高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题五 立体几何 1.5.3 用空间向量的方法解立体几何问题课件 理 新人教版.ppt

第三讲用空间向量的方法解立体几何问题 知识回顾 1 线 面的位置关系与向量的关系设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 平面 的法向量分别为 a3 b3 c3 a4 b4 c4 l m a b a kb l m a b a b l a a l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 0 a1a3 b1b3 c1c3 0 a1 ka3 b1 kb3 c1 kc3 k a3 ka4 b3 kb4 c3 kc4 0 a3a4 b3b4 c3c4 0 2 三种空间角与空间向量的关系 1 设a b分别为异面直线a b的方向向量 则两异面直线所成的角 满足cos 2 设l是斜线l的方向向量 n是平面 的法向量 则斜线l与平面 所成的角 满足sin 3 二面角 如图 ab cd是二面角 l 的两个半平面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos cos或cos 3 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 在直线上任取一已知 向量即可作为它的方向向量 2 平面的法向量 可利用方程组求出 设a b是平面 内两不共线已知向量 n为平面 的法向量 则求法向量的方程组为 非零 易错提醒 1 忽视判定定理的条件致误 利用空间向量证明空间平行 垂直关系时 需转化为证明其所在方向向量 法向量的平行 垂直 但一定要交待清楚涉及向量所在的直线 平面是否满足判定定理的条件 如证明l 需证明l的方向向量l与平面的法向量n垂直 但一定要交待l 这一条件 2 忽视角的范围致误 应用空间向量求空间角时 忽视异面直线所成角的范围为 直线与平面所成角的范围为 二面角范围为 0 3 混淆空间角与向量的夹角致误 异面直线所成的角应是其方向向量的夹角或其补角 二面角应是其法向量的夹角或其补角 4 不能准确掌握利用空间向量求直线与平面所成角的公式致误 空间向量求直线与平面所成的角公式是sin 而非cos 考题回访 1 2014 全国卷 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别为a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 解析 选c 由题意 以c为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 令bc ca cc1 2 则c 0 0 0 a 0 2 0 b 2 0 0 a1 0 2 2 b1 2 0 2 c1 0 0 2 因为m n分别为a1b1 a1c1的中点 所以m 1 1 2 n 0 1 2 这时 所以所以bm与an所成角的余弦值为 2 2016 北京高考 如图 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd pa pd pa pd ab ad ab 1 ad 2 ac cd 1 求证 pd 平面pab 2 求直线pb与平面pcd所成角的正弦值 3 在棱pa上是否存在点m 使得bm 平面pcd 若存在 求的值 若不存在 说明理由 解析 1 因为平面pad 平面abcd 交线为ad ab 平面abcd ab ad 所以ab 平面pad 因为pd 平面pad 所以ab pd 又因为pa pd pa ab a pa ab 平面pab 所以pd 平面pab 2 取ad中点o 连接op oc 因为pa pd 所以op ad 又因为平面pad 平面abcd 交线为ad op 平面pad 所以op 平面abcd 又因为ac cd 所以oc ad 因为ab ad 所以oc ab且oc 2ab 如图 分别以oc oa op所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 p 0 0 1 b 1 1 0 c 2 0 0 d 0 1 0 设平面pcd的法向量为n x y z 则所以z 2x y 2x 令x 1得 n 1 2 2 所以直线pb与平面pcd所成角的正弦值为 3 方法一 过b作be ad 交oc于h 交cd于e 因为oc ab且oc 2ab 所以oh ab oh ab bh ao 所以h为oc的中点 所以eh od eh od 所以be ad且be ad 在pd pa上分别取点f m 使得pf pd pm pa 则fm ad fm ad 所以fm be fm be 所以四边形befm为平行四边形 所以bm ef 又因为bm 平面pcd ef 平面pcd 所以bm 平面pcd 因此 在棱pa上存在点m 使得bm 平面pcd 且 方法二 假设存在m点使得bm 面pcd 设 m 0 y z 由 2 知a 0 1 0 p 0 0 1 0 1 1 b 1 1 0 