从高考试题看《圆锥曲线》总复习.doc

从近几年高考试题看圆锥曲线总复习 陕西 杨同伟 圆锥曲线是高中数学的主干内容之一，是高考命题的重点、难点、热点内容之一，在历年的高考试题中都占有相当大的比例。命题形式也正在逐步地由经典的传统形式向知识点的交汇处转变，特别是利用向量工具研究解析几何的问题，在近几年的高考试卷中比比皆是，而且愈来愈新颖。本文主要结合近几年高考试题对圆锥曲线所考察的知识点、考察的力度，谈谈自己对复习备考的几点建议。一、 要重视基础知识的强化训练 基础是灵活应用的灵魂，只有掌握牢固的基础知识，深刻理解定义的实质，才能做到自如运用。更何况随着高考的逐步大众化，试题的设计也需要一定数量的基础性试题作支撑，所以在高考总复习中，我们一定要重视加强基础知识的强化训练，力争让学生在高考中做到不丢分数。纵观近几年全国高考试题，考察圆锥曲线的定义、离心率、准线、焦点、标准方程等基础性知识点的试题随处可见，这些试题大多以选择题、填空题或解答题的第一问等形式呈现。请看下面几道考题：1、（2006安徽理3）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）2、（2006福建理10）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）3、（2006湖南理7）过双曲线的左顶点作斜率为1的直线,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点,且,则双曲线的离心率是 （ ）（A） （B） （C） （D）4、（2006辽宁理8）曲线与曲线的 （ ）(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同5、（2006全国2理5）已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 （ ） （A）2 （B）6 （C）4 （D）12分析：题1主要考察抛物线和椭圆的焦点坐标计算；题2、题3主要考察直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线的离心率计算；题4主要考察椭圆的标准方程及焦点、离心率、准线等概念；题5主要考察椭圆的定义。答案：1、D ，2、C，3、A，4、A，5、C. 由以上考试题可以看出，在复习中，我们更应该加强这些知识点的重点强化训练，力争在这些基础性试题上不犯任何错误。二、 加强热点题型的强化训练纵观近几年的高考试题，解析几何的考察热点主要集中在直线与圆锥曲线的位置关系问题，考察形式主要是轨迹计算、参数的范围、最值问题、圆锥曲线的相关几何性质证明等方面。这类试题主要以解答题的形式出现，这类试题综合性较强，解答思路比较复杂，加之计算量相对较大。因此，在总复习过程中，一定要对这些重点题型重点讲解、重点训练。一定要使学生系统掌握各种类型试题的基本解题原理、基本解题方法，做到灵活、准确选择解题方法，正确认真完成计算。 下面主要通过对照近几年全国高考试题中相应的试题，总结上述各种题型的基本解题思路与方法。供复习参考：（1）动点的轨迹问题：解决动点轨迹问题的基本原理是建立动点P（x, y）的横坐标x与纵坐标y之间的关系式，常用的处理方式有： I、基本轨迹法:利用一些基本轨迹的定义，比如椭圆、双曲线、抛物线的定义直接写出轨迹方程。如： （2006北京理19）已知点M（2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|PN|=，记动点P的轨迹为W. （）求W的方程；（）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.解： （）由|PM|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实半轴长，又半焦距 c=2，故虚半轴长所以 W 的方程为, （）略。 II、挖掘图形的几何性质，运用直译法求轨迹方程 （2006湖北理7）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 ( ) A B C D 解：设P（x，y），则Q（x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a0，b0， 于是， 由，可得 ax，b3y， 所以x0，y0，又（a，b）（x，3y）， 由1，可得 故选择A （2006江苏6）已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0，则动点P（x，y）的轨迹方程为 （ ）（A） （B） （C） （D） 解：设，则由，则，化简整理得 所以选BIII、选择恰当的参数t,用参数t表示动点P的纵、横坐标，再消去参数t,从而求出轨迹方程（2006江西理21）如图1，椭圆Q：（ab0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点OxAByFD图1求点P的轨迹H的方程略 （2006陕西理21）如图2,三定点A(2,1),B(0,1),C(2,1);三动点D,E,M满足=t，=t,=t,t0,1()求动直线DE斜率的变化范围;()求动点M的轨迹方程.解: 如图2， ()设D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)由=t， = t ， 知(xD2，yD1)=t(2，2) 同理 yxOMDABC11212BE图2kDE = = = 12tt0，1 ， kDE1，1() =t (x+2t2，y+2t1)=t(2t+2t2，2t1+2t1) =t(2，4t2) =(2t，4t22t) ， 消去参数t，得 y= ， 即x2=4y t0，1， x=2(12t)2，2即所求轨迹方程为: x2=4y， x2，2 IV、坐标转移法：适用于求随着已知曲线上的点而运动的轨迹问题，关键是求得主动点和从动点的坐标关系，用从动点的坐标表示主动点的坐标，再代入已知曲线方程，即可求出轨迹方程。如： （2005江西理22）如图3，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.1、求APB的重心G的轨迹方程.2、证明PFA=PFB.解：1、设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，OABPF图3所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：2、略（2）参数的范围问题： 解决此类问题的核心是正确布列该变量的不等式。常见的构造不等式的方法有下列几种。 I、利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围。如： （2005全国3理21）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。（）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。解：（）两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是轴的平行线，依题意不同时为0 上述条件等价于上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点。（）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程 得 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设的中点的坐标为，则，由，得，于是即得在轴上截距的取值范围为II、利用已知参数的范围，求新参数的范围。