不定积分公式.docx

9不定积分小结一、不定积分基本公式1xadx=xa+1a+1+Ca-1 (2)1xdx=lnx+C3axdx=axlna+C 4sinxdx=-cosx+C5cosxdx=sinx+C 6tanxdx=-lncosx+C7cotxdx=lnsinx+C 8secxdx=lnsecx+tanx+C9cscxdx=lncscx-cotx+C 10sec2xdx=tanx+C11csc2xdx=-cot x+C 12dx1+x2=arctanx+C13dxx2+a2=1aarctanxa+C 14dxx2-a2=12alna-xa+x+C15dxa2-x2=12alna+xa-x+C 16dx1-x2=arcsinx+C17dxa2-x2=arcsinxa+C 18dxx2a2=lnx+x2a2+C19a2-x2dx=x2a2-x2+a22arcsinxa+C20x2a2dx=x2x2a2a22lnx+x2a2+C 二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）1Dn=sinnxdx(详情请查阅教材166页)则Dn=-cosxsinn-1xn+n-1nDn-2(求三角函数积分)易得Dn：n为奇数时，可递推至D1=sinxdx=-cosx+C； n为偶数时，可递推至D2=sin2xdx=x2-sin2x4+C；2In=dxx2+a2n详情请查阅教材173页则In+1=12na2x(x2+a2)n+2n-12na2In易得In可递推至I1=dxx2+a2=1aarctanxa+C（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子例1：x5+x-x2dx注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。x5+x-x2dx=-12-2x+1+125+x-x2dx=-12d(5+x-x2)5+x-x2+1215+x-x2dx=-5+x-x2+12dx(212)2-(x-12)2=-5+x-x2+12arcsin(2x-121)+C例2：x3x4+x2+1dx与例1类似，我们有：x3x4+x2+1dx=144x3+2x-12xx4+x2+1dx=14dx4+x2+1x4+x2+1-14dx2+12x2+122+322后面套公式就好啦例3：dx1+sin2xdxcos2x+2sin2x=1cos2xdx1+2tan2x=d(tanx)1+2tan2x=12d(tanx)(22)2+tan2x=22arctan(tanx)+C接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。例4：xa3-x3dx=x32xa322-x322d(x32)=231a322-x322dx32至此可以套用公式了例5：12x+3dx=12x1+32xdx，注意到32x的导数为-3ln212x，至此可以用凑微分法了例6：x1-xcotxdx=x sinxsinx-xcosxdx注意到sinx-xcosx的导数为x sinx第二类换元积分法（1）利用三角函数进行代换：sin2x+cos2x=1tan2x+1=sec2x cot2 x+1=csc2x换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性（通过例题体会）例如以下两个基本积分公式a2-x2dx=x2a2-x2+a22arcsinxa+Cx2a2dx=x2x2a2a22lnx+x2a2+C例：dx(x2+9)3利用tan2x+1=sec2x，令x=3tant，这里x可以取到全体实数，那么t取-2,2就可以保证x取到全体实数，因为t的范围直接影响到三角函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。则：dx(x2+9)3=393cos4tdt至此，cos4tdt有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页：cosnxdx利用cosx=sin(2-x)和sinnxdx求得令一种解法：cos4tdt=cos2t(1-sin2t)dt=cos2tdt-cos2tsin2tdt利用倍角公式可以解出。（2）倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下例：a2-x2x4dx，令x=1t，容易求出原函数(二)分部积分法d=-d应用分部积分法时，需要把被积函数看作两个因式及d之积，如何选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁.