Fibonacci数列与行列式

Fibonacci数列与行列式陈霞（绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴312000）摘要：研究了元素为广义Fibonacci数的行列式的性质以及广义Fibonacci数在初等数学上的应用，给出了 一些有用的结果.关键词：Fibonacci数列；行列式；递归序列.1引言“有人养了一对兔子，一个月后长大并开始侮月生下一对小兔子。新的每对小兔子也 是按此规律繁衍.若兔子都不死亡，问一年后总共有多少对兔子？ ”这是一道很有意思的算术问题，结果也不难逐月算出来，但对由此问题产生出来的 Fibonacci数列的研究至今仍有相当价值，它最早出自1202年，意大利比萨市的数学家费波 那契写的一本书算经中.由于Fibonacci数列在理论上的严谨性及应用上的广泛性，近 年来越来越引起人们的研究兴趣.1963年开始出版的专门性朵志Fibonacci Quarterly标志 着对其性质及应用研究进入了一个崭新的历史阶段.在我国自八十年代以来也加大了对它 的研究力度，主要标志是一批中青年数学工作者加入研究行列，陆续发表了一些研究文章. 出版两部专著：吴振奎教授的斐波那契数列，周持中教授的Fibonacci数，Lucas数及 其应用Fibonacci数的应用是研究工作中的一个重要方而，早在1854年，法国数学家拉姆就利 用Fibonacci数列证明了 “应用辗转相除（欧几里得除法）法的步骤（既辗转相除的次数） 不大于较小的那个数的位数的五倍”.这是Fibonacci数列第一次有价值的应用.后来，鲁卡 斯利用Fibonacci数列的性质证明2127 -1是一个质数.这在当时是人们所知的最大素数.它的完美的前后项之比的极限（J7 - 1） / 使其在历史上赢得黄金分割的美誉.古埃 及的金字古希腊雅典的他农神庙、巴黎的圣母院、印度的泰姬陵以至近世纪的埃菲尔铁塔等 建筑中都有不少与黄金分割率相关的尺寸数据；桌而的长宽比、围巾的折叠围起位置、报幕 员在前台上午站立点，以至弦乐器琴弦下声码的放置点也都以黄金分割点最佳.运筹学方而 单因数优选法中的“分数法”则是一种直接应用费波那契数列作为试验区间长度序列的方法, 它可以做到在尽量少的试验次数内寻求出最佳的投产方案.费波那契数列还在估计辗转相 除法的步骤，表示真分数为单位分数之和以及发现梅森素数等方而显示了威力.它甚至还被 应用到平而正方形铺砌、火柴游戏、象棋马步以及一些几何图形的研究方而.更有趣的是： 植物的生长也与费波那契数列有关.文献3探讨了 Fibonacci数列在研究一些特殊行列式值方而的应用，为了后文讨论的需 要本文将其叙述如下：定义1山满足递推关系Fn = Fn_ +2 ,及初始条件Fq =1,=1的关系式称为Fibonacci 关系式，Fo , F, F2,- Fn9称为 Fibonacci 数，亿。称为 Fibonacci 数列，第3页共16页b b 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 该数列的通项为= 0,1,2,），那么Ao=l,纠=1,且产-+2，（宀2）,并且我们知道该数列的通项公式为(a)A还有一些其他的表达式ncoX 1 一 尸)(八 1),(b)11(八 2),(c)(d)(n 2).111费波那契数列还有很多有趣的性质：第2页共16页7.=2(1)”；8. F 2“+F +1=F2费波那契数列还有一些更深刻的性质，比如它的数论性质、倒数性质、与连分数及循环小数 的关联等等也正因为它的这些性质，使得它在许多方而有着广泛的应用.这里对这些性质暂 时不加研究.在高等代数中“阶行列式a + /3a/301a + 0upD.=01a + P 0 0 0n + lc 力 + 1a 一卩a - p(a h 0)将行列式D”按第一行展开可得:D n = (r + 0 ) D 斥_ 一 a卩 DD . +D 2，且易知0=1，若令+ 0 =b =- 1 ,则上而的递推关系式变为：D 如果再令z)0 = 1,那么易见数列乞与完全相同.从而有:000000 11这就是说Fibonacci数列的通项可以用行列式来表示，同上(式.这样就把行列式和 Fibonacci数列两个似乎风马牛不相及的东西有机地联系在一起了.称为 Fibonacci我们可以利用矩阵对Fibonacci数列的性质进行证明.