52.0 2.1 2.23.0 3.1 3.23.3 3.44.0 4.1 4.21.0 1.1 1.2 1.32.0 2.1 2.2 2.3 2.43.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.61.0 1.1 1.21.31.0 1.1 1.2 1.32.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.83.0 3.1 3.2 3.3附註：數學推理和其他四個主題是不一樣的。因為本主題蘊含於其他四個主題中；對於堅實的數學基礎而言，數學推理在發展基本技能和概念理解時，是最基本的內容。閱讀這份課程標準時，要牢記數學推理在每一個主題中都是重要的，因此在數學推理的主要條文中就沒有特別強調的符號。課程標準中X.X符號，是表示該年級的主要課程標準。序-幼稚園到七年級 從幼稚園到七年級的數學課程，從基本教材開始並逐年增加範圍及內容。在從幼稚園到二年級，介紹數字、集合及函數時，就像倒三角形一樣，把全部的重心都放在發展核心概念。假如在低年級介紹科目時不完整，那麼日後學生將很難有所發展；他們的數學發展也將會提早停滯、被放棄，那麼我們就無從瞭解他們的潛力。 由於低年級的數學教學大致是拋給學生問題，因此在學生的學習生涯中，我們所提供的題目必須是結構性縝密，而且就數學而言要是正確的。有時，看起來正確的問題，事實上可能是錯誤的，因而導致部分學生產生嚴重的誤解。例如，老師也許描述了幼稚園的代數與函數課程標準1.1：辨識、整理、藉由屬性分類物品、以辨識出不屬於某一特定群體的物品。首先大概說明一下，以下的練習似乎符應了上述的標準： 在一張圖中有三種物品，分別是籃球、巴士及網球，並要求他們分辨哪一樣物品與其他物品不同類。 上述似乎是一個非常適切的問題。雖然第二樣物品屬於另一類，然而，從數學的觀點而言，這個問題並不是一個數學問題。有一點非常清楚，除非我們界定(specified)清楚，否則這個問題不會得到一個合理的答案。上面這個例子，學生必須猜測教師的目的是否在要求學生分類物品的形體。此時我們應該要問：我們想要收集一些球，那麼我們應該要選擇物品中的哪一些呢？或者反過來問：這些物品中的哪一個不應該被包括在內？另一個方式是增加顏色，例如：將巴士與網球塗上藍色，籃球則塗上棕色。然後我們又可以問另一個問題：我們想要藍色的物品。這些物品中哪一個是我們想要的？或者是：我們想要藍色的圓形物品。這裡的哪一個是我們想要的？總之，在還未界定所求是什麼的時候，不應該提出數學課程內容相關的問題。 另一個例子，統計、資料分析與機率的課程標準1.2要求學生辨識、描述以及延伸簡單的模式（包含形體、大小或顏色，如圓形、三角形、紅色或藍色）。以下這個問題可以適切地說明這個課程標準： 呈現圖形給學生看，依序為長方形、三角形、正方形、長方形、三角形、正方形、空白畫面、三角形、正方形。請學生說出空白畫面應填入什麼圖形。然而，這個問題似乎是一個合理的問題（而且這個例子非常普遍出現在低年級的數學課程中）；但是，不能把它當作是一個數學問題。從數學的觀點而言，除非學生獲得更多資料，否則這個問題不會有一個正確答案。所謂的數學，是從明確的描述性假設中推導出邏輯性的結論。因為在這個例子中沒有提到關於規律的性質(Nature of the pattern)（例如：是每三項模式本身就重複一次嗎？還是每七項重複一次？還是每九項重複一次？）學生只能猜測空白畫面中應該要填入什麼圖形。 問題的目的可能是要求學生從現有的資料模式中去做推論，極有可能每三項出現一次重複，使得學生自然而然地假設空白畫面應該是長方形。