0 y 1 z 有 m 0 1 所以 1 因为bm 面pcd n为面pcd的法向量 所以 n 0 即 1 2 2 0 所以 综上 存在m点 即当时 m点即为所求 热点考向一利用空间向量证明空间平行 垂直关系命题解读 主要考查建立空间直角坐标系 利用空间向量与空间平行 垂直的关系 证明空间线 面间的平行 垂直关系 以解答题为主 典例1 2016 厦门二模 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad ab ab dc ad dc ap 2 ab 1 点e为棱pc的中点 证明 1 be dc 2 be 平面pad 3 平面pcd 平面pad 解题导引 规范解答 依题意 以点a为原点建立空间直角坐标系 如图 可得b 1 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 由e为棱pc的中点 得e 1 1 1 1 向量故所以be dc 2 因为ab ad 又pa 平面abcd ab 平面abcd 所以ab pa pa ad a 所以ab 平面pad 所以向量 1 0 0 为平面pad的法向量 而 0 1 1 1 0 0 0 所以be ab 又be 平面pad 所以be 平面pad 3 由 2 知平面pad的法向量 1 0 0 向量设平面pcd的法向量为n x y z 则即不妨令y 1 可得n 0 1 1 为平面pcd的一个法向量 且n 0 1 1 1 0 0 0 所以n 所以平面pad 平面pcd 易错警示 解答本题易出现三种错误 1 建系后 将相关点的坐标确定错 造成后面步步错 2 在 2 中忽略be 平面pad 而致误 3 将平面的法向量求错 而致误 规律方法 利用空间向量证明空间垂直 平行的一般步骤 1 建立空间直角坐标系 建系时 要尽可能地利用条件中的垂直关系 2 建立空间图形与空间向量之间的关系 用空间向量表示出问题中所涉及的点 直线 平面的要素 3 通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量 再研究平行 垂直关系 4 根据运算结果解释相关问题 题组过关 1 2016 黄石二模 如图所示 在底面是矩形的四棱锥p abcd中 pa 底面abcd e f分别是pc pd的中点 pa ab 1 bc 2 1 求证 ef 平面pab 2 求证 平面pad 平面pdc 证明 以a为原点 ab ad ap所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系如图所示 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 2 0 d 0 2 0 p 0 0 1 所以 1 因为所以即ef ab 又ab 平面pab ef 平面pab 所以ef 平面pab 2 因为所以即ap dc ad dc 又因为ap ad a ap 平面pad ad 平面pad 所以dc 平面pad 因为dc 平面pdc 所以平面pad 平面pdc 2 2016 沈阳一模 在直三棱柱abc a1b1c1中 abc 90 bc 2 cc1 4 点e在线段bb1上 且eb1 1 d f g分别为cc1 c1b1 c1a1的中点 求证 1 b1d 平面abd 2 平面egf 平面abd 证明 1 以b为坐标原点 ba bc bb1所在的直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 则b 0 0 0 d 0 2 2 b1 0 0 4 c1 0 2 4 设ba a 则a a 0 0 所以 即b1d ba b1d bd 又ba bd b ba bd 平面abd 因此b1d 平面abd 2 由 1 知 e 0 0 3 gf 0 1 4 则即b1d eg b1d ef 又eg ef e eg ef 平面egf 因此b1d 平面egf 结合 1 可知平面egf 平面abd 加固训练 1 如图 在直三棱柱ade bcf中 平面abfe和平面abcd都是正方形且互相垂直 m为ab的中点 o为df的中点 运用向量方法证明 1 om 平面bcf 2 平面mdf 平面efcd 证明 由题意 得ab ad ae两两垂直 以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系 设正方形边长为1 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 1 0 f 1 0 1 则所以om ba 因为棱柱ade bcf是直三棱柱 所以ab 平面bcf 所以是平面bcf的一个法向量 且om 平面bcf 所以om 平面bcf 2 设平面mdf与平面efcd的法向量分别为n1 x1 y1 z1 n2 x2 y2 z2 因为由得 令x1 1 则n1 同理可得n2 0 1 1 因为n1 n2 0 所以平面mdf 平面efcd 2 如图所示 平面pac 平面abc abc是以ac为斜边的等腰直角三角形 e f o分别为pa pb ac的中点 ac 16 pa pc 10 1 设g是oc的中点 