（基础数学专业论文）几何造型中曲面的裁剪、形状调整以及界的研究.pdf

摘要 在计算机辅助几何设计中，样条曲面是最重要的数学方法和研究内容，本文针对 运用样条曲面造型时三个方面的问题，作了一定的研究 1 样条曲面的裁剪问题曲面的裁剪是指如何在已知曲面上提取特定的子区域， 从而能对该特定子区域和余下的曲面部分进行更进一步的操作样条曲面的裁剪在曲 面的细分、拼接等方面有着重要的应用本文借助开花这一研究样条的有力工具，首 先对基于直线的裁剪问题给出了一种统一模式的解决方法其次，将基于直线的裁剪 推广到基于多项式曲线的裁剪，使得裁剪的方法更灵活，裁剪的区域更自由方法不 仅对多项式形式的曲面适用，而且对有理形式的曲面也适用 2 针对经典的b 6 z i e r 曲线曲面在控制项点给定，曲线曲面形状就唯一固定，缺乏 进一步调整曲线曲面形状的能力这一情况，本文给出了一种带多个形状参数的广义 b 6 z i e r 曲线曲面广义b 6 z i e r 曲线曲面保留了经典b 6 z i e r 曲线曲面的优良性质，并可 以通过形状参数的取值变化来进一步调整曲线曲面的形状形状参数具有直观明确的 几何意义，调整曲线曲面形状的方式可以预先估计和精确计算并且对广义b 6 z i e r 曲 线曲面如何拼接成样条曲线曲面作了分析 3 关于样条曲面的界的问题样条曲线曲面的界指的是相对于某一确定的位置， 通过求出曲线曲面与该确定位置的距离，从而确定曲线曲面在拓扑上所处于的一个尽 可能小而且精确的范围关于b 6 z i e r 和b 一样条曲线曲面的界已经有了一定的成果，本 文针对在三边曲面造型中影响极大的三向四次箱样条曲面，通过控制顶点的方向差 分，求出了曲面片与控制网格的中心三角平面片的距离，从而刻画了三向四次箱样条 曲面的界 关键词：样条；曲面；裁剪；形状参数；界 a b s t r a c t s p h n es u r f a c e sa r et h em a i nm e t h o d sa n dc o r ec o n t e n t si nc a g d t h ef o l l o w i n g t h r e ep r o b l e m sa r i s i n gf r o mu s i n gs p l i n es u r f a c e si ng e o m e t r i cm o d e l i n ga r er e s e a r c h e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n 1 t h et r i m m i n go fs p l i n es u r f a c e t r i m m i n go fs u r f a c em e a n sh o wt or e f i n ea s u b d o m a i no fa g i v e ns u r f a c ef o rf u r t h e rp r o c e s s i n go ft h i ss u b d o m a i na n dt h el e f t p a r t s m a n yp r o b l e m ss u c ha ss u b d i v i s i o na n dc o n n e c t i o no fs u r f a c e sc a nb er e g a r d e d a st h es p e c i a lc a s e so ft r i m m i n g b ym e a n so fb l o s s o m s ，o n eu n i t e dm e t h o di sg i v e n f o rt h ep r o b l e mo ft r i m m i n gw i t hl i n e sf i r s t l y t h e nt h i sm e t h o di sg e n e r a l i z e dt o t r i m m i n gw i t hp o l y n o m i a lc u r v e s ，w h i c hm a k e sm o r ec h o i c e sf o rt h es h a p eo ft r i m m i n g s u b d o m a i n t h em e t h o di sw o r k i n gf o rb o t hp o l y n o m i a ls u r f a c e sa n dr a t i o n a lc a s e s 2 w h e nt h ec o n t r o lp o i n t sa r eg i v e n ，t h es h a p eo fc l