解这类问题的核心是在两个参数之间建立起相等关系 例如：（2004浙江理21）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1， （1）若直线AP的斜率为k，且|k|, 求实数m的取值范围； （2）当m=+1时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程。解: ()由条件得直线AP的方程 即因为点M到直线AP的距离为1,即. 解得+1m3或-1m1. m的取值范围是()可设双曲线方程为由得.又因为M是APQ的内心,M到AP的距离为1,所以MAP=45,直线AM是PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。因此，（不妨设P在第一象限），直线PQ方程为。直线AP的方程y=x-1,解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为III、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求参数的范围。深入挖掘题中的隐含不等关系，并用于布列不等式，从而确定参数的取值范围。 例如：（2004全国人教版理21）设椭圆的两个焦点是与（），且椭圆上存在一点，使得直线与垂直。（1）求实数的取值范围；（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，求直线的方程。图5OxF2yF1PB解；（1）如图5，易得，c= (m0),则椭圆上存在点P,是直线PF1PF2F1PF2=900 而，=（， ， 即(2)略 IV、利用已知的不等关系构造不等式，从而求参数的范围。如： （2005重庆理21）已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程； (2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范围为 V、利用函数的值域的求法，确定参数的范围。如： （2006福建理20）如图6，已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：（I）圆过点O、F，OGFABxy图6圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得（3）与圆锥曲线有关的的几何量的最值的求法此类问题的解法是选择一个恰当的参数，将所求的几何量表示为该参数的函数关系式，然后再利用函数最值的方式完成求解或者利用均值不等式求出最值。如：（2006全国2理20）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量.求：（）点M的轨迹方程；（）的最小值.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y = 设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9.且当x21= ,即x=1时,上式取等号.故|的最小值为3.（2006全国2理20）已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值解：()由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1) 所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为0 ()由()知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且当1时，S取得最小值4 （2005全国2理20）、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最大值解：如图7，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+21=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则从而亦即(1)当0时，MN的斜率为，同上可推得, QPNMFO图7故四边形面积 令=得=2当=1时=2，S=且S是以为自变量的增函数当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。S=|PQ|MN|=2综合知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。OxyAB图8 （2005广东20）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足，如图8所示（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解：（I）设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立。所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；（4）、圆锥曲线的相关几何性质的证明这类问题主要是利用坐标运算的方式完成证明，解题时一定要将问题坐标化，在选择恰当的计算公式（如距离公式、夹角公式、弦长公式等），通过计算来完成证明。如： （2006浙江理19）如图9，椭圆（ab0）与过点A（2，0）,B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=图9()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：ATM=AFT. 解：（I）过点、的直线方程为因为由题意得 有惟一解，即有惟一解，所以 （），即， 又因为 即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为 （II）由（I）得 故从而 由 解得所以 因为又得因此 （2006湖北理20）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）、求椭圆的方程；OPMBNxy图10A（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。解：（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为 .（）如图10，由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.M点在椭圆上，y0（4x02）. 又点M异于顶点A、B，2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。 （2006湖南）已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：yexa与x轴y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设. （）证明：1e2； （）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形. 解：（）证明：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是. 所以点M的坐标是（）. 由即 （）因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当PF1F2为等腰三角形.三、加强向量工具的应用向量作为一种既有大小又有方向的量，它既有形的特征，又有数