其中力二U 0丿矩阵性质严= (-!/；?!+ 1证明:An = (一1)“ 即得性质2Z儿=F+2 - 1证明： (I - A) (A + A2 + - + /) =力(/ 一 M”)(Z - A) = - J A + A2 + + tT =一 Mnn性质3工j二耳小1，工尸22 = F2n k = Jt = l证明：(/ /)(/ + /+ + A2n) = A2(7 - A 2n)又. I - A2 = -A.2. 4.2/1. 2 /i +!. M + A + + X = A - Aei性质 4 F = FnFn+* = 1证明：由 An = F A + F J (n 2)F An = F 2 A + F - F Innn?i -I同样f_a- =+2 2f2a = f2 a + f2fI把这些式子相加n/r.i?222F nA + F nA+ + F2 A = (F“ + F z + + F2 )A + (F上而我们用行列式表示了 Fibonacci数列的通项，下而考虑一个阶行列式的元素都是Fibonacci数列的项时，阶行列式值的情形.首先考察阶行列式:。纠2 A,A ,A 2 A1 2 3 n An2 A 2-2第5页共16页当n n 3时，由4广一+zX2(/ 2),将行列式(1)的第一列加到第二列上去，则行列式(1)变为:（1）/r +1A 2/1-2I行列式()的第二列与第三列完全相同,当3时，行列式()为0,即行列式为0；当=2,力=1时易见行列式均为1从而得到下而的结论:2 3 An2 命题1 阶行列式Ann -11, （“ = 1）,An 3）.第13页共16页卜而再考察阶行列式A1A2An-1A3A4小A4A6 2?i-l当 3时，将行列式(2)的第一列加到第二列上去可得到第二列与第三列完全相同, 从而行列式为0；当=2, n=l时易见行列式(2)均为1.从而得到下而的结论：命题2 n阶行列式A 4A .A r4 5 6 2 2/1-1 2”2“A4由上而两个命题我们得到启发:只要行列式每行个元素是Fibonacci数列连续的项, 那么这类行列式当 3时必为0.即有下而的结论：命题3设勺，J是任意非负整数，当n39 n阶行列式:AA.A0AA,A.a2a2 +!+ 2 AA.A0aa +1a +2证明：将第一列加到第二列上去，则第二列与第三列完全相同，所以当 式为0.时，行列卜而考虑上而我们讨论的行列式的侮一行的元素在Fibonacci数列中的位置是连续的, 每行元素在数列中的位置是不连续的情形.先考虑行列式：2424 6 A 2/1-2 2” 2/1+22“2因为2小+“所以- A2, = 5小，先将行列式的第二列乘(2)加到第三列上再将第一列加到第二列上去可得:4 A 2/1-2 2”A 2/1-2 2“ 2/1 + 2 此行列式有两列相同，则行列式必为0.所以有下而的结论:命题4当 3时，阶行列式o24244 - A 2h-2 2” 2”+ 2/1-22“ 2/1 + 2一般地有先而的结论:命题5设勺J,，J是任意非负整数,厂为不小于1的整数，当 n 3时,n阶行列叭dfj+rd,+2rA a?a2+r22+2ra2 +(n-l)r aA a +尸a +2ra +(/i-l)r代a z的值为零.证明：因为 a + 2r = ay + 2r- + aJ+2r-2=2A+2/*-2 + at + 2r-3=3 5+23 +5+244A3Aa + 2 r-5 3时，71阶行列式D=0.木文的目的是探讨与广义Fibonacci数列相类似的结果，为此首先叙述广义Fibonacci 数列.2关于Fibonacci数列及其性质上而我们通过对Fibonacci数列的研究，定义较Fibonacci数列更为一般的数列形式：广 义 Fibonacci 数列.定义 2如果序列F”：=o 是满足方程 Fn+ = aF n + bF n , a,b g R , n = 1,2, A ,且Fo = p, F、二 q ； p2 + q2 * 0 ； p,q g r ,则称序列Fn ：“ 为广义 Fibonacci 数列.广义Fibonacci数列的任一项都是它的前两项之线性组合，初始两项是两个非零常数.如果广义Fibonacci数列中的四个常数u,b, p,q都等于1,则变为Fibonacci数列.Fibonacci 数列的数论性质一直引起人们的广泛关注，所以有必要探讨广义Fibonacci数列的数论性质.