但是假如學生開始認為：在他們開始著手解決問題之前，他們能正確猜測，也就是每一個數學情境一定包含隱藏的程序，這樣一來，數學的教與學這兩方面都會面臨重大的危機。來自一些大學數學教授的觀察，他們認為這個結果也許已經發生在一些學生身上。學生勉強地相信數學的敘述，這已經成為數學學習中最主要的絆腳石。 我們常藉由真實情境的佈題，嘗試地將數學變得更有意義。以下的這種例子類似於許多四年級的評量試題：下圖是一個55排列的衣物櫃，其中只有正中間33的格子有填入數字。圖1我們給學生一個試題：有一些老舊衣物櫃的門，上面的數字已經脫落。請找出遺失的數字，並說明數字的模式。 這個問題在數學上是不合理的。題目所提供的資料不足，無法找出唯一的正確答案。事實上，如圖2所呈現的預設解答，利用隱藏的長方形排列假設。然而，這個假設並沒有在這個例子中指出；而且這個例子可能在數學上也是不適當的。圖2圖3如果沒有這個假設的話，還有許多其他的解答。如圖3呈現的即是其中的一種。 數學的主要重點之一是增進批判思考；學生必須學習利用已知的資料進行精確的推理，所以如果有隱藏假設的話，他們要知道必須找出這些假設並且質疑它們。 以上這些評論並非想要貶低學習數系及基本計算的重要性，而是這兩者都同等重要。同時，也針對幼稚園到七年級課程呈現相關主題的題目，但是探索的程度不同於許多之前討論過的其他範圍。 本章內容的目的是要試著針對這些年級的多樣教材，以正確的觀點指出某些重要的主題在哪些地方可能會遇到困難，並提出一些解決之道。除此之外，透過本章指出其項目，可以知道應發展哪些要點以培養批判思考的能力，並針對這個過程提出可行的具體建議。幼稚園的重點幼稚園畢業前，學生能瞭解日常生活所出現的小數字、數量、以及簡單的形體。他們能數數、比較、描述、以及分類物品，並發展出對屬性及模式的感覺。數字常識1.0 1.1 1.2 1.32.0 2.13.0 3.1代數與函數1.0 1.1測量與幾何1.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.2統計、資料分析與機率1.0 1.1 1.2數學推理1.0 1.1 1.22.0 2.1 2.2主要標準數字常識 在幼稚園，以下的數字常識課程標準是基本的：1.0學生要瞭解數與量之間的關係（一堆物品在不同的情境下仍然有相同數量，不會因為它的位置或排列不同而改變）這個標準裡有一個重要技能：將一堆具體物分堆並比較各堆，能察覺出不同堆的物品之間是否有較多、較少、或相同數量。以下說明的數字常識課程標準也是重要的：2.1 能與用具體物求出加法及減法問題的答案（兩個數字皆小於10）。這些課程標準的目標是要開始發展更精確的數字常識。雖然這個階段的學生主要是在處理小的數字，但是他們也需要有處理大數字的經驗。這裡可以提供一個經驗的活動：教師可以用網球、乒乓球或軟糖裝滿玻璃瓶，並要求學生去猜玻璃瓶中物品的數量。像這類的活動能幫助學生對數量有更深的理解，並幫助他們獲得估量的經驗。 當進行這個活動時，教師必需提醒學生僅在約估略計大數量，而不是精確的數量，以免反而產生迷思概念。這是一個嚴重的問題，可能會在往後引發真正的學習困難。 避免這個學習困難的方法就是讓學生動手操作教具，如利用積木讓學生比較兩個（數量相當的）大的數量（例14和15）。全班可以一起探究14可以分成兩堆相同數量7，而15則無法等分成相同數量的兩堆。學生將開始體認到雖然沒有計數只用看的，會很難區分出15和14；但是，他們仍可發現這兩個數量的確不同。這個活動應可幫助學生察覺每一個整數都是唯一的，而且這個活動可能幫助學生認識數字常識課程標準1.2-要求他們計數並表示出30以內的物品。