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桂林电子科技大学信息科技学院毕业设计(论文)课 题： 滤波器设计方法演示系统 院 （系）： 信息与通信学院 专 业： 通信工程 学生姓名： 楼倩倩 学 号： 0851100106 指导教师单位： 信息与通信学院 姓 名： 苏启常 职 称： 讲师 34滤波器设计方法演示系统摘 要几乎在所有的工程技术领域中都会涉及到信号处理问题 ，滤波器作为信号处理的重要组成部分，已发展的相当成熟。本论文首先介绍了滤波器的滤波原理以及模拟滤波器、数字滤波器的设计方法。重点介绍了模拟滤波器的设计和仿真。系统研究了模拟滤波器（包括巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器）的设计原理和方法，并在此基础上论述了模拟滤波器（包括低通、高通、带通、带阻）的设计。在此基础上，用MATLAB虚拟实现模拟滤波器。此设计扩展性好，便于调节滤波器的性能，可以根据不同的要求在MATLAB上加以实现。通过MATLAB的仿真与实现，可以看出传统的模拟滤波器设计方法繁琐且不直观，而MATLAB具有较严谨的科学计算和图形显示这一优点，使设计结果显示的更加直观，而且对滤波器的精度也有了很大的提高，能更好的达到预期效果。同时，又对模拟滤波器低通至高通、带通、带阻的转换进行了理论上的阐述。 关键字： 滤波/模拟滤波器/MATLAB MATLAB BASED DESIGN OF ANALOG FILTERSABSTRACTIn almost all areas of engineering and technology will be related to signal processing, signal processing filter as an important component of the development has reached a mature state. This paper introduces the principle of filter and filter analog filters, digital filter design method. Focuses on the design of analog filters and simulation.Analog filter system (including the Butterworth filter and Chebyshev filter) design principles and methods, and on this basis on the analog filters (including low-pass, high pass, band-pass, band-stop) design. On this basis, the use of virtual realization of analog filters MATLAB. Good scalability of this design, easy to adjust the performance of filters can be based on different requirements to be in the realization of MATLAB.Through the MATLAB simulation and realization of, we can see that the traditional design method of analog filters and do not intuitive red, and MATLAB with more stringent scientific computing and graphical display of the advantages of the design showed that the more intuitive, but also to filter accuracy has been greatly improved to better achieve the desired results. At the same time, low-pass analog filters of high pass, band-pass, band-stop conversion of a theoreticalKEYWORD: Filtering, Analog filters, MATLAB目 录中文摘要I英文摘要II1 滤波器简介11.1 滤波器的工作原理11.1.1 模拟滤波器的工作原理11.1.2 数字滤波器的工作原理21.2 滤波器的基本特性31.2.1 模拟滤波器与数字滤波器的基本特性31.2.2 无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器51.3 滤波器的主要技术指标52 模拟滤波器的设计62.1 模拟滤波器的设计方法72.2 模拟原型滤波器及最小阶数的选择82.2.1 巴特沃斯滤波器及最小阶数的选择82.2.2 切比雪夫滤波器及最小阶数的选择122.2.3 椭圆滤波器及最小阶数的选择172.2.4贝塞尔滤波器183 MATLAB仿真183.1 MATLAB简介183.2 对低通模拟滤波器的仿真203.3 模拟高通滤波器的仿真213.4 模拟带通滤波器的仿真223.5 对带阻模拟滤波器的仿真244 频率转换254.1低通至高通的转换254.2低通至带通的变换264.3低通至带阻的变换285 总结与展望30致 谢31参考文献321 滤波器简介从广义上讲，任何对某些频率（相对于其他频率来说）进行修正的系统称为滤波器。严格地讲，对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率范围内的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。我们知道，无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方法来分析。这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输出数列。1.1 滤波器的工作原理1.1.1 模拟滤波器的工作原理我们知道，模拟滤波器是对模拟信号实行线性滤波的一种线性时不变系统，如图1.1所示。在时域内，它的动态特性可以用系统的单位冲激函数的响应来描述，也就是该滤波系统在任何时刻对输入单位冲激信号=（t）的输出响应。这个函数从时域上反映了该滤波系统的传输特性。对于任意输入信号，系统的输出可以卷积表示： = (1.1)上式表明在对线性滤波器系统进行时域分析时，采用了叠加原理，先将任意输入信号波形分成不同时间的窄脉冲之和，再分别求出各个脉冲通过滤波器之后的响应，并进行线性叠加从而得到总的输出信号。模拟滤波器,H(s)图1.1模拟滤波器原理在频域分析时，线性滤波器的转移函数等于系统的单位冲激函数的响应的拉普拉斯变换： （1.2）很明显，当s=j，上式就是傅立叶变换的表达式，它反映了滤波器的传输特性对各种频率的响应，也就是滤波器的频率响应函数，它决定着滤波特性。当滤波器输入信号与输出信号的拉普拉斯变换，得 （1.3）这表明两信号卷积的变换等于各自变换的乘积。