a s s i c a lb 6 z i e rc u r v eo rs u r f a c e i su n i q u e l yd e c i d e d f o rr e m e d y i n gt h i sc a s e s ，t h eg e n e r a l i z e db 6 z i e rc u r v ea n ds u r f a c e w i t hm u l t i - s h a p e - p a r a m e t e r sa r eg i v e n ，w h i c hn o to n l yh o l dt h ee x c e l l e n tp r o p e r t i e so f c l a s s i c a lb 6 z i e rc u r v eo rs u r f a c e b u ta l s oc a nc h a n g i n gt h es h a p eo ft h ec u r v eo rs u r f a c e w i t ht h es h a p ep a r a m e t e r s t h eg e o m e t r i cs i g n i f i c a n c eo fs h a p ep a r a m e t e r si sc l e a r l y , t h em o d i f y i n gs t y l ec a nb ef o r e s e e na n de v a l u a t e da c c u r a t e l y a n dt h ec o n n e c t i n go f g e n e r a l i z e db 6 z i e rc u r v e sa n ds u r f a c e sa r ea l s od i s c u s s e d 3 t h eb o u n do fs p l i n es u r f a c em e a n sh o wt oe v a l u a t et h ed i s t a n c ef r o mt h e s u r f a c et oaf i x e dp o s i t i o nf o rd e c i d i n gas m a l la n da c c u r a t et o p o l o g i cb o u n do ft h i s s u r f a c e t h eb o u n d so fb d z i e ra n db s p l i n es u r f a c e sh a v es o m er e s e a r c h e da c h i e v e - m e n t s t h i st h e s i sg i v e sab o u n do ft h r e ed i r e c t i o nq u a r t i cb o xs p l i n es u r f a c ew h i c h i sw e l lu s e di ng e o m e t r i cm o d e l i n gw i t ht r i a n g u l a rs u r f a c e s t h ed i s t a n c ef r o mt h e s u r f a c et ot h ec e n t r a lt r i a n g u l a rp l a n ep a t c ho v e rc o n t r o ln e ti sd e s c r i b e dw i t ht h e d i r e c t i o nd i f f e r e n c e so fc o n t r o lp o i n t s k e y w o r d s ：s p l i n e ；s u r f a c e s ；t r i m m i n g ；s h a p ep a r a m e t e r s ；b o u n d s 插图索引 2 1 基于直线的b 6 z i e r 曲面定义域的裁剪 9 2 2 矩形和三边形b 6 z i e r 曲面的裁剪的有关工作 1 0 2 3 凸四边形区域的重新参数化。 1 1 2 4 三边b 6 z i e r 曲面的裁剪 1 4 2 5 矩形b 6 z i e r 曲面的裁剪 1 4 3 。1 曲边四边形 1 8 3 2 曲边三边形 1 8 3 3 曲边两边形1 8 3 4 多项式曲线细分参数域 1 8 3 5 矩形b 6 z i e r 曲面定义域的曲线细分 2 0 3 6 矩形b 6 z i e r 曲面的曲线细分 2 1 3 7 三边b 6 z i e r 曲面的曲线细分 2 2 3 8 让向简单区域d ( u ，v ) 的四种类型 2 3 3 9 矩形b 6 z i e r 曲面的曲线裁剪 2 6 3 1 0 三边b 6 z i e r 曲面的曲线裁剪。 