代數與函數代數與函數課程標準所扮演的角色也是基本的：1.1 辨識、整理、以及依屬性分類物品、並辨識出不屬於一個特定類別的物品（如：所有的這些球是綠色的，而那些球是紅色的）雖然幼稚園的教師可能不會把自己視為教代數的教師，但是事實上是他們開啟了代數的學習過程。他們讓學生從資料中發現樣式而獲得先備經驗、提供學生初次接觸函數的機會、以及引導學生進入抽象階段，因而讓學生瞭解樣式的存在。例如，學生瞭解藍色的長方形積木以及藍色的球，它們有明顯不同的物理屬性；但是學生仍然可以將它們歸為同一類，因為它們擁有相同的顏色。能做到這裡，也就開啟了抽象推理的領悟，這是一種更高級的思考技能。統計、資料分析與機率與這課程標準有關的包括統計、資料分析與機率的課程標準：1.2 辨識、描述、以及延伸簡單的模式（如圓形或三角形），指出它們的形體、大小或顏色。細節部分 幼稚園教師可能已經發現，許多學生有能力超越幼稚園標準而學習其他內容。例如，一年級課程標準有要求學生記住加減法基本運算。由於記憶基本運算，需要長時間非常大量的練習，所以在幼稚園時期，就以基本的運算開始引入記憶加減基本運算，如+1、+2、-1、或是共計總數為10的練習。任何加和減基本運算事實的練習，應該限制在更簡單的問題上。同樣的，我們能在加法及減法的內容上，教導學生+、-、=這些符號的意義，但是仍只能將重點放在小的數字上。在測量的部分，當他們在學習一個星期的天數時，也可以把月份的觀念教導給幼稚園學生。在幼稚園應達到的注意事項孩子入學後，對於可能在技能及概念的獲取上落後於同儕的孩子而言，幼稚園對他們來說是一個重要的時期。幼稚園中有效的教學能幫助這些落後的孩子，在往後的階段和同儕有相同的程度一起學習。剛進入幼稚園的學生沒有一些學業上的語言背景（測驗及課本的語言），也不能理解這種語言代表的概念，因此對他們學習數學而言是很不利的。在一開始的數學發展最重要的概念是屬性，例如：顏色、形體及大小；抽象的概念，例如：有些、全部以及都沒有；以及排序（ordirial）的概念，例如：之前、之後、昨天和明天。教師們需要有清楚的方向，知道如何幫助學生，包括：在語言概念理解受限、或是已經能理解他們本身的自然語言概念但尚未瞭解英文字義者，讓他們能夠有最大的進展。在教學時間或是玩樂時間，幼稚園提供許多機會給教師，去教導孩子基本的數學字彙及概念。例如，學生透過一種遊戲學習輪流的概念，或是下課時間學習排隊的概念（第一、第二、第三）、或是數完一條線上的數字（一、二、三）、也可能假如每位小朋友有一顆球（配對的情境），他們會決定幾號的小朋友可以在下課時間帶六顆球出去。對幼稚園孩子來說，要學習的重要數學技能及概念描述如下： 數數：在開始數數教學之前，教師應該選擇的數字是孩子已經能數出的，並要考慮孩子是否能理解每一個數字代表的意思。教師應該依序將後面少數的數字以模式化的方式呈現（如：5、6、7），提供學生能夠練習從最初的數字開始說出完整的序列（1、2、3、4、5、6、7），並能將每一個數字正確地配對到相對應的物品集合。在學生已經能夠完全掌握包含新數字的序列後，教師可以引入更多的數字，並且重複上述的活動程序。雖然課程標準只要求學生熟練數數到30以內，我們仍能讓孩子進行每天的計數練習，直到學生能數到50或100，這樣一來，學生就可以做更多的準備，以因應未來一年級的學習及挑戰。 理解數詞：在孩子能夠數到10之後，教師應該引入數詞。教師若沒有按照順序引入數詞的話，學生容易混淆數詞與數數順序之間的關係。例如，教師介紹數詞4，接著介紹數詞7。接下來，教師花了好幾天的時間，一直到學生能夠辨識數詞1到10之後，才引入一個新的數詞。