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第4模块 第1节知能演练一、选择题1判断下列各命题的真假:(1)向量的长度与向量的长度相等;(2)向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;(3)两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;(4)两个有公共终点的向量,一定是共线向量;(5)向量与向量是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上;(6)有向线段就是向量,向量就是有向线段其中假命题的个数为()A2B3C4 D5解析:(1)真命题;(2)假命题,若a与b中有一个为零向量时,其方向是不确定的;(3)真命题;(4)假命题,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;(5)假命题,共线向量所在直线可以重合、可以平行;(6)假命题,向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段答案:C2若四边形ABCD是正方形,E是DC边的中点,且a,b,则等于()Aba BbaCab Dab解析:b(a)ba.答案:B3已知ABC中,点D在BC边上,且2,若rs,则rs的值是()A. B0C. D3解析:在ABC中,(),故rs0.答案:B4平行四边形ABCD中,O为AC与BD的交点,点E在BC上,且2,设a,b,则为()A.ab B.abC.ab D.ab解析:如右图由向量的运算法则得(ab)bab,故选B.答案:B二、填空题5ABC中,3,若a,b,则_.解析:依题意有()(ba)(a)ab.答案:ab6如下图所示,两块斜边长相等的直角三角板并在一起,若xy,则x_,y_.解析:以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,设(1,0),(0,1),则|,|sin60.由题意有(x,y),x1cos451,ysin45.故x1,y.答案:1,三、解答题7在AOB中,C是AB边上的一点,且(0),若a,b.(1)当1时,用a,b表示;(2)用a,b表示.解:(1)当1时,()ab.(2),ab,因为,BCCA,BABCCA,BA(1)CA,BCBA.所以,即b(ab).8如下图,点O是梯形ABCD对角线的交点,|AD|4,|BC|6,|AB|2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.(1)用a0和b0表示,和;(2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动,且|2,求|的最大值和最小值解:(1)由题意知6a0,2b0,6a02b0;,4a0,则2b06a04a02b02a0;过C点作CMBD,易知四边形BCMD是平行四边形则,即,得b0a0.(2),2()22,即|2|2|22|cos,6222262cos,4024cos,cos,1,1,当cos,1时,|max8.当cos,1时,|min4.高考模拟预测1已知向量a,b不共线,ckab(kR),dab.如果cd,那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析:由cd,则存在使cd,即kabab,(k1)a(1)b0.又a与b不共线,k0,且10.k1.此时cab(ab)d.故c与d反向,选D.答案:D2已知非零向量与满足0,且,则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰(非等边)三角形D等边三角形解析:由0,得BAC的平分线垂直于BC.ABAC.而cos,又,0,180,BAC60.故ABC为正三角形,选D.答案:D3在四边形ABCD中,(1,1),则四边形ABCD的面积为_解析:由于(1,1),则四边形ABCD是平行四边形且|,又由,得BC、CD(BA)与BD三者之间的边长之比为11,那么可知DAB120,所以AB边上的高为.所以四边形ABCD的面积为.答案:4已知向量集合Ma|a(1,2)(3,4),R,Nb|b(2,2)(4,5),R,则MN_.解析:由(1,2)1(3,4)(2,2)2(4,5),得,解得,MN(2,2)答案:(2,2)5 O是平面上一点,A,B,C是平面上不共线三点,动点P满足(),时,则()的值为_解析:由(),得(),即P为ABC中BC边的中点0.()00.答案:06若a,b是两个不共线的非零向量,tR.(1)若a,b起点相同,t为何值时,a,tb,(ab)三向量的终点在一直线上?(2)若|a|b|且a与b夹角为60,t为何值时,|atb|的值最小?解:(1)设atbma(ab),mR,化简得(m1)a(t)b
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