2 6 3 1 1 样条曲面的曲线裁剪 2 7 4 1 广义三次b 6 z i e r 曲线及形状参数的几何意义 3 3 4 2 在相同的控制网格下，带不同形状参数的三张广义b 6 z i e r 曲面改变其 中一个形状参数的值，曲面上的点沿可预计和计算的方向和距离移动 3 6 4 3 三次二元b e r n s t e i n 基函数的位置地图 3 7 4 4 n 次二元b e r n s t e i n 基函数的位置地图 3 7 4 5 在相同的控制网格下，运用广义b 6 z i e r 曲线设计不同风格的字母“s 4 3 4 6 在相同的控制网格下，运用三次广义三边b 6 z i e r 曲面设计不同风格的 曲面 4 3 5 1 三向四次箱样条基函数、控制网格及曲面片 4 7 5 2 参数域d 被隐式曲线，2 = 0 ，4 = 0 和南= 0 分成四个部分 5 0 x 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) ：巧勿雅；多 呷年溯堋 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“”或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签孙桕荭垮 押夕年 月护日 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 学科的中 心任务是为在计算机图形系统环境下对曲线、曲面信息的表示、逼近、分析与综合提 供合理、便捷、完善的数学模型 1 】当今典型的曲线、曲面造型方法有三种，一是基 于显式样条函数的参数曲线、曲面方法；二是基于隐式方程理论的代数曲线、曲面方 法；另外就是基于细分( s u b d i v i s i o n ) 的离散网格造型方法三种方法的核心思想和基 础理论仍然都是基于样条样条理论源j = s c h o e n b e r g 2 的对数据逼近的研究工作，后 i 主t s c h u m a k e r 3 1 、d eb o o r 4 等数学家逐渐发展和完善从一元到多元，从多项式到有 理，从矩形定义域到三角定义域、多边形区域、一般形状区域，样条理论蓬勃发展伴 随样条理论发展起来的曲线、曲面造型工具也由b 6 z i e r 方法发展到均匀b 一样条、非 均匀b 一样条、非均匀有理b 一样条、多元样条等方法 5 】样条的核心思想就是分片多项 式，在合理的构造方法下，使得这些分片多项式以一定的连续阶连接，从而构造大范 围的逼近函数在几何上，就是使得相应的分片曲线、曲面不仅局部光滑，而且整体 达到一定的光滑度 在曲线、曲面造型方法的发展过程中，基于b e r n s t e i n 多项式的b 6 z i e r 曲线、曲 面( 尽管一开始并不是用b e r n s t e i n 基函数来表示) 一直起着基础性的地位和作用由于 样条可以转化为分片多项式进行分析，时至今日，对单片多项式形式的b d z i e r 曲线曲 面的研究仍在不断进展中 曲面的裁剪是指对已经存在的曲面，如何提取其上指定的子区域，并进行后续操 作的问题裁剪问题在工业和艺术设计，图形的拼接和局部加工、曲面曲线的离散化 等操作中广泛存在高效准确的裁剪方法在实际应用上极具价值，现行商业软件中， 很多裁剪算法仍然是商业机密 样条曲线曲面的界指的是相对于某一确定的位置，通过求出曲线曲面与该确定位 置的距离，从而确定曲线曲面在拓扑上所处于的一个尽可能小而且精确的范围这在 图形绘制、求交测试、细分曲面的误差估计等方面有重要用途 本文主要讨论了以下几个问题： 1 如何在样条曲面上，对指定的子区域，提取相应的子曲而片，并把该子曲面片 第一章绪论 2 表成b 6 z i e r 曲面的形式； 2 对b 6 z i e r 曲线曲面，在控制顶点给定，曲线曲面形状即唯一确定的情况下，如 何增加调节曲线曲面形状的能力 3 在三边曲面片造型中得以广泛应用的三向四次箱样条曲面，如何求取该曲面 的界? 