教師要呈現一個新數詞時，應該事先提供學生愈來愈多的練習，讓學生複習學過的數詞。 寫出數詞：課程標準要求學生認識數詞1到9的名稱，並知道如何寫它們。一般而言，學習寫數詞需要許多練習，而且這個年紀有一些學生也許在肌肉協調上有困難。首先，學生應該模寫一個數詞許多遍。然後，他們應該依照一些提示性的輔助寫出這個數詞（如：點狀或含有箭頭方向的提示）；最後，他們應該憑記憶將這個數詞寫下來，就是教師唸出數字，學生寫下數詞。運用多感官的方法是非常重要的，教師必須鼓勵這個年紀的學生，而不是一直在乎他們的數詞寫的好不好看。幼兒尚未完全發展出精細的運動技能。許多學生會因為他們想在紙上寫出來的字，與實際上寫出來的字差異甚大感到挫敗。 瞭解位值理解十幾的數字：為了理解並會寫出10到20的數字，學生必須瞭解一些關於位值的重要性。教師可以預期學生學習數字11、12、13和15比較困難，而學習14、16、17、18和19則比較容易。後者這群數字在發音讀法上是有規則可循的，（如：14-fourteen，16-sixteen）；但是前者那一群的數字是不規則的，十二不讀成twoteen，而讀成twelve。要瞭解位值有一個先決條件，就是要能口頭回答基本問題，比如說10+6是多少？當學生已經理解十幾的發音讀法是有規則可循時，教師可以開始引入一個沒有規則讀法的數字，然後將這個數字和有規則讀法的數字混在一起，讓學生進行口頭練習。當學生能夠清楚地說明先前已介紹過的十幾數字時，教師就能繼續引入不具規則讀法的新數字。當學生能夠進行口頭練習時，我們就能引入這些數字的讀和寫。 學習一個星期內的每日名稱：我們可以利用類似教導數數的方法，來進行一個星期內每日名稱的教學。教師可以將每日名稱其中的一部分序列以模式呈現（星期一、星期二、星期三），練習依序讀出每日名稱，然後經過幾天之後再引入新的部分（星期四、星期五），再進行這個部分的練習；然後從一開頭再重複教導整個序列。在幼稚園階段也能進行整年月份的教學。除非學生對日期和月份的序列有非常充分的理解，否則他們在應用時間概念時會產生困難，就像下述課程標準第二個部分所指出的之前和之後：測量與幾何1.0 學生能理解時間的概念以及測量時間的單位；他們理解物品具有屬性，如長度、重量以及容量，而且可藉由指出這些屬性來進行物品間的比較。一年級的重點部分一年級結束之前，學生能理解並使用數系位值中的幾個一（ones）和幾個十（tens）之概念。學生能輕易地進行小的數字加減。他們能用簡單的單位進行測量，並能標示物體的空間位置。他們能描述資料、分析資料以及解決簡單的問題。數字常識1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.52.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.73.0 3.1代數與函數1.0 1.1 1.2 1.3測量與幾何1.0 1.1 1.22.0 2.1 2.2 2.3 2.4統計、資料分析與機率1.0 1.1 1.22.0 2.1數學推理1.0 1.1 1.22.0 2.1 2.23.0主要標準數字常識 以下的數字常識課程標準是基本的：1.1 能數數、理解、以及寫出100以內的整數。 學生能獲得數字及數數的概念性理解是重要的，而不只是學習機械式數到100。例如，他們必須理解數數並不是一定要遵循從左到右的標準模式，可能會有不同的次序性以及不同的方向性，只要把每一項都做上記號就可以了。學生也必須瞭解數字代表物件集合中的特定數量。特別重要的是，學生要學習並瞭解幾十幾的數數序列、以及十的倍數。