证明 fg 平面boe 2 证明 在 abo内存在一点m 使fm 平面boe 证明 1 如图所示 连接op 因为pa pc 所以op ac 因为平面pac 平面abc 所以op 平面abc op ob 又因为 abc是以ac为斜边的等腰直角三角形 所以ob ac 以o为坐标原点 分别以ob oc op所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则o 0 0 0 a 0 8 0 b 8 0 0 c 0 8 0 p 0 0 6 e 0 4 3 f 4 0 3 由题意得 g 0 4 0 因为因此平面boe的一个法向量n 0 3 4 4 4 3 得n 0 又直线fg不在平面boe内 因此有fg 平面boe 2 设点m的坐标为 x0 y0 0 则 x0 4 y0 3 因为fm 平面boe 所以有 n 因此有x0 4 y0 即点m的坐标为 aob的内部区域可表示为不等式组经检验 点m的坐标满足上述不等式组 所以 在 abo内存在一点m 使fm 平面boe 热点考向二利用空间向量计算空间角命题解读 主要考查以具体几何体为载体 建立恰当的空间直角坐标系 计算或应用异面直线所成角 线面角 二面角的大小 三种题型均有可能出现 命题角度一利用空间向量计算异面直线所成角或线面角 典例2 1 2016 郑州二模 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab bc cc1 2 ac 2 m是ac的中点 则异面直线cb1与c1m所成角的余弦值为 2 2016 全国卷 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad bc ab ad ac 3 pa bc 4 m为线段ad上一点 am 2md n为pc的中点 证明 mn 平面pab 求直线an与平面pmn所成角的正弦值 解题导引 1 以m为原点 ma为x轴 mb为y轴 过m作ac的垂线为z轴 建立空间直角坐标系 利用向量法能求出异面直线cb1与c1m所成角的余弦值 2 利用线面平行的判定定理证明 以a为坐标原点建立空间直角坐标系 利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值 规范解答 1 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab bc cc1 2 ac 2 m是ac的中点 所以bm ac bm 1 以m为原点 ma为x轴 mb为y轴 过m作ac的垂线为z轴 建立空间直角坐标系 则 设异面直线cb1与c1m所成角为 则所以异面直线cb1与c1m所成角的余弦值为答案 2 1 由已知得am ad 2 取bp的中点t 连接at tn 由n为pc中点知tn bc tn bc 2 又ad bc 故tn am tn am 四边形amnt为平行四边形 于是mn at 因为at 平面pab mn 平面pab 所以mn 平面pab 取bc的中点f 连接af 由ab ac得af bc 从而af ad且af 以a为坐标原点 的方向为x轴的正方向 的方向为y轴的正方向 的方向为z轴的正方向 建立空间直角坐标系 由题意可得 所以设n x y z 为平面pmn的法向量 则即 可取所以所以直线an与平面pmn所成角的正弦值为 命题角度二利用空间向量计算二面角 典例3 2016 宜宾二模 如图1 在矩形abcd中 ab bc 4 e是边ad上一点 且ae 3 把 abe沿be翻折 使得点a到a 满足平面a be与平面bcde垂直 如图2 1 若点p在棱a c上 且cp 3pa 求证 dp 平面a be 2 求二面角b a e d的余弦值的大小 解题导引 1 若点p在棱a c上 且cp 3pa 根据线面平行的判定定理即可证明dp 平面a be 2 充分利用题设中垂直关系 建立空间直角坐标系 求出平面的法向量 利用向量法即可求二面角b a e d的余弦值的大小 规范解答 1 在图2中 过p作pq bc交a b于点q 因为cp 3pa 所以因为bc 4 所以pq 1 因为de bc de 1 所以de pq 所以四边形qedp为平行四边形 所以dp eq 因为dp 平面a be eq 平面a be 所以dp 平面a be 2 在图2中 过a 作a f be于点f 因为平面a be 平面bcde 所以a f 平面bcde 因为 ba e 90 a b a e 3 所以 a eb 30 过f作fg de交de的延长线于点g 则如图2 建立空间直角坐标系d xyz d 0 0 0 e 1 0 0 b 4 0 c 0 0 则 设平面a be的法向量n x y z 则即可取n 1 0 设平面a de的法向量m x1 y1 z1 则即可取m 0 2 所以cos 因为二面角b a e d为钝角 所以二面角b a e d的余弦值的大小为 易错警示 解答本题易出现以下四种错误 1 以d以外的点为原点建错系 造成错解 2 以d为原点建立空间直角坐标系 但将相关点的坐标写错 造成结果错误 3 求错法向量 导致所求结果错误 4 不考虑二面角是锐角还是钝角 造成结论错误 母题变式 1 