对相关问题目前的研究现状及研究成果，将在各章节序言中进行详细介绍全文 包含以下内容：第一章，对参数样条曲面和开花( b l o s s o m s ) 进行简单介绍；第二章，介 绍基于直线的样条曲面的裁剪方法；第三章讨论基于多项式曲线的样条曲面的裁剪问 题；第四章给出一种带多个形状参数的广义b 6 z i e r 曲线曲面；第五章研究了三向四次 箱样条曲面的由控制顶点的方向中心差分表示的距离界第六章对全文作总结并提 出一些后续的研究问题 1 1参数样条曲面简介 本节内容取材于【1 ，5 1 1 ，1 5 一i 8 1 1 1b 6 z i e r 曲线曲面 b 6 z i e r 曲线曲面由法国工程师b 6 z i e r 于1 9 6 2 年提出，并在著名的u n i s u r f 系统 中得以成功运用但开始时的形式非常复杂，后经f o r r e s t 的工作，才有了今天用 b e r n s t e i n 基函数来表示的非常简洁的形式 定义1 1 ( 一元n 次b e r n s t e i n 基函数) 设 黜) = ( ? ) ( 鲁r ( 。b - t r ，t 咄6 】i = 0 , 1 , - - ( 1 1 ) 则称这n + 1 个多项式为一元佗次b e r n s t e i n 基函数 定义1 2 次b 6 z i e r 曲线) 给定礼+ 1 个空间向量只r 2 ( 3 1 ，称 p ( 亡) = 毋( 芒) 最，t 【口，6 】 t = o ( 1 2 ) 第一章绪论 3 为定义在 a ，6 】上的一条n 次b d z i e r 曲线，其中只称为控制顶点依次连接相邻两个 控制顶点所得的n 边折线为控制多边形 定义1 3 ( 张量积型的矩形b 6 z i e r 曲面) 给定( m + 1 ) ( n q - 1 ) 个空间向量r 3 ( i = 0 ，1 ，m ，歹= 0 ，1 ，佗) ，称曲面 r ( u ，u ) = b y ( u ) b t ( 口) ， i = 0j = o ( 乱，钉) a ，6 】o c ，d 】 ( 1 3 ) 为定义在【o ，6 o c ，司上的一张双( m ，佗) 次b d z i e r 曲面印( u ) ，霹( u ) 分别为定义在 a ，6 和i v ，明上的m ，n 次b e r n s t e i n 基函数称只，j 为控制顶点，依次连接相邻两个控 制顶点所得的m n 边折线网格为控制网格 张量积型的b 6 z i e r 曲面是定义在矩形域上的四边曲面片，人们发现在曲面造 型的很多场合三边曲面片更加易用，f a r i n 构造了基于二元b e r n s t e i n 基函数的三边 b 6 z i e r 曲面 定义1 4 ( 二元n 次b e r n s t e i n 基函数) 设a a b c 瞅， ( u ，v ，叫) l o u ，v ， t o 1 ，u + 口+ w = 1 ) 是关于a b c 的重心坐标，则称 饬舡，口) = ( 幻n ，忌) 钆矿扣一舭 0 ，t + 歹+ 尼一 ( 1 4 ) 为二元几次b e r n s t e i n 基函数 定义1 5 ( 三边b 6 z i e r 曲面) 给定巫掣个空间向量南r 3 ( i ，j ，k o ，i + j + k = 竹) ，称曲面 t ( u ，钌) = 饬七( 乱，u ) 嘞七， i ，歹，k o ，i + 歹+ k = n i + j + k = n ( 1 5 ) 为定义在a b g 上的一张n 次三边b g z i e r 曲面磁南( u ，u ) 是定义在a a b c 上的佗 次二元b e 舢t e i 仡基函数称只j ，知为控制顶点，依次连接相邻两个控制顶点所得的佗2 个三角形组成的网格为控制网格 b 6 z i e r 曲线、曲面是单片多项式形式，在控制顶点过多的情况下，多项式次 数会很高，这对其性质的易控性、计算的稳定性都很不利在构造大范围的逼 第一章绪论 4 近函数和连续图形时，由于缺少局部性，效果会变得不理想因此，在g o r d o n 、d e b o o r 、b o h e m 1 2 - 1 4 等尝试既保留其优点又克服上述缺点的努力下，引入节点概念， 提出了得以广泛应用的& 样条理论 1 1 2 b 。样条曲面 定义1 6 ( 一元b - 样条基函数) 给定参数u 轴上的节点序列u ： 札i ) 兰o o ( u i + 1 ，i = 0 ，士1 ，4 - 2 ，) ，称由下列递推关系所确定的函数m ，七( u ) 为相应于节点序列 u 的k 次b 一样条基函数，其中规定3 = 0 ， 北，o ( u ) m ，七( 让) = 卜掣 = 者羔北，m ( 饥) + 者篇舰+ 1 m ( u ) ( 1 6 ) 定义1 7 ( 张量积b 一样条曲面) 给定( m + 后) ( n + z ) 个空间向量只歹r 3 = - k ，- k + 】，m 一1 ，j = - l ，一l + 1 ，佗一1 ) ，m ，岛( u ) 和，l ( ) 分别为定义在节点序列 u ：。