我們應該特別向學生強調十幾的數字代表一個十的數值、以及某個特定的單位數值12不只表示12這個物件集合，它也代表1個十及2個一。以下的數字常識課程標準是相關並且同等重要：1.2 利用小於、等於或大於（、）的符號，對100以內的整數進行比較及排序。以下課程標準所描述的是基本加法和減法技能的延續發展：2.1 能理解加法的事實（和在20以內）以及其對應的減法事實，並將它們記住。2.5 能指出加法的意義（併加型及添加型），以及減法的意義（拿走型、比較型找出差異類型）例如，學生應該瞭解15-8=7這個式子與15=7+8這個式子具有相同的意義。我們應該特別將重點注意在學生這些能力上的評估，因為如果學生在這些主題上學習挫敗的話，那麼在學習較高年級的課程時就會產生很嚴重的困難。這些課程標準要能達成，需要在整個學年中要求學生接受簡單加法及減法的問題解決訓練。統計、資料分析與機率 以下關於統計、資料分析與機率的課程標準也是重要的，必須謹慎處理：2.1 描述、延伸以及解釋出方法，以在簡單的重複模式中得到一個新的元素（如：節奏的、數字的、顏色及形體）學生應該不會想到下一次自動重複的是什麼（除非明確告知他們，這種情形就會發生）；然而，合理的現象是他們應該會問下一次最可能出現什麼。這樣一來，學生不只開始學會使用的分類、理解資料的模式，而且也能學會仔細、精確的思考模式。這些模式例如顏色的序列：紅、藍、紅、藍、，或是數字的序列：1、2、3、1、2、3、1、2、3、，甚至用到更複雜的數字序列：1、2、3、2、1、2、3、2、1、2、3、細節部分 教導學生有效地解決基本的加法及減法問題，並能將答案記起來，這需要相當大量的練習以解決這些問題。如第四章的描述，應該每天進行少量的相關練習，或者一星期至少好幾次。在學年度開始時，練習的重點應該是較小數字的練習（和小於或等於十）。我們應該在學生已經熟練解決簡單問題的技能後，再來強調較大數值的練習。另外，我們應時常進行一些小測驗，以得知學生是否能掌握新的加減法演算，以及知道他們是否還記得先前教過的教材。當學生能迅速並準確地解決有關的加減法演算問題時，表示他們已經能掌握基本的加減法。如果學生能準確地解決問題、但解題速度慢，這表示學生仍然使用數數或是其他策略來解題，而還沒有將基本加減法記在腦海中。 對一、二年級而言，背記下基本的加法及減法結果是重要的目標。若學生無法背記下基本的加法及減法結果，那麼日後在進行數字運作及計算時，會處於不利。 因為瞭解集合之間的簡單加法交換率關係，例如7+2和2+7，就能在學習演算時減少記憶的負擔。這些交換率關係的教學，可以安排到教導學生簡單加法中及他們進行練習的期間。例如，在學生學過7+2之後，我們可以進一步指出2+7也具有相同的答案。接下來，在學習單上設計一系列像7+2和2+7這類的問題，學生也就有機會去發現並強化這個交換律的關係。然後，他們可能學習到使7、2和9之間的組合關係以建立減法演算及加法演算。 雖然，在一年級的課程標準要求從1計數到100，但如果學生已經能熟練地數到100，那麼在一年級的後期就可以開始引入幾百。一旦學生在一年級已經可以熟練地從1向上數到100，那麼他們也應該可以非常順利的從100往下數到1。在一年級應達到的注意事項 對一年級的孩子而言，最重要的數學技能及概念說明如下： 讀寫數字：許多學生在處理像16和61的數字時，顯示他們在位值理解上的缺乏。假如學生對這樣兩個相似的數字產生困惑，教師應該試著瞭解是何種原因造成學生會有這種困惑，是無法理解數字由左向右讀？還是學生對位值概念有不恰當的理解？教學應該謹慎地依序指出16是1個十及6個一，而61則是6個十及1個一。學生必須瞭解必備的基本位值概念技能，如6個十相當於60，而且延伸得：60就等於6個十；而且學生還要瞭解幾十加上個位數的加法，例如10+3、10+5、30+6。