在典例3的条件下求二面角b a e c的大小 解析 设平面a ec的一个法向量为l x2 y2 z2 则有即 取l 1 2 由典例 2 解析知平面a be的法向量为n 1 0 所以cos 0 所以二面角b a e c的大小为90 2 在典例3的条件下 求点b到平面a ec的距离 解析 由典例解析知而由母题变式1的解析知 平面a ec的一个法向量l 1 2 所以点b到平面a ec的距离为 规律方法 1 利用空间向量求空间角的一般步骤 1 建立恰当的空间直角坐标系 2 求出相关点的坐标 写出相关向量的坐标 3 结合公式进行论证 计算 4 转化为几何结论 2 利用空间向量求线线角 线面角的思路 1 异面直线所成的角 可以通过两直线的方向向量的夹角 求得 即cos cos 2 直线与平面所成的角 主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角 求得 即sin cos 3 利用空间向量求二面角的思路二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角 或其补角 或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得 它等于两个法向量的夹角或其补角 4 利用空间向量求点到平面距离的方法如图 设a为平面 内的一点 b为平面 外的一点 n为平面 的法向量 则b到平面 的距离 题组过关 1 2016 晋中一模 如图 在几何体abcdef中 ab cd ad dc cb 1 abc 60 四边形acfe为矩形 fb m n分别为ef ab的中点 1 求证 mn 平面fcb 2 若直线af与平面fcb所成的角为30 求平面mab与平面fcb所成角的余弦值 解析 1 取bc的中点q 连接nq fq 则nq ac nq ac 又mf ac mf ac 所以mf nq mf nq 则四边形mnqf为平行四边形 即mn fq 因为fq 平面fcb mn 平面fcb 所以mn 平面fcb 2 由ab cd ad dc cb 1 abc 60 可得 acb 90 ac bc 1 ab 2 因为四边形acfe为矩形 所以ac fc fc bc c 所以ac 平面fcb 则 afc为直线af与平面fcb所成的角 即 afc 30 所以fc 3 因为fb 所以fc2 bc2 fb2 所以fc bc 则可建立如图所示的空间直角坐标系 所以a 0 0 b 0 1 0 则 设m x y z 为平面mab的法向量 则即取x 2 则m 2 6 1 为平面mab的一个法向量 又n 0 0 为平面fcb的一个法向量 则 则平面mab与平面fcb所成角的余弦值为 2 2016 贵阳一模 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd是菱形 adc 60 平面pcd 平面abcd pc pd cd 2 点m为线段pb上异于p b的点 1 当点m为pb的中点时 求证 pd 平面acm 2 当二面角b ac m的余弦值为时 试确定点m的位置 解析 1 设ac bd的交点为n 连接mn 因为m n分别为bp bd的中点 所以pd mn 又mn 平面acm pd 平面acm 所以pd 平面acm 2 设cd的中点为o 因为pc pd cd 2 平面pcd 平面abcd 所以po 平面abcd 又因为在菱形abcd中 adc 60 所以oa cd 建立以o为坐标原点 oa oc op分别为x y z轴的空间直角坐标系如图 则a 0 0 b 2 0 c 0 1 0 p 0 0 设 0 1 则 设平面acm的法向量为n x y z 由得令x 1 则y z 3 即n 又平面abcd的法向量为m 所以 解得 或 1 舍去 所以点m为线段pb的中点 加固训练 1 2016 石家庄一模 在平面四边形acbd 图 中 abc与 abd均为直角三角形且有公共斜边ab 设ab 2 bad 30 bac 45 将 abc沿ab折起 构成如图 所示的三棱锥c abd 且使c d 1 求证 平面c ab 平面dab 2 求二面角a c d b的余弦值 解析 1 取ab的中点o 连接c o do 在rt acb和rt adb中 ab 2 则c o do 1 又c d 所以c o2 do2 c d2 即c o od 又c o ab 又ab od o ab od 平面abd 所以c o 平面abd 又c o 平面abc 所以平面c ab 平面dab 2 以o为原点 ab oc 所在的直线分别为y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 1 0 b 0 1 0 c 0 0 1 所以设平面ac d的法向量为n1 x1 y1 z1 则即 令z1 1 则y1 1 x1 所以n1 1 1 设平面bc d的法向量为n2 x2 y2 z2 则即 令z2 1 则y2 1 x2 所以n2 所以所以二面角a c d b的余弦值为 2 2016 武汉一模 在三棱锥p abc中 pa pb pc 2 bc 1 ac ac bc 1 求点b到平面pac的距离 2 求异面直线pa与bc所成角的余弦值 