为求得广义Fibonacci数列的通项，现引入特征方程，特征根等有关知识.定义3对于数列J = aU n_x + a2U n2 + akU nk:V -八一唧/ _-叭=0,叭H 0,称为数列UJ的特征方程.它在复数域上的个根称为该数列的特征根.定理 1 设数列 U n = aUn_ + a2U n_2 + akU n_k ,叭 H 0, n = k,k + ,的特征根为人，Z2,重数依次为人昇2,厶，则数列通项为：71-!J = z C/N +2”爲 + +工 C”2：,其中，Cg,，5,，C /=0 /=0 /=0共k个数完全由初始值所确定卜而我们来求广义Fibonacci数列的通项.因为广义 Fibonacci 数列为 Fm+1 = aFn + bFn_,且 = 0,= 1 ,所以其特征方程为-aA-b= 0/izR/a + J/ + 4ba - yja2 + 4b.特征根为右=,a2 =十是有：2 21 )当厶=/+ 4方h0时，Fn = C,2； + C2Z；,其中 CiC2 满足0 = C, +c21 = CQ + C 2 2 2 即 c, = j , c2 = - / ,从而V a： + 4 bya2 + 4b1a + yla2 + 4b M a - Q十 + 4b n你=/()-()y a2 + 4Z222)当4 = 2 + 4方=0 时，F n = (C + C 2n)A n 9 其中久=,C ,C 2 满足 C =0,且 1= (C + C 2 ) 一，即 C】=0,2 2C 2 =_ ,从血 Fn =(_)Q2对于广义Fibonacci数列之增长率数列U“二=,因为 一尸心U = - -2-LL = a + b , 设 U =厶 i mU , 贝U 有 t7 = a + 方 ， 即 化FnUUU 2 - aU - h = 0 , U是方程x2 - ax - b = 0的根，此时负根没有意义，所以 a + y a2 + 4bU =.2上而我们对广义Fibonacci数列的通项进行求解，下而我们对一般的递归数列求通项， 并讨论它与行列式的联系.已知数列M“满足递归关系：M + 2M(n 3)及初值= 4, M, = 7, M2 = 9,求此递归关系.解：特征方程：x2 -3x-2 =(x-2)(x+l)2 = 0 的根为 qQ = 2,q = -1 .重数为故 M ”2” + (C2 + C3n) (-1) 代入初值.C. + C2 = 4= 3得方程组：2C - C2 - C3 = 7 = C2 = 4C, + C2 + 2C3 = 9C3 = -2得通项公式 M n = 3 2 + (1 - 2/i)(-1)M 3元素为广义Fibonacci数列的行列式的性质类似Fibonacci数列的研究方法,我们考虑一个”阶行列式的元素都是数列M的项,阶行列式值的情形.首先考察阶行列式:“M2M 3M“2M3M A4MD =M ,M ,M 4M Mn2 3 4 5 M ,/T-1MnM .M a n+2“2(I)当 n 4 时，由 M = 3M 9 + 2Mnn z(n 3),将行列式(I)的第二列乘以3,再将第一列的2倍加到第二列上，则行列式(I)变为:M n3Mi + 2M 门M2M q M01 03/T 1M ,3M.+ 2M M3M d Mi2 1nM 93M.+ 2M .MM f M23245n + 1M3M+ 2MMM . M 0-i/n 1+171+22n M nM MM M0323/J 1M fM 4MM MiM24M5M3M 4M n4 5 + lM , n-lM “fi + 2IM “2M 2/-2(八)因为行列式第二列与第四列完全相同，所以当/： 4 行列式()为0,即行列式为0,从而有下而的结论:命题n阶行列式，当几 4时5M 2“2M 2 M - M小下而再考察阶行列式:M q M -!M Mn M ,=0,5 + i M 。 M。n+ 22n-2M2M2M4M6 M 2 “2” M2n “2小M ,H- IM ,M冲/!+ 3 (II)当 4时，将行列式5）的第二行乘以3,再将第一列的2倍加到第二列上，得到行列式第二列与第四列完全相同，所以当,2 4时，行列式为0,从而的大批下而的结论:命题2，阶行列式，当M AM ,M 9M ? M02n-M 、M qM ,M M t5M M *M cM 7 M ,4 5 6 7 n + 3 M2-2“2 =M 72 nM 0 t2/1 + 1 由此我们得到启发，只要行列式每行个元素是数列M”连续的项，那么这类行列式当 4时必为0.