高三数学一轮复习 专题四 不等式证明的五大方法课件 理.ppt

专题四不等式证明的五大方法 不等式的证明是数学中一类广泛的问题 在高考中占有重要位置 下面就不等式的证明方法作简要介绍 方法一 综合法 思路点拨 1 思路1 作差比较 思路2 构造对称不等式 例1 2015吉林省长春市高三质检 1 已知a b都是正数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明 1 法一 a3 b3 a2b ab2 a b a b 2 因为a b都是正数 所以a b 0 又因为a b 所以 a b 2 0 于是 a b a b 2 0 即 a3 b3 a2b ab2 0所以a3 b3 a2b ab2 法二因为a b为正数且a b 所以a3 ab2 2a2b b3 a2b 2ab2 两不等式相加整理即得所证不等式 思路点拨 2 构造对称不等式 方法总结综合法是证明不等式的最基本方法 其关键是利用实数的性质 不等式的性质 已知的不等式等 根据已知条件进行推理 推导出所要证明的不等式 在综合法中有两个方法值得注意 1 比较法 作差比较 作商比较 2 构造轮换对称不等式 即如果不等式中的字母相互交换 不等式不变的不等式叫做轮换对称不等式 该类不等式可以考虑构造对称不等式加以证明 方法二 分析法 例2 2015陕西宝鸡九校联考 若实数x y z满足x2 4y2 z2 3 求证 x 2y z 3 思路点拨 根据分析法的推理形式进行证明 证明 要证 x 2y z 3 只需证明 x 2y z 2 32 只需证明x2 4y2 z2 4xy 4yz 2xz 9 因为x2 4y2 z2 3 只需证明4xy 4yz 2xz 6 又因为x2 4y2 z2 3 只需证明4xy 4yz 2xz 2x2 8y2 2z2 只需证明2x2 8y2 2z2 4xy 4yz 2xz 0 只需证明x2 4xy 4y2 4y2 4yz z2 z2 2xz x2 0 即 x 2y 2 2y z 2 z x 2 0 该不等式显然成立 所以原不等式成立 方法总结分析法是证明已知条件简单 结论较为复杂的数学证明题的有效方法 使用分析法证明不等式的关键是根据不等式的性质 已知不等式等 从结论出发导出已知条件中的不等式 已知的不等式 明显的数学事实 方法三 放缩法 思路点拨 1 使用正弦定理把求证目标化为三角函数的不等式 2 已知a2 b2 1 x2 y2 4 求证 ax by 2 思路点拨 2 三角换元后 利用三角函数的有界性放缩 方法总结一些含有三角函数的不等式 或者通过换元能够化为三角函数的不等式 可以根据正弦函数 余弦函数的有界性进行放缩 思路点拨 利用基本不等式和已知条件 通过使用基本不等式放缩完成证明 证明 1 因为 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 c2 3 a2 b2 c2 9 所以 a b c 3 所以a b c 3 方法总结证明过程中利用均值不等式等重要不等式进行放缩是证明不等式的基本方法之一 这也是重要不等式的主要应用领域 方法总结使用不等式的性质放缩不等式中项 使之能够产生裂项相消的部分是证明与正整数的和式有关的不等式的基本思考途径 方法四 反证法 方法总结反证法对已知条件较少 结论情况较多 或者结论是否定形式给出 结论是唯一性等命题的证明非常有效 方法五 导数法 构造函数法 思路点拨 1 利用x y的大小关系 转化为函数的单调性的证明 3 2015福建省高中毕业班质检 已知函数f x ex x m m 1 证明 函数f x 有两个零点x1 x2且x1 x2 0 思路点拨 3 有零点的证明 利用函数的单调性和零点定理进行证明 x1 x2 0 即x1 x2 只要构造一个函数 证明该函数的单调性 即可根据函数值的不等关系确定上述变量间的不等关系 方法总结函数的单调性可以比较一个范围内的函数值与某个函数值的大小关系 也可以根据函数值的大小比较自变量的大小 通过构造函数 研究函数的单调性得出不等式是函数类不等式证明最基本的方法 类型2 函数最值法 例8 2015黑龙江省大庆市二模 已知函数f x x 2 ex 求证 对任意x1 x2 0 2 都有 f x1 f x2 e 思路点拨 只要证明f x max f x min e即可 证明 1 f x x 1 ex f x 在 0 1 单调递减 在 1 2 单调递增 所以f x min f 1 e f 0 f 2 2 0 故f x max f 2 0 所以f x max f x min e 所以对任意x1 x2 0 2 都有 f x1 f x2 e 方法总结最值方法是证明不等式 求不等式恒成立时参数范围的基本方法之一 基本思想是把不等关系转化为函数最值之间的关系 方法总结对于与和式有关的正整数的不等式 特别是其中含有自然对数和指数的不等式 可考虑先证明一个关于实数的不等式 再对该实数不等式中的自变量赋予正整数值得出不等式的方法进行证明 该类试题具有很大的灵活性 解题中需要根据所证不等式的特点确定需要构造的合理不等式 2 2015广东省茂名市高三二模 已知函数f x lnx 设a x1 y1 b x2 y2 为函数图象上不同的两点 线段ab的中点为c x0 y0 直线ab的斜率为k 证明 k f x0 方法总结证明函数问题中双变量不等式的最基本的方法是把其化为单变量不等式 化解的方法主要有 1 利用函数单调性 固定其中一个变量为常数 让另一