在學生會讀寫這些數字之前，這些加法計算可藉由口頭教導。學習如何寫出代表幾十的數字，對於理解位值及數字是很重要的。許多學生對代表幾十的數字有學習困難，大部分的困難似乎是在不以第一位數名稱發音的幾十數字（如：二十twenty不唸成twoty），而比較不會發生在以第一位數名稱發音的幾十數字（如：六十sixty、四十forty、七十seventy、八十eighty、九十ninety。教師應該讓學生在這些較困難的項目上有更多的練習。 跳著數：除了加強孩子的數字常識之外，跳著數也能幫助孩子更容易學會乘法及除法。當學生能夠一個一個計數到20或30時，我們就可以開始引入十個一數。十個一數（tens）可以幫助學生從1數到100。跳著數的教法就像一個一數（ones）的方法一樣。教師設計前半段的模式，然後讓學生練習前半段，持續地進行新數列的建模（modeling）、練習，直到學生能說出整個完整的數列。跳著數需要使用策略性的系統教學法，就像我們之前討論過的一個一數的方式一樣。安排定期的練習能夠幫助學生熟練數列的計數。當學生要學習新的數列時，也需要複習之前教過的數列。 加法及減法的教學：進行加法及減法的教學及評估時，應該如前所述要系統化。 理解交換率的關係：理解交換率的關係，能夠在學習中減輕記憶數字演算結果的負擔。 一位數及二位數的加法及減法：如果我們要求學生練習對齊數字，並要求他們先算右邊的數字再算左邊的數字，就可以幫助學生避免一位數及二位數加法的學習困難。這個程序會使學生感到困惑，因為（如之前所討論）我們寫數字是從左到右。接下來，在一位數及二位數的減法上，學生需要進行從上到下的練習。二年級的重點部分二年級結束之前，學生能理解位值以及加法與減法中的數字關係，並且能開始使用簡單的乘法概念，也能使用一個適當的單位測量數量。他們能分類形體，並且注意到其幾何屬性以瞭解它們之間的關係。他們也能收集並分析資料，並檢視答案的合理性。數字常識1.0 1.1 1.2 1.32.0 2.1 2.2 2.33.0 3.1 3.2 3.34.0 4.1 4.2 4.35.0 5.1 5.26.0 6.1代數與函數1.0 1.1 1.2 1.3測量與幾何1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.52.0 2.1 2.2統計、資料分析與機率1.0 1.1 1.2 1.3 1.42.0 2.1 2.2數學推理1.0 1.1 1.22.0 2.1 2.23.0主要標準數字常識 如同一年級的例子，雖然分數和小數在二年級這個階段出現了，但是對二年級的學生而言，能逐漸熟練整數才是基本重點。以下有關數字常識的課程標準特別重要：1.1 能計數、理解、以及寫出1000以內的整數，並對每一個位數進行位值辨識。1.3 能運用、的符號對1000以內的數字進行排序及比較。在此，不斷重複運用、的符號，可以作為抽象的例子和重要的代數演算，有助於學生理解更複雜的概念和數量。因為許多孩子容易被和的符號搞亂，他們需要經常使用它們。基於許多相同的原因，以下列出的課程標準是非常重要的：2.1 能理解並使用加法與減法之間的逆運算關係（如：一個相對的算式，像8+6=14即14-6=8）來解決問題並找出解答。2.2 能找出三位數以內的兩個整數和或差。課程標準2.1讓學生明確應用不同類型運算（加法和減法）之間的關係，並且用來鼓勵更多樣的思考方式以解決問題。例如，加法的知識能讓解決減法的問題變得更容易，反之亦然。144-98=？要解這個問題，只要能明瞭144=100+44=98+2+44=98+46，就可以解題。 