积分时应注意d比较好积，同时的选取应使其倒数比简单，两者应兼顾。例：xearctanx1+x232dx=earctanxx1+x2-earctanx1+x232dx=earctanxx1+x2-earctanx11+x2-xearctanx1+x232dx=earctanxx-11+x2-xearctanx1+x232dx则：xearctanx1+x232dx=x-121+x2earctanx+C这个函数就有多种拆分方法，需要我们多尝试几次才能解出，并且用到了轮换，应注意。其实sinlnxdx也用到了轮换，详情请查阅教材165页。一般情况下，被积函数形如eaxsinbx，eaxcosbx，Pmxeax，Pmxsinbx，Pmxcosbx，Pmx(lnx)n，Pmxarctanx，就可以尝试分部积分法轻松求得原函数，其中Pmx表示m次多项式。例 (三)特殊函数积分法1、有理函数的不定积分参考教材171页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式：1bx-amdx(其中a,b为常数，m为正整数)当m=1时，bx-amdx=blnx-a+C当m1时，bx-amdx=b(x-a)-m+1-m+1+C2cx+dx2+ax+bndx(其中a,b,c,d为常数，n为正整数)对于分子，我们可以将其凑为x2+ax+b的导数和某一常数之和，第一部分容易求得，第二部分利用第一页的递推公式：In=dxx2+a2n详情请查阅教材173页则In+1=12na2x(x2+a2)n+2n-12na2In易得In可递推至I1=dxx2+a2=1aarctanxa+C以下几例用于练习有理式的分解和计算：例1：dxx3+1例2：dxx4+1=dx(x2+1)2-(2x)2=dx(x2+1+2x)(x2+1-2x)例3：dxx6+1 (教材175页的方法较为简便)2、三角函数有理式的积分常用技巧：（1）凑微分例1：sinmx cosnxdx若m和n都是偶数，利用sin2x+cos2x=1将其化为同名函数。若m或n为奇数，则拆开一个凑成微分，然后再化为同名函数，之后再利用（二、）中的递推公式。例2：cosxsin3x+cos3xdx=11+tan3xd(tanx)利用已经解得的dxx3+1的结果补充一点：cosnxdx利用cosx=sin(2-x)和sinnxdx求得tannxdx=tann-2x(1cos2-1)dx=tann-1xn-1-tann-2xdx这就得到了tannxdx的递推公式，事实上还可以将其看作sinmx cosnxdx的特殊形式，只不过m=-n罢了，当然可以用sinmx cosnxdx的求解方法。 (2)倍角公式、积化和差例：sin5x sin7xdx (3)分项技巧例1：1sin4x cos2xdx=sin2x+cos2xsin4x cos2xdx=1sin2x cos2xdx+1sin4xdx至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用（二、）中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。例2：dxsin(x+)sin(x+)=1sin(-)sinx+-(x+)sin(x+)sin(x+)dx=1sin(-)cos(x+)sin(x+)-cos(x+)sin(x+)dx，这里利用了三角和公式，至此可以直接套用基本积分表了。()例3：dxsin3x+cos3x=132sinx+cosx+sinx+cosxsin2x-sinxcosx+cos2xdx=23dx2cos(x-4)+23-d(cosx-sinx)(cosx-sinx)2+1=232lnsec(x-4)+tan(x-4)-23arctan(cosx-sinx)+C（此题较为复杂，大家需要认真看）（4）配凑法例 假设， 则 得到-（1） 得到 -（2） 由（1）与（2）解得： （5）万能公式：(1)令=tanx2，则sinx=21+2 cosx=1-21+2 tanx=21-2 dx=21+2(三角函数次数较低时效果较好)2令=tanx，则sinx=21+2 cosx=11+2注意正负号的判断 dx=11+2(三角函数次数较高时效果较好）例：dx2+sinx(用第一种变换)=d2+1(转化为容易的有理积分)3、简单无理函数的积分（1）当被积函数是x与n(ax+b)(cx+d)的有理式时，采用变换 =n(ax+b)(cx+d)，就可化为有理函数的积分例：1+xx3dx=1x1+xxdx，设t=1+xx代换即可（2）当被积函数是x与ax2+bx+c的有理式时，通常先将ax2+bx+c配方，再用三角变换化