即有下而的结论:命题3,设叭2,心是任意非负整数,当九A 4时,n阶行列式M | h +1M pM /, +-lM h t/2 +1M *2f + 3M妇 + ”-i M ;,対+ 1 S + 2 M w “A,b 3 + /I 1 M hMS + 2+3 M ；.A0* + rl 1(m)证明：将第二列乘以3,再将第一列的2倍加到第二列上，则第二列与第四列完全相同. 所以当A 4时，行列式为0.上而我们讨论的是行列式的每一行元素在数列M n中的位置是连续的，下而考虑每行=12 M 片+2一5 + 31 M 屮2一6 + 18 M 片+ 2 一 7元素不连续的情形.考察行列式:M AM。M AM ,M分0242 2M 9M 4M M。M 72468InM AM fM 2M “M ,4 6 8 iO 2/i + 2 M 2M ?2 nM ?92 n十2M .2/1 + 4M 444/1 4因为 M = 3M ，+2M7,所以 M - 3M 7 = 2A/nn 2w jnw 2将第三列的(-6)倍加到第四列上,再将第二列的9倍加到第四列上，得到:M。M2M42MM2M4“62M 2M4Me2M.4心一2J叽+ 2 第15页共16页此行列式有两列相同，则行列式必为0所以有下而的结论:命题4，当n 4时，阶行列式:M2“4MsM2M4MrM45Mg“2-2M “”2“2 =0 2“2一般地有下而的结论:命题5,设bj、，叽是任意非负整数，尸为不小于1的整数，当 4时，阶行列式M tb、+rM K = b + 2rM人亠2b、+ 3rA/ .、 b +(/r-l)rsM b 2+FM h 9 Z 2 + 2rM人M .2 + (h -1 )r M t f3 + r M f 9 Z 3 + 2 /* M .3 + 3r M .,、/ 3 + (/ 1 )r (V)JM b.iM K 0 b八2fM .的值为零.证明：因为M 耳 + 2, = 3M 片+2一2 + 2M 片+ 2一3=2必片+ 2_3+9必十2+ GM” 一 5=9M 対+24 + 12 M 爪2,_5 + 4M 為+2,+ 2B这里引入数列Bn9其中E = 3, 52 = 2, B3 =9, Bn = 3B3少心+23一2“爪一2M di+3r = 3M 十3一2 + 2M 外+3一3=8一M十+ 8少十+ 28一2“屮= B2rM 心 + B2rM 严一】+ 22 r-2 外 + 一2从而“心,_ B?M “ = BqM+ 2因此将行列式(V)的第二列的(-3-)倍加到第三列，将第二列的(-倍加到第四列,行列式(V)变为：MyBE + 2BS2BrM ,rb +r-l+2 BM22外+ 2M 人/.Xh +(n-l)rMgM ,b2rB M *、十 2B，r/2 +r-lr -2Z2 +r -2妇+一+2叭.2 r 2b2 +r 2b2 +(/t -1 )r M h 力3 +F B M 人i + 2B.r切+1r-2坍+2 r *3+r-l+2B,.M人,2 r 2+r 2 M . z .、 b3 +(/ -! )r %M bjFB M ;, + 2B 川.r+r-1r -2bM+r 26.M片i+2 BM.22bn +r-2Mi.M hb严B M h r + 尸一1B M2r+r - 1M .z八b +(/t-l)rM hh2rB M人fr2+r-1B M2rA2+r-lAf .f八2 + (it-l)r=% M、 B M、 rb3+r-1 B M2r力 3 + I M 人r、z3 + (/t - 1 )r M hB M frb.+F-lB M2rb n + r-M .M hD + FB M、, r热 + 12 BM2 22j + r-2M . z .、b +(/f-l)rM ,Z2 + rB M KxrZ2 + r- 12 BM 2 2h2 + r-2M .2 + (/r-l)r+ M ; b3 r B M tro3 + r- 1 2 BM厶 D 2一2fe3 + r-2 M 入z.、h3 + (-l)r M-M卜B M h| X +一丨2叭？2 r- 2b八 2M .八M KM ,M ,M M k z久b、+r -3b 1 + F 1b + r 2b +(n ! )rM入M人oM fM M z .