解析 1 以c为原点 ca为x轴 cb为y轴 过c作平面abc的垂线为z轴 建立空间直角坐标系 过p作平面abc的垂线pd 交ab于d 由题意知d是ab中点 则a 0 0 b 0 1 0 设平面pac的法向量n x y z 则取y 2 得n 0 2 1 所以点b到平面pac的距离 2 设异面直线pa与bc所成角为 所以异面直线pa与bc所成角的余弦值为 3 2016 衡水一模 如图 在四棱锥p abcd中 ab pa ab cd 且pb bc bd cd 2ab 2 pad 120 e和f分别是棱cd和pc的中点 1 求证 平面bef 平面pcd 2 求直线pd与平面pbc所成的角的正弦值 解析 1 因为bc bd e为cd中点 所以be cd 因为ab cd cd 2ab 所以ab de 且ab de 所以四边形abed是矩形 所以be ad be ad ab ad 因为ab pa 又pa ad a 所以ab 平面pad 所以cd 平面pad 所以cd pd 且cd ad 又因为在平面pcd中 ef pd 所以cd ef 因为ef be e ef 平面bef be 平面bef 又cd be 所以cd 平面bef 因为cd 平面pcd 所以平面bef 平面pcd 2 以a为原点 ab为x轴 ad为y轴 建立空间直角坐标系 因为pb bc bd cd 2ab 2 pad 120 所以pa ad be 则p 0 1 d 0 2 0 设平面pbc的法向量n x y z 则取x 得n 设直线pd与平面pbc所成的角为 所以直线pd与平面pbc所成的角的正弦值为 热点考向三利用空间向量解决探索性问题命题解读 主要考查利用空间向量探索与空间线面垂直 平行或空间三种角大小有关的点所在位置 参数的值的大小问题 一般为解答题的最后一问 典例4 2016 衡阳一模 直三棱柱abc a1b1c1中 aa1 ab ac 1 e f分别是cc1 bc的中点 ae a1b1 d为棱a1b1上的点 1 证明 df ae 2 是否存在一点d 使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为 若存在 说明点d的位置 若不存在 说明理由 题目拆解 解答本题第 2 问 可拆解成两个小题 假设存在 求平面def和平面abc的法向量 解由二面角的余弦值为所构建的方程 确定d点位置 规范解答 1 因为ae a1b1 a1b1 ab 所以ae ab 又因为aa1 ab aa1 ae a 所以ab 平面a1acc1 又因为ac 平面a1acc1 所以ab ac 以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则有a 0 0 0 设d x0 y0 z0 且 0 1 即 x0 y0 z0 1 1 0 0 则d 0 1 所以因为所以所以df ae 2 结论 存在一点d 使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为 理由如下 设平面def的法向量为n x y z 则因为 所以令z 2 1 则n 3 1 2 2 1 由题可知平面abc的法向量m 0 0 1 因为平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为 所以 cos 即解得 或 舍 所以当d为a1b1中点时满足要求 规律方法 利用空间向量求解探索性问题的策略 1 假设题中的数学对象存在 或结论成立 或暂且认可其中的一部分结论 2 在这个前提下进行逻辑推理 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标 或参数 是否有解 是否有规定范围内的解 等 若由此推导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定结论 题组过关 1 2016 淮北一模 已知某几何体直观图和三视图如图所示 其正 主 视图为矩形 侧 左 视图为等腰直角三角形 俯视图为直角梯形 1 求证 bn 平面c1b1n 2 设 为直线c1n与平面cnb1所成的角 求sin 的值 3 设m为ab中点 在bc边上找一点p 使mp 平面cnb1 并求的值 解析 1 因为该几何体的正 主 视图为矩形 侧 左 视图为等腰直角三角形 俯视图为直角梯形 所以ba bc bb1两两垂直 以ba bb1 bc分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则n 2 2 0 b1 0 4 0 c1 0 4 2 c 0 0 2 因为所以bn nb1 bn b1c1且nb1与b1c1相交于点b1 所以bn 平面c1b1n 2 设n2 x y z 为平面ncb1的一个法向量 则取x 1 得n2 1 1 2 因为 2 2 2 所以sin 3 因为m 1 0 0 设p 0 0 a 为bc上一点 则 1 0 a 因为mp 平面cnb1 所以 n2 n2 1 2a 0 解得a 所以当pb 时 mp 平面cnb1 所以 2 2016 石家庄二模 如图所示 已知正三棱柱abc a1b1c1中 ab 2