华附专题四、函数的对称性与周期性.doc

函数的对称性、周期性一 、函数的对称性（）函数图象的自对称（同一个函数对称性问题）所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身.关于函数图象的自对称,有下列性质:偶函数关于y轴（即x=0）对称，偶函数有关系式奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式那上述关系式是否可以进行拓展？探讨：（1）函数关于对称（类比偶函数看结构特征）也可以写成 或 简证：设点在上，通过可知，所以上，而点与点关于x=a对称。得证。 一般形式：，函数关于直线 对称（总结特征）；（注：特别地，当a=b=0时，该函数为偶函数。）（2）函数关于点对称（类比奇函数看结构特征） 或 简证：设点在上，即，通过可知，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。 一般形式： ，函数关于点 对称。（总结特征）（注：特别地，当a=b=c=0时，函数为奇函数。）（3）那是否有函数关于点对称呢？（不可能有）假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。（）函数图象的互对称(即两个函数的图象对称性) 所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。关于函数图象的互对称,有下列性质:1、函数与函数的图象关于直线 对称。2、函数与函数的图象关于直线 对称。3、函数与函数的图象关于点 对称。（类似（）中易得出结果）二、对称性和周期性之间的联系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的。若（x）的图象有两条对称轴x=a 和x=b(ab)，则（x）必为周期函数，其一个周期是对称轴之间距离的两倍，即2|b-a|；证明：得得 函数是周期函数，且是一个周期。若（x）的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ab)，则（x）必为周期函数，其一个周期是2|b-a|；证明：类似若（x）的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(ab)，则（x）必为周期函数，其一个周期是4|b-a|；证明：类似若函数的图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。例1、(2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为 (B)(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性。解析：由由是定义在R上的奇函数得，故选择B。（38套第16套 题12）设定义在R上的函数满足，若，则_。是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且当时，则当时，= 。（38套第24套 题8）已知定义在R上的函数的图像关于点对称，且满足，则_。小结：关于函数的周期性的结论：对于非零常数A，若函数满足，则函数必有一个周期为2A。证明： 函数的一个周期为2A。（方法：多次迭代，一通到底）思考：若将关系式改为或或（或等式右边加负号）呢？结果如何？（没变），推导方法也一样。【小结结构特征、推导方法、相应结论】 区别：若（x+a）=（x+b）或（x+T）=（x），则（x）具有周期性；若（a+x）=（b-x），则（x）具有对称性；“内同表示周期性，内反表示对称性”；例2、数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN) 求a100； 求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a1000a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)2ba例3、（05广东卷）设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.练习1、（2006年安徽卷理）函数对于任意实数满足条件，若则_。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由得，所以，则。2、（1996全国，15）设是上的奇函数，当0x1时，则f（7.5）等于（ B ） A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.53、（38套第5套 题7）已知定义在R上的奇函数的图像关于直线对称，则_。4、（2005天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_.解析：得，假设，因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：，从而：。5、（2005福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ） A5B4C3 D2解析：由的周期性知，即至少有根1，2，4，5。6、已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解：（）因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知；（）解法一：由（）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式解法二：由（）知又由题设条件得：，即：，即上式对一切均成立，从而判别式 7、 已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)，若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1) 所以f(x1)f(x)f(x2) 两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x) f(x6)f(x) f(x)是以6为周期的周期函数 20046334 f(2004)f(0)20048、 已知对于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求证：f(x)是偶函数；若存在正整数m使得f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值(T0)证明：