2019版高考数学复习立体几何7.5直线平面垂直的判定与性质学案理.docx

75直线、平面垂直的判定与性质知识梳理1直线与平面垂直判定定理与性质定理2平面与平面垂直判定定理与性质定理3直线和平面所成的角范围：.4二面角范围0，5必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面诊断自测1概念思辨(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P73A组T1)若m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()mn；mn；n.A1 B2 C3 D0答案B解析不正确，直线n与不一定垂直，可能是平行或相交或在平面内均正确故选B.(2)(必修A2P67T2)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，若PAPBPC，则点O是ABC的_心；若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案外垂解析如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心如图2，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高，同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心3小题热身(1)(2017湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A且m B且mCmn且n Dmn且n答案C解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确故选C.(2)(2018辽宁五校联考)假设平面平面EF，AB，CD，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BDEF，现有下面四个条件：AC；AC；AC与BD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的是_(把你认为正确的条件序号都填上)答案解析如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BDEF.故要得到BDEF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有能保证这一条件题型1直线与平面垂直的判定与性质角度1直线与平面垂直的判定定理(2016全国卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积利用线面垂直判定定理进行证明解(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.又PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，又PAPCP，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，所以四面体PDEF的体积V222.角度2垂直关系中的探索性问题如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点(1)证明：AE平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由从BCCE取BE的中点H，CHBE入手分析解(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF，如右图四边形ABCD是矩形，O为AC的中点，又F为EC的中点，OF为ACE的中位线，OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF.AE平面BDF.(2)当P为AE中点时，有PMBE.证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH.P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，BCCE，H为BE的中点，CHBE，又CDCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BEPM，即PMBE.方法技巧1证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理2线面垂直中的探索性问题探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存在，矛盾则不存在冲关针对训练(2018济南模拟)如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，FAAC，EFAC，AB，EFFA1.(1)求证：CE平面BDF；(2)求证：BE平面DEF.证明(1)设正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，连接FO.由题知EFOC1，因为EFAC，所以四边形CEFO为平行四边形，所以CEOF.又CE平面BDF，OF平面BDF，所以CE平面BDF.(2)因为平面ABCD平面ACEF，平面ABCD平面ACEFAC，FAAC，FA平面ACEF，故FA平面ABCD.连接EO，易知四边形AOEF为边长为1的正方形，所以EO平面ABCD，则EOBD.所以BDE为等腰三角形，BD2BO2OC2，BEDE.因为BD2BE2DE2，所以BEDE.同理在BEF中，BEEF，因为DEEFE，所以BE平面DEF.题型2面面垂直的判定与性质(2017北京高考)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积首先分析已知中的垂直线段所在的平面，由于ABBC，取AC的中点是关键解(1)证明：因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，又PAACA，所以BD平面PAC.又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.结论探究在典例条件下，证明：平面PBC平面PAB.证明由(1)知PABC，又BCAB且PAABA，BC平面PAB，又BC平面PBC，平面PBC平面PAB.方法技巧面面垂直的应用策略1证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理2已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直冲关针对训练(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE，又BEBDD，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3，故x2，从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为，故三棱锥EACD的侧面积为32.1.(2017全国卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC答案C解析解法一：如图，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，B，D错误；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误故选C.解法二：(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(0,1,1)，(1，1，0)，(1,0,1)，(1,1,0)，0，0，0，0，A1EBC1.故选C.2(2017河北唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAG平面EFH BAH平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAGAEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；已证平面HAG平面AEF，若证HG平面AEF，只需证HGAG，已证AHHG，故HGAG不成立，所以HG与平面AEF不垂直，D不正确故选B.3(2018西安模拟)如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.证明(1)如图，连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD.所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF PA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.4(2017山东模拟)如图，AB是圆O的直径，点C，D是圆O上异于A，B的点，CDAB，F为PD中点，PO垂直于圆O所在的平面，ABC60.(1)证明：PB平面COF；(2)证明：ACPD.证明如图所示，AB是圆O的直径，ABC是直角三角形，又ABC60，BCAB.又四边形ABCD是圆的内接四边形，四边形ABCD是等腰梯形，四边形ADCO，DOBC都是以半径为边长的菱形(1)连接BD交OC于H，则H是BD中点，连接FH，因为F为PD中点，FHPB，且PB平面COF，FH平面COF，PB平面COF.