u l m ：+ 一k 甩和v ： ) 拦f 上的一元后次和f 次b 一样条基函数，则称张量积曲面 ( 让，v ) u o ，u m 】o 【v o ，v n 】( 1 7 ) 为一张k f 次的b 一样条曲面r 称为控制顶点，依次用直线段连接相邻控制顶点所 得的折线网格为控制网格 1 1 3 箱样条曲面 张量积b 一样条曲面本质上仍然是单变量样条，只不过参数先后在两个方向上分别 变化从而张成曲面所以，多元样条理论也是数学家们非常关心的一个领域著名数 学家d eb o o r 等 1 5 】成功的构造了一种多元样条理论，即箱样条( b o xs p l i n e ，也有译成 盒样条) 前面所述的b 样条曲线、曲面都是箱样条的特殊形式，著名的l o o p 细分曲面 也是源于对三向四次箱样条曲面的推广一般的箱样条理论非常复杂这里只对其作 一简单介绍完整的理论请参见1 6 ，17 】 m m “纠 一一 = 叻 珏 以 第一章绪论 5 定义1 8 ( 显式箱样条基函数) s 元箱样条尥( z ) ：础_ r 可由如下递推关系定义： 一s ) 尥( z ) = ( 如施m ( z ) + ( 1 一) 蚝( f ，( z 一) ) 其中z = 艇是将z 表示成方向集三的列向量的线性组合，兰r s 黼，佗8 递推 的初始情形为，方向集矩阵三为方阵，且 尥( z ) = 丽1 x 卿 始口表示定义在死次半开单位立方体的投影上的特征函数 例如，当三= 1 ，l ，1 ，1 】时，即为单变量b 一样条；当三= e l ，e l ，e 2 ，e 2 】 时，即为张量积b 一样条，其中e 1 = 咖，e 2 = o 】参数化后的箱样条基函数参见 1 7 】 1 1 4g r a s s m a n n 空间与有理样条曲面 在 1 8 ，2 9 】中，计算机辅助几何设计领域的专家g o l d m a n 给出t g r a s s m a n n 牵_ l h - 详细的解释，指出了其相对于射影空间更适合于c a g d 中构造有理曲线曲面的空间结 构相比于齐次坐标，采用g r a u s s m a n n 坐标有更明确的几何和物理意义，也有更完备 的代数运算下面就对有理样条曲线曲面作一个统一的定义。 定义1 9 ( 有理样条曲面) 给定四维g 他s s m n n 礼空间中的一族控制顶点局= _ u j 磁， u ，m ，u j 历，u f ) ，i s 设参数化后的样条基函数( 如b e m s 亡e i 堪，b 一样条基，箱样条 基等) 为岛( “，钞) ，i s 则在该空间中的相应的样条曲面为 r ( 就，钞) = 片研( u ，口) = _ j 蜀，叫j m ，u ，历，j ) 研( u ，钞) ( 1 8 ) j s1 6 s 将该四维样条曲面投影到三维仿射空间，即得有理样条曲面 跏川= 丝掣警蒜等删 ( 1 9 ) 第一章绪论 6 1 2 多项式开花简介 开花( b l o s s o m s ) 也称作极形式( p o l a rf o r m s ) ，由r a m s h a w 1 9 ，2 0 在他的两篇技术 报告中首次提出，后由g o l d m a u ，f a r i n 等加工和推介，现已成为研究样条理论的强大 工具样条理论中的诸多算法，例如升降阶、细分、插入节点、求导等，都可以统一在 开花这一工具下进行深入应用开花已是样条研究领域的共识多种c a g d 专著都已 将样条理论直接建立在开花之上进行讨论 1 8 ，2 1 ，2 2 1 2 1 开花的定义 定义1 1 0 ( n 次多项式p ( 亡) 的开花) 称满足以下三条性质的佗元多项式函蜘( u 1 ，u n ) 为n 次多项式尸( t ) 的开花： 1 对称性? 对( 1 ，礼) 的任一置换盯， 2 多仿射性： p ( u l ，乱n ) = p ( u 盯( 1 ) ，乱盯( 竹) ) ； p ( u l ，( 1 一位) + q 叫知，珏n ) ) = ( 1 一o f ) p ( u l ，仳七，u n ) + o 猡( 让1 ，叫詹，u n ) ； 3 对角线性质： p ( t ，t ) = p ( 亡) 可以证明，满足上述三条性质的多变量多项式是存在且唯一的，而且每个变量都 是一次对一元多项式的开花很容易推广到多元的情况，本文主要使用到二元多项式 在矩形域和三角域上的开花，下面介绍这两种开花的生成及对偶泛函性质 1 2 2多项式在矩形域和三角域上开花 定理1 1 对二元双( m ，n ) 次( 总次数k 次) 多项式 p ( 8 ，亡) = c 巧t j ，0 i m ，0 j 礼，0 i + 歹k ( 1 1 0 ) “j ) 第一章绪论 7 其在矩形域上的开花是 其中， 这里 b d ( s 1 ，s i n ；t 1 ，k ) = ( s 1 ，s m ；亡1 ，t n ) = a l ，o r 2 ，c x i c _ m ( i j ) c 巧6 巧( s 1 ，s i n ；亡1 ，t n ) 兰竺! ! ! ! ：兰竺!r! 生! 