第三個數字常識課程標準，對於學生理解計算、以及解決乘法及除法的問題上是非常基本的：3.0 學生能將簡單的含有乘法及除法的問題模式化並解決。在這裡，流暢的跳著數是非常有用的。有關於分數的討論及課程目標出現在數字常識課程標準4.1、4.2及4.3，這些課程標準也是學生發展算術能力中的必要條件。雖然等值分數並沒有明確出現在課程標準中，但在這裡開始讓學生討論這個主題也是不錯的想法比如說，學生應該瞭解2/4相當於1/2，這個概念可以用圖形來說明。最後，使用具體物以及應用先前討論過的主題，有關數字常識課程標準的教材5.1及5.2利用錢幣來設計（modeling）問題及解決問題是相當重要的。借錢可以做為減法概念的實際情境。這個部分應該特別注意的地方是必須引入和符號，事實上，在使用元的符號次序時是3，不是3；但如果是分，則其符號次序是31，而不是31。代數與函數 在代數與函數的主題中，以下的課程標準在二年級是必要的數學教學重點：1.1 能使用交換率及結合率進行心算，並檢驗結果。然而，在這裡強調的重點應該是使用這些規則來簡化問題。例如，瞭解5+8=13可以省去學習8+5=13的步驟。這個地方並非強調學習專門術語的重要性。學生應該開始發展一種能夠欣賞一致性的美，而不是過度強調這些主題，特別是結合率這種複雜的概念，否則，教學效果反而會比根本不提到它們還要差。測量與幾何 雖然以下從測量與幾何主題中所列的課程標準1.3是重要的，但是我們應該更強調的主題是課程標準2.0。1.3 能測量物體的長度到最接近的英吋及（或）公分。2.0 學生能辨識並描述一般平面圖形以及一般空間物體的特徵。因為對一些學生而言，他們瞭解空間關係會比其他的學生要來得困難（尤其是三度空間的資訊）。教師應該針對如何讓學生理解這些形體、以及它們之間的關係，謹慎地進行評估。統計、資料分析與機率 雖然統計、資料分析與機率主題中的課程標準1.0對二年級來說是重要的，但是課程標準2.0在這個階段就更重要了。1.0 學生能收集數字資料，並以長條圖或其他表示方式記錄、組織、呈現及解釋資料。2.0 學生能夠說明令人理解的模式以及模式如何擴展，並以一般的方式描述它們。在一年級來說，這裡的重點是學生能區分最有可能的某一項（likely next term）以及正確的下一項（the next term）之間的差別。在統計上，學生尋找可能的模式；但是在數學上，學生需要瞭解如何歸納模式產生正確的下一項。如以下這個例子，只給數列2、4、6、8、10，學生不應該確定下一項是12，而應該確定最有可能出現的下一項是12。例如，正確的數列也許是2、4、6、8、10、14、16、18、20、22、26、28，能區分什麼是可能的以及什麼是正確的，就可以促進更謹慎、更精確的思維。細節部分 到了二年級的時候，對於在一年級階段時尚未能熟記基本加法及減法結果的學生，應該要讓他們繼續練習這個部分。在學年開始就要評估學生對於基本演算的知識。這項評估應該個別進行，以便教師能夠評估某位學生是否已經把基本演算記熟。評估加法及減法熟練度可以藉由簡單的紙筆測驗進行。我們應該要求學生在一至兩分鐘之內，解決一整張的試卷。如之前所述，已經能記熟基本演算的學生，能快速且正確的處理這些簡單的工作。假如不是這樣的話，他們極有可能是在腦中數數以進行解題（Geary 1994），或是使用耗時的數數策略以得到答案。對這些孩子而言，加法的練習是必要的。 學生在二年級要學習如何進位及借位的基礎。因為對學生而言，進位及借位是很難掌握的，這些技能的延伸討論及練習似乎是必須的（Fuson and Kwon 1992）。