(2)四边形ADCO是以半径为边长的菱形ACDO，PO垂直于圆O所在的平面，POAC，且DOPOO，AC平面POD，PD平面POD，ACPD. 重点保分 两级优选练A级一、选择题1设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ()A若l，l，则 B若l，l，则C若l，l，则 D若，l，则l答案B解析如图所示，在正方体A1B1C1D1ABCD中，对于A项，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为 ，.A1A平面B1BCC1，A1A平面DCC1D1，而平面B1BCC1平面DCC1D1C1C；对于C项，设l为A1A，平面ABCD为，平面DCC1D1为.A1A平面ABCD；A1A平面DCC1D1，而平面ABCD平面DCC1D1DC；对于D项，设平面A1ABB1为，平面ABCD为，直线D1C1为l，平面A1ABB1平面ABCD，D1C1平面A1ABB1，而D1C1平面ABCD.故A，C，D三项都是错误的而对于B项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B项正确故选B.2(2017山西临汾二模)已知点A，B在半径为的球O表面上运动，且AB2，过AB作相互垂直的平面，若平面，截球O所得的截面分别为圆M，N，则()AMN长度的最小值是2BMN的长度是定值C圆M面积的最小值是2D圆M、N的面积和是定值8答案B解析如图所示，平面ABC为平面，平面ABD为平面，则BDBC.BC2BD2412，CD2，M，N分别是AC，AD的中点，MN的长度是定值.故选B.3(2017江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上故选A.4(2018江西九江模拟)如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE答案C解析因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.5(2018甘肃二诊)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1，AB4，若在棱AB上存在点P，使得D1PPC，则AD的取值范围是()A(0,1 B(0,2 C(1， D1,4)答案B解析连接DP，由D1PPC，DD1PC，且D1P，DD1是平面DD1P内两条相交直线，得PC平面DD1P，PCDP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0 ADCD2.故选B.6(2018河北模拟)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAAD，ADBC，ABBC2，PA3，PA底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点设m，则“0m2”是“三棱锥CABE的体积不小于1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析如图，过E点作EHAD，H为垂足，则EH平面ABCD.VCABEVEABC，三棱锥CABE的体积为EH.若三棱锥CABE的体积不小于1，则EH，又PA3，m1，0m1.故选B.7如图，三棱锥PABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案C解析BCDF，BC平面PDF，A正确BCPE，BCAE，BC平面PAE.又DFBC，DF平面PAE，B正确BC平面PAE，BC平面ABC，平面PAE平面ABC，D正确故选C.8(2018湖北武汉月考)如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A2 B3 C4 D5答案B解析设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E平面ABC，D1E平面ABD1，平面ABD1平面ABC.D1E平面ABC，BC平面ABC，D1EBC，又ABBC，D1EABE，BC平面ABD1.又BC平面BCD1，平面BCD1平面ABD1.BC平面ABD1，AD1平面ABD1，BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，AD1平面BCD1，又AD1平面ACD1，平面ACD1平面BCD1.共有3对平面互相垂直故选B.9(2018静海月考)如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A一条线段 B一条直线C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点答案D解析平面PAC平面PBC，而平面PAC平面PBCPC.又AC平面PAC，且ACPC，AC平面PBC，而BC平面PBC，ACBC，点C在以AB为直径的圆上，点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点故选D.10(2018吉林期末)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是()A4 B3C2 D1答案A解析满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥PABCD所示，不妨令PA矩形ABCD，PAAB，PAAD，PACB，PACD，故PAB和PAD都是直角三角形又矩形中CBAB，CDAD.这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB平面PAB，CD平面PAD，CBPB，CDPD，故PBC和PDC都是直角三角形，故直角三角形有PAB、PAD、PBC、PDC共4个故选A.二、填空题11(2017开封二模)三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确的是_答案解析由题意知AC平面SBC，故ACSB，故正确；再根据SBAC，SBAB，可得SB平面ABC，平面SBC平面SAC，故正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为a，正确12(2017苏州期末)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：AD平面PBC；平面PAC平面PBD；平面PAB平面PAC；平面PAD平面PDC.其中正确的结论序号是_答案解析由底面为正方形，可得ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，可得AD平面PBC；在正方形ABCD中，ACBD，PA底面ABCD，可得PABD，PAACA，可得BD平面PAC，BD平面PBD，即有平面PAC平面PBD；PA底面ABCD，可得PAAB，PAAC，可得BAC为二面角BPAC的平面角，显然BAC45，故平面PAB平面PAC不成立；在正方形ABCD中，可得CDAD，PA底面ABCD，可得PACD，PAADA，可得CD平面PAD，CD平面PCD，即有平面PAD平面PDC.综上可得，正确13(2017三元月考)如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使CD平面ABD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，平面BCD，平面ADC，平面ABC，平面ABD，互相垂直的有_答案平面ABD平面ACD、平面ABD平面BCD、平面ABC平面ACD解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.由CD平面ABD，CD平面BCD，所以平面ABD平面BCD，由CD平面ABD，则CDAB，又ADAB.故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC，平面ABD平面ADC.14(2018泰安模拟)如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则BAC_，VABCD_.答案90解析由题设知：BAD为等腰直角三角形，CD平面ABD，得BA平面ACD，BAC90，VABCDVCABD.B级三、解答题15(2018临汾期末)在三棱柱ABCA1B1C1，侧面ABB1A1为矩形，AB2，AA12，D是AA1中点，BD与AB1交于点O，且OC平面ABB1A1.证明：平面AB1C平面BCD.证明ABB1A1为矩形，AB2，AA12，D是AA1的中点，BAD90，ABB190，BB12，ADAA1，tanABD，tanAB1B，ABDAB1B，AB1BBAB1ABDBAB1，AOB，即AB1BD.CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，AB1CO，又BDCOO，AB1平面BCD.AB1平面AB1C，平面AB1C平面BCD.16(2018黄冈调研)在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PAAC，PBBC.(1)证明：ABPC；(2)若PC2，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC的体积解(1)证明：在RtPAC和RtPBC中AC，BC.PAPB，ACBC.取AB中点M，连接PM，CM，则ABPM，ABMC，AB平面PMC，而PC平面PMC，ABPC.(2)在平面PAC内作ADPC，垂足为D，连接BD.平面PAC平面PBC，AD平