垫：垫 ( ? ) 协，急 ( ? ) m = 1 ，2 ，3 ，m ) ，n = 1 ，2 ，3 ，佗) 其在三角域上的开花是 其中， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 6 ( ( s m t ) ，( 亡七) ) = c i j b i j ( ( s m t ) ，( s 七，如) ) ； ( 1 1 3 ) ( i , j ) ( ( s 1 ，t 1 ) ，( s 南，如) ) 这里k = = j - o “1 ，0 2 ，一，o t c _ k 卢1 ，卢2 ，乃 k a 1 ，a 2 ，a t 【1 ，2 ，3 ，七 i 定理1 2 ( 开花的对偶泛函性质) 8 a l s q 2 8 a i t f h t p 2 锄 ( 乌) ( 1 1 4 ) 对双( m ，礼) 次多项式曲面p ( 让，移) = ( t j ) ， ( u ， ) 口，6 】o 【c ，翻，则这张曲面 片的b 锄e r 控制顶点p f g 为 p ，9 = b 口，b ，b ；c ，c ，d ，d ) 、- _ ，、- 、，i 一、_ 、_ 一， m 一|in - - gg ( 1 1 5 ) 对k 次多项式曲面p ( u ， ) = ( t j ) 劬u ， ( 钆，秒) a a b c ，则这张曲面片的b d z i e r 第一章 绪论 8 控制顶点 为 26 幽，掣，咄) ， |g h ，+ 9 + h = k ( 1 1 6 ) 上式中的a ，b ，c 指的是a ，b ，c 三点在( 珏，移) 参数平面上的笛卡尔坐标 第二章运用直线裁剪样条曲面 矩形和三边形b 6 z i e r 曲面是曲面造型中应用最为广泛的工具，也是c a g d 研究 的重点内容之一，两者分别定义在平面上最简单的两类多边形区域，矩形域和三角形 域上关于这两种曲面，一个有直观而有趣的问题就是，如图2 1 所示： abcd 图2 1 ：基于直线的b 6 z i e r 曲面定义域的裁剪 问题1 ( 图2 1 a ) ：给定定义在区域丌上的一张三边b 6 z i e r 曲面，子区域a a b c 丌那 么该子区域对应的子曲面片能否表成三边b 6 z i e r 曲面的形式，如果能，怎么求它的 b 6 z i e r 控制顶点? 问题2 ( 图2 1 b ) ：给定定义在区域丌上的一张矩形b 6 z i e r 曲面，子区域a a b c 7 r 问 题同上 问题3 ( 图2 ，1 c ) ：给定定义在区域7 r 上的一张三边b 6 z i e r 曲面，凸四边形子区 域 3 a b c dc 一7 r 那么该子区域对应的子曲面片能否表成矩形b 6 z i e r 曲面的形 式，如果能，怎么求它的b 6 z i e r 控制顶点? 问题4 ( 图2 1 d ) ：给定定义在区域7 r 上的一张矩形b 6 z i e r 曲面，凸四边形子区 域v i a b c d 7 r 问题同上 以上四个问题其实可以总结为一个问题：如何在b 6 z i e r 曲面上裁剪b 6 z i e r 曲面? 而且这个问题还包含许多特殊的情况，涉及到b 6 z i e r 曲面的细分、拼接、三边片 和矩形片之间的相互转换等重要算法，也已经有很多重要的结果，例如，如图2 2 所 示， 1 本章主要内容已在“l e c t u r en o t e si nc o m p u t e rs c i e n c e ”上发表 第二章运用直线裁剪样条曲面 1 0 a d b e c f 图2 2 ：矩形和三边形b 6 z i e r 曲面的裁剪的有关工作 图2 2 a 和图2 2 b ，意指三边b 6 z i e r 曲面的细分，这类问题的工作见 2 1 ，2 3 】； 图2 2 c ，意指如何将一张矩形b 6 z i e r 曲面细分成两张三边b 6 z i e r 曲面，见 2 4 】； 图2 2 d ，意指如何将一张三边b 6 z i e r 曲面细分成三张矩形b 6 z i e r 曲面，见 2 5 ； 图2 2 e ，意指如何将一张三边b 6 z i e r 曲面转化成矩形b 6 z i e r 曲而，见 2 6 】； 图2 2 f ，意指矩形b 6 z i e r 曲面的广义细分，见 2 7 1 另外，f 2 8 幂a j m 位移算子研究了问题2 和问题3 如上所述，这四个问题从不同角度都 有了一定的各自解决办法本章借助开花和重新参数化为工具，对这些问题给出一个 统一模式的解决方法 2 1在b 6 z i e r 曲面上裁剪三边b f z i e r 曲面 本节回答问题1 和2 ，即如何在矩形或三边b 6 z i e r 曲面上裁剪三边b 6 z i e r 曲面 由于二元多项式能在任意三角形域上直接开花，因此这个问题相对比较简单，这里直 