為了正確的進位與借位，非常重要的是讓學生瞭解數系中10進位的結構和概念，以及變成10個一與10個十等等向前一行進、借位到下一行。對學生而言，將進位及借位錯誤概念化是常見的事；比如說，將十位數那行的一個提出，換到個位數那一行。事實上，被提出來的是十單位的集合，而不是一個十位。例如，在43-7的例子中借位能解釋成如下：43-7=（30+13）-7=30+（13-7）=30+6=36，過程中說明了加法的結合率。一開始，應該把問題限制在個位數必需要向隔壁行進、借位（如：17+24、43-7），並特別注意含有0的問題（90-34及94-30），因為它們常讓學生感到困惑（VanLehn 1990）。二年級時開始引入乘法概念，學生也被要求背記二、五與十的乘法表。在剛開始學習乘法的期間，學生常會在加法及乘法之間感到困惑，更多的加法練習有助於消減這些困惑。教這些乘法時，應該也可以像一年級時教加法，使用先前討論過的系統式教學法。在二年級也可以開始試著跳著數除了2、5和10以外的數列（如：3的倍數、4的倍數、9的倍數、7的倍數、25的倍數），這可以幫助學生做好準備，以便在三年級學習更多的乘法。除此之外，我們可以使用結合率及交換率，讓學生瞭解更多數字的乘法。舉例而言，假如學生已經瞭解85，那麼他們就不需要再學習58了。低年級的學生通常在運算加法或減法時，很難把數字對齊，因此有必要提醒學生一定要確認他們的數字是否有整齊的對齊好。我們能教導學生使用估算來判斷他們的答案是否合理。然而，我們不建議在教導二年級學生解題時只是進行估算，過度強調估計的教學是不智的。相反的，學生必須專注於找出題目的正確答案，在使用估算來檢驗他們的答案是否合理。進行分數教學使用到的示例應該包括：小於一、等於一的以及大於一的分數例子。我們需要呈現出這些範圍內的例子，因為這樣一來才可以避免學生認為分數代表的意義只有小於一的形式。最後，教師需要確認學生是否能流暢地進行假分數的運算，並理解儘管它的名字是假分數，但是它本身是沒有錯誤的。研究指出，許多二年級學生在分數形式的寫法上有較大的困難，而在口語表達幾乎沒有問題。因此，在這個階段我們應該強調口語表達；雖然，學生當然最終一定要瞭解分數的標準寫法。在二年級應達到的注意事項 對二年級的孩子而言，他們最需要學會的重要數學技能及概念如下： 數數：從100數到999這個部分，許多學生需要謹慎的教導。學生能透過教師設計並提供的數列練習卷，學會全部的數數技巧。首先，教師先設計同一個幾十數列（十位數相同）（如：350、351、352、353、354、355、356、357、358、359、360）。每天可能都教導好幾個幾十的數列（如：350到360、140到150、470到480）。每天都進行十個數的練習，直到學生有能力產生新數列。下個階段，學生將練習由原先的幾十數列移動到下一個幾十數列（如：365到375、125到135、715到725）。如果沒有明確的教學以及足夠的練習，要學生從原先的幾十數列，移到下一個幾十數列（十位數不同），這個過渡時期是困難的。當學生有能力做到這種轉換時，就可以介紹最後的數列，包含跨越百位數的過渡數字：595到605、195到205、495到505。 寫數字：假如我們沒有小心謹慎的教導學生，有些學生會發展出一種迷思概念，在寫百位數的時候會寫出兩個零。這些學生會將三百二十五寫成30025；教師應該要注意到這種錯誤類型，並且及時改正它。需要設計一些例子以教導含有零以及不含零的數字，讓學生進行練習。 借位：在引入借位問題之前，應該學會較多與較少、最多與最少等名詞。假如學生想要成功解決借位問題，那麼必須非常瞭解這些概念。 跳著數：在使用跳著數以學習倍數的過程中，出現在