、h2b2 +r-3D 2 + 才 IZ2 +r-2+(/r -1)rM ,M fM fM M .,Xb3 + r 3+r -1Z3 +r-2i3 +(/ -l)r M人M人.M ,M M叫+3b. + 尸一i九+ 2M人2B M ;.B. M .-Mb +(n-l)r叭2r-2+ r- 22 尸+/*M ,M人2B M f0B M .-MZ2 + ( n- 1 )r力2妇+尸r-22+ r-22 r2 + r-lM ,M ,2B 。M人0B. M .MZ3 + (/i-l)r“3 +尸r- 2Z3 + r- 22尸対+ 一1MM人IBM t,B a M t_M f z ,、r-2Zo + r- 2人+（iMbM ,2B2 叭r ,M人z-i”Z1 + rr2Z) 22 / -2h + r 2b + ( /)MM f2B2孔, M f ,h2方2 + Fr-222 +r -22 r - 2b2 + r 2MaMM人2BM ,2B.人,M人z-i” 方3b3+r r-2+r-2 2 r -2d3 +r -2 Z3 +( ” MM ,2B2叭 。M, M t zZa +rr-2h K +r 22 r-2+r-2,MMM Mb +(n-i)rhiZ1 + rb i + p I片+ 2MMM M/2 + (/r-l)rh2+ rft 4- r |Z2+ r-2M,M,t M MZ3 + (n-l)r XZ3+ r “3 + r | Z3 + r- 2 MMM Mb严b + F 1b. + r 2 AM fM xM f.M f M , zi叭Z, + r+丨b + ( /f M xM人M f0M f M ,(ih2Z2 + /*妇+ 2 2 + 尸1M人M KM人,M人 M - Z)3 + r /3 + 2 Z 3 + F 1 y3 + (/f-l )r M fM ,M f,M f M , n + r-2Za + r-l几+（利用公式严+r-3对于行列式M人M KMM .M k z/! +r対+ih +r -2b +(n i )rM人M人MM rM f,八h2b2+rb2 +r-lb2 +r-2+/! -1 )rM ,M .MM ta A/ . /Xb 3 + FZ3 + 1Z3 + r 2b3 +(/r -l)r M人M人MM rc Mbr號+1b八一 2将第四列的（-3）倍加到第二列上,得到行列式（常数提岀）:再将第二列的（3）倍加到第三列上，得到行列式（常数提出）:M 。+ r 3M + r - 4+ r - 2 Mh +(n- l)rM ;A农+ 一3M ;4+ 一 4M人7Z2 + r- 2 MM h ?+ r - 3M ;3 + r 2 M+(n-l)rM % +M 仁 +- 4 M bj-2-1 )r=这样一直进行下去，因为尸是自然数，所以有限次的变换后，行列式的第二列或第三列或第四列总会变得与第一列相同，因此，当 4时，行列式为0.以上所讨论的行列式的每行元素的下标是有规律变化的，对于元素的下标无规律的变 化所得到的行列式的情况在这里我们就不再进行讨论.此外，广义Fibonacci数列还有助于解决高中数学中的相关问题：某君举步上高楼，每跨一次或上一个台阶或上二个台阶，或上三个台阶，问有多少种不同 的方式上高楼？解吋:设登上个台阶的方式数为兀，则显然有兀=1 （即登上一个台阶只有一种方式）,/2 = 2（即登上两个台阶有两种方式），/3 = 4 （即登上三个台阶有四种方式）./广几+儿2+几3 （3,wN）,分析如下:因为在登上个台阶的所有方式中，跨第一步只有三种可能性,（1）第一步跨一 个台阶，后而登 -1个台阶的方式有尢“个，（2）第一步跨二个台阶，后而登-2个台阶的方式有人_2个，（3）第一步跨三个台阶,后而登n-3个台阶的方式有人“个由此得到以上的广 义 Fibonacci 数列.对上式我们可以进行推广：即将横线处改为”或上个台阶”，或在该横线后加 上”，或上个台阶，都可以用广义Fibonacci数列来求解.例：某一楼梯有12级台阶，若上楼梯时可以一步上1个台阶，也可以一步上2个台阶，则上 此楼梯的方法有多少种？解：上一个台阶的方法数= 1，上二个台阶的方法数/2 = 2, 12个台阶的方法数为f 12 由fn=fn-X + fn-2得到人2 =233.所以，上此楼梯的方法有233种.致谢：衷心感谢盛宝怀老师的精心指导.第17页共16页参考文献：1康庆