接给出算法步骤： 问题：给定三边或矩形b 6 z i e r 曲面p ( u ，u ) ，定义域为三角域或矩形域7 r ，子区域 a a b c 7 r ，求定义在该子区域上的三边曲面片的b 6 z i e r 控制顶点 算法： 第二章运用直线裁剪样条曲面 1 1 s t e p1 ：将p ( u ，) 写成( 1 1 0 ) 的形式； s t e p2 ：利用( 1 1 3 ) 生成该多项式的三角形开花6 ( ( u 1 ，v i ) ，( 乱七，) ) ； s t e p3 ：利用( 1 1 6 ) 计算定义在子区域a a b c 上的子曲面片的b 6 z i e r 控制顶点 2 2在b 6 z i e r 曲面上裁剪矩形b 6 z i e r 曲面 本节回答问题3 和4 ，即如何在矩形或三边b 6 z i e r 曲面上裁剪矩形b 6 z i e r 曲面 由于二元多项式只能在任意的矩形域上开花，而不能在一般的四边形区域上开花，因 此，首先我们要将凸四边形区域重新参数化到矩形区域 2 2 1凸四边形区域的重新参数化 记任一给定的r 2 上的凸四边形区域为o a b c d ，顶点分别为a ( a l ，a 2 ) ，b ( b l ，b 2 ) ， c ( c 1 ，c 2 ) ，d ( d l ，d 2 ) ，记其围成的闭区域为d ( 仳，口) 定理2 1 引入映射：面( s ，t ) _ d ( u ，u ) ，万( s ，t ) = 0 ，1 】o 0 ，1 】cr 2 ， ! u = ( i - - s ) ( 1 一句。1 + ( 1 一s ) t b l + s t c l + ( 1 一功s d l ( 2 1 ) i ：( 1 一s ) ( 1 一亡) 。2 + ( 1 一s ) t b 2 + 毹c 2 + ( 1 一t ) s d 2 、。 那么，如果d a b c d 是严格的凸四边形，则映射是一个正则映射j 如果e a b c d 是退化的的凸四边形( 形如图2 3 b ，即退化为三角形的情况) ，则映射存在唯一的奇 异点( 8 ，t ) = ( 1 ，1 ) a ba ab 图2 3 ：凸四边形区域的重新参数化 第二章运用直线裁剪样条曲面 1 2 证明：首先，如果d a b c d 是严格的凸四边形，如图2 3 a 容易验证是连续可微映射，且将边界映向边界，区域内部映向区域内部并且， j a c o b i 矩阵 酬= ( 1 - t ) ( d l - a 1 ) + t ( c l - b 1 ) 。(1一-8)(51一-a1)，+s8。(饧cl一-dl，)1 s ) ( b 2a 2 d 2 ( 一 一) + s ( c 2 一 ) l ：【( 1 一亡) 五弓+ t b c ，( 1 一s ) 万杏+ s d - - 宏 如图所示，由于口a b c d 是一个严格的凸四边形，所以它的四条边a b ，b c ，c d ，d a 分 别位于平面上被对角线4 c 和b d 分成的四个不同区域平移向量a 醇，d o ，a d ，b c ， 使之以以对角线交点d 为共同始点，记o 亩= 4 百，o f = d 矽，0 百= b c ， d 0 = 4 d 则0 豆，o f 7 位于相同区域，而0 刁，0 百位于另一个相同区域，记o x = o j - o o o - - - _- - - - - - 4- - - - - - - b ( 1 一t ) a d + t b c = ( 1 一t ) o o4 - t 0 日，d y = ( 1 一s ) a b + s d c = ( 1 一s ) o e + s o f ， 则x 必在线段g 日上，y 必在线段e f 上，因此向量o x 和0 矿的方向不可能相同或 相反，所以它们必线性无关，因此行列式 1 8 uu “ t b i 匿荔l _ i ( 1 - t ) a b + t d c ( 1 一s ) 商+ s b c i = i p - - - - x - - 4 ，o y i o 1 函巩i 因此，是正则映射； 其次，如果r 2 是退化的的凸四边形，见图2 3 b 重复上面的证明过程即发现，唯 一不同的就是，当且仅当( s ，t ) = ( 1 ，1 ) 时，0 叉与d 矿线性相关，此时j a c o i 矩阵的行 列式为零，有唯一奇异点8 ，t ) = ( 1 ，1 ) 定理证毕 注：上述参数变换引起的奇异点并不会影响后文曲面本身的形状和几何性质，只是对 某方面的参数性质有影响，这对后文的工作是没有影响的 通过引入上述重新参数化，让一般的凸四边形区域转化成矩形区域，这样，就可 以利用前面所说的开花的对偶泛函性质来求取定义在该区域上的子曲面片的b 6 z i e r 控制顶点了 第二章运用直线裁剪样条曲面 