数值分析试题.doc

8 14 迭代法1、证明矩阵A=对于-1/2a1/2是正定的，而雅可比迭代只对-1/2a1/2是收敛的。证0明：当-1/2a0，det(A)=(1-a)2(1+2a)0,故A是正定的。又雅可比法迭代矩阵BJ= det(I-BJ)=3-3a2+2a2=(-a)2(+2a)故=，故当-1/2a1/2时，雅可比迭代法收敛。8 6 2、求证的充要条件是对任何向量x，都有。证明：必要条件由，知，从而有0（k）。故对任意的x，有（k）则，。充分条件 ：对任意的，有（k），取（k） 故即，。？3、设求解方程组Ax=b的雅可比迭代格式为，。求证：若，则相应的高斯塞德尔法收敛。证明：由于B是雅可比法的迭代矩阵，故又，故，即，故，故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯塞德尔方法收敛。？4、设，试证：若，则I-B非奇异且收敛，；反之，若收敛，则。证明：由，若，则，故= 当时即。反之，由，则得。求方程组7.30 5、矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值。证明：设，则又 故 从而当时，即时，有最小值，且。？6、设A，B为非奇异矩阵，表示矩阵的任何一种算子范数，试证：（1）；（2）。？7、求证：非奇异矩阵不一定有LU分解。证明：设非奇异，要说明A不一定能做到LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则=故。而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前n-1阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。微分方程5.7 8、证明对任意参数t，下列Runge-Kutta格式是二阶的：证明：设 在处TayLor展式：所以，所以， 所以，二阶数值求解积分4.1.1 9、解得确定求积公式中的待定系数，使其代数精确度尽量高，并指明所构成的求积公式所具有的代数精确度。解：将f(x)=1，x，x2分别带入公式两端并令其左右相等，得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于故具有3次代数精确度。2.6 10、设为互异节点，求证：（1）（2）证明：（1）函数xk及均为被插值函数xk的关于互异节点的不超过n次的插值多项式，利用插值多项式的唯一性知两者恒等。（2）=02.14 11、若有n个不同实根，证明：证明：由f(x)是n的多项式且有互异实根知=记，并利用差商的函数值表达形式有=再由差商与异数的关系知2.25 12、若，是三次样条函数。证明：（1）=（2）若，式中是插值点且有，则=证明：（1）=移项后得=（2）=2.17 13、证明两点三次Hermite插值余项是，并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。证明：利用上两点三次Hermite插值条件 ， ，知有二重零点和。故设确定函数：当x=xk或xk+1时取任何有限值均可；当时，构造关于变量t的函数 显然有 ， ， 在和上对使用Rolle定理，存在及使得 在，上对使用Rolle定理，存在，和使得在依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得而，将代入，得到 ，推导过程表明依赖于及。综合以上过程有 下面建立分段三次Hermite插值的误差限。记为在上的基于等距节点的分段三次Hermite插值函数，。在区间上有=而最值=进而得误差估计2.1 14、根据定义的Vandermonde行列式，令=，证明是n次多项式，它的根是