1 3 2 2 2算法步骤 本节利用前面给出的参数变换和开花，给出在三边或矩形b 6 z i e r 曲面上裁剪矩 形b 6 z i e r 曲面的算法 问题：给定三边或矩形b 6 z i e r 曲面p ( u ，钞) ，定义域为三角域或矩形域7 r ，凸四边形子 区域 ： a b c d 7 r ，求定义在该子区域上的矩形曲面片的b 6 z i e r 控制顶点 算法： s t e pj ：函数复合，将( 2 1 ) 代入p ( u ，v ) 并记q ( s ，亡) = p ( 咖( s ，t ) ) ； s t e p2 ：将q ( s ，t ) 写成( 1 1 0 ) 的形式； s t e p ? ：利用( 1 1 1 ) 生成该多项式的矩形开花6 口( s 1 ，s i n ；t l ，亡n ) ； s t e p 彳：利用( 1 1 5 ) 计算定义在子区域口a b c d 上的子曲面片的b 6 z i e r 控制顶点 = 护，“；掣，) m-f|n - - gg 2 3实例 本节将展示利用前两节给出的算法，分别在三边和矩形b 6 z i e r 曲面上，在不同的 位置裁剪出多片矩形或三边b 6 z i e r 曲面的例子，所有裁剪出来的曲面片都被表成了 b 6 z i e r 曲面的形式 注：由于曲面片的数目较多，控制顶点的数目因此较多，这里不一一列出 例2 1 ：图2 4 a 是给定的一张三边b 6 z i e r 曲面，图2 4 b 表示应用前面算法将这张三边 b 6 z i e r 曲面表成了一张退化的四边b 6 z i e r 曲面；图2 4 c 是在该三边b 6 z i e r 曲面上分 别裁剪的三张矩形b 6 z i e r 曲面；图2 4 d 是在该三边b 6 z i e r 曲面上裁剪出来的一个字 母“h ，用到了三张矩形b 6 z i e r 曲面 例2 2 ：图2 5 是一张矩形b 6 z i e r 曲面：图2 5 b 是将该b 6 z i e r 曲面的矩形定义域有直 线细分成一个“七巧板”的形状；图2 5 c 相应的曲面被细分成七个子曲面片，其中五 张三边b 6 z i e r 曲面，两张矩形b 6 z i e r 曲面；图2 5 d 是在该b 6 z i e r 曲面上裁剪出的一 个字母“t ”，用的是两张矩形b 6 z i e r 曲面 第二章运用直线裁剪样条曲面 图24 ：三边b 6 z i e r 曲 b a 氐j 图2 5 ：矩形b z i e r 曲面的裁剪 d 冬冬一影 忿仪 第二章运用直线裁剪样条曲面 1 5 2 4 基于直线的有理b 6 z i e r 曲面的裁剪 2 1 节和2 2 节详细讨论了在多项式形式的b 6 z i e r 曲面上裁剪b 6 z i e r 曲面的问 题，由1 1 4 节给出的有理b 6 z i e r 曲面的构造方式可知，对于如何在有理b 6 z i e r 曲面 上裁剪子曲面片，并求出其控制顶点，可按如下步骤进行： 首先，将给定的位于仿射空间中的有理b 6 z i e r 曲面改写成位于g r a s s m a n n 空间 2 9 中 的多项式曲面的形式； 其次，对位于g r a s s m a n n 空间中的多项式曲面，运用2 1 节和2 2 节的裁剪算法，求出 控制顶点，此时的控制顶点位于g r a s s m a n n 空间中，以g r a s s m a n n 坐标的形式给出； 最后，将求出的控制顶点投影到仿射空间，即得到位于仿射空间的子曲面片的b 6 z i e r 控制顶点 2 5 基于直线的样条曲面的裁剪 样条曲面由分片多项式曲面组成，相应的定义域也位于平面上的分片区域上对 于裁剪样条曲面上的子曲面片，可以按如下步骤进行： 第一步，将样条曲面转换成分片b 6 z i e r 曲面的形式( 实际应用中的样条曲面在有的系 统中就是以分片b 6 z i e r 曲而的形式存储的2 1 0 ； 第二步，将位于样条曲面定义域上的裁剪区域也相应的分割到分别位于每个b 6 z i e r 曲面的定义域上；此时，如果有分割后的子裁剪区域不是凸四边形区域或三角形区域， 则进一步将其分割成这两种类型的子区域的组合： 第三步，在每个分割后的凸四边形区域或三角形区域上运用前述的裁剪算法，求出该 子曲面片的b d z i e r 控制顶点 注：1 此时，裁剪下来的曲面片是由分片的b d z i e r 曲面拼接在一起组成的；2 如果是在有理样条曲面上裁剪，只要将上述步骤先在g r a s s m a n n 空间中进行，求出的 控制顶点再投影到仿射空间即可我们将在第三章给出一个在b 一样条曲面上混合使用 直线和曲线来裁剪子曲面片的例子( 见3 4 节) 第二章运用直线裁剪样条曲面 1 6 2 6小结 运用参数变换和多项式