在频谱关系上，一个输入信号的频谱，经过滤波器的作用后，被变换成的频谱。因此，根据不同的滤波要求来选定，就可以得到不同类型的模拟滤波器。还可以看出，滤波器的滤波过程就是完成信号与它的单位冲激函数响应之间的数学卷积运算过程。1.1.2 数字滤波器的工作原理在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图1.2所示。设输入序列为，离散或数字滤波器对单位抽样序列的响应为。因在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用。数字滤波器,H(z)图1.2 数字滤波器原理数字滤波器的序列将是这两个序列的离散卷积，即 （1.4） 同样，两个序列卷积的z变换等于个自z变换的乘积，即 （1.5）用代入上式，其中T为抽样周期，则得到 （1.6）式中和 分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱，而为单位抽样序列响应的频谱。由此可见，输入序列的频谱经过滤波后，变为 ，按照的特点和我们处理信号的目的，选取适当的使的滤波后的符合我们的要求。1.2 滤波器的基本特性1.2.1 模拟滤波器与数字滤波器的基本特性如利用模拟电路直接对模拟信号进行处理则构成模拟滤波器，它是一个连续时间系统。如果利用离散时间系统对数字信号（时间离散、幅度量化的信号）进行滤波则构成数字滤波器。数字滤波器的差分方程表示为： 系统函数表示:数字滤波器的特性通常用其频率响应函数来描述，包括幅度特性和相位特性。按信号通过系统时的特性（主要是幅频特性）来分类：可以有低通、高通、带通和带阻四种基本类型。（1） 低通数字滤波器：图1.3所示|H(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf图1.3 低通数字滤波器的频谱（2） 高通数字滤波器：图1.4所示|H(ej)|c-c-22图1.4 高通数字滤波器的频谱（3） 带通数字滤波器：图1.5所示|H(ej)|2-2-221-1图1.5 带通数字滤波器的频谱（4）带阻数字滤波器：图1.6所示1|H(ej)|2-2-22-1 图1.6 带阻数字滤波器的频谱 其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。1.2.2 无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器按系统冲击响应（或差分方程）可以分成无限冲击响应 IIR和有限冲击响应FIR滤波器两类。这两种滤波器都可以现实各种频率特性要求，但它们在计算流程、具体特性逼近等方面是有差别的。(1) FIR滤波器(非递归型):(2) IIR滤波器（递归型） 还有一些其他的分类方法，例如在特定场合使用的滤波器。1.3 滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益（即通带允许起伏）；最大阻带增益；通带截止频率；阻带截止频率。如图1.7所示dB0dBdB图1.7 滤波器的主要技术指标2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯（Butterworth滤波器.切比雪夫（Chebyshev）滤波器等。这些工作的理论分析和设计方法在20世纪30年代就完成，然而烦琐.冗长的数字计算使它难以付诸实用。直到50年代，由于计算机技术的逐步成熟，求出大量设计参数和图表，这种方法才得到广泛应用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有波动发，可以提高选择性。这样根据具体要求可以选择不同类型的滤波器。模拟滤波器按幅度特征可以分成低通、高通、带通和带阻滤波器。它们的理想幅度特性如图2.1所示，但我们设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器带通带阻图2.1 模拟滤波器理想幅度特性低通高通2.1 模拟滤波器的设计方法利用频率变换设计模拟滤波器的步骤为：（1）给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率或上、下边界频率等。（2）确定滤波器阶数（3）设计模拟低通原型滤波器。（4）按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。模拟低通滤波器的设计指标有，和，其中和分别称为通带截止频率和阻带截止频率。 是通带（=0）中的最大衰减系数，是阻带的最小衰减系数，和一般用dB表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成： （2.1） （2.2）如果=0处幅度已归一化为一，即，和表示为 （2.3） （2.4）以上技术指标用图2.2表示，图中称为3dB 截止频率，因,-20 10.7070图2.2 低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数，希望其幅度平方函数满足给定的指标和，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此 = (2.5)如果能由，求出，那么就可以求出所需的，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。这里要说明的是必须是稳定的。因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的的极点落在右半平面。2.2 模拟原型滤波器及最小阶数的选择2.2.1 巴特沃斯滤波器及最小阶数的选择巴特沃斯滤波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅频特性模平方为 (2.6)式中N是滤波器的阶数。当=0时，；当=时，是3dB截止频率。不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性如图2.3所示，这一幅频特性具有下列特点：（1）最大平坦性：可以证明：在=0点，它的前（2N-1）阶导数都等于0，这表明巴特沃斯滤波器在=0附近一段范围内是非常平直的，它以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器。“最平响应”即由此而来。（2）通带，阻带下降的单调性。这种滤波器具有良好的相频特性。（3）3dB的不变性：随着N的增加，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性，但不管N是多少，幅频特性都通过-3dB点。当时，特性以20NdB/dec速度下降。图2.3 不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性现根据式（2.6）求巴特沃斯滤波器的系统函数Ha（s）。令=s/j，带入式（2.6）对应的极点： (2.7)即为的极点，此极点分布有下列特点：(1)的2N个极点以/N为间隔均匀分布在半径为的圆周上，这个圆称为巴特沃斯圆。(2)所有极点以j轴为对称轴成对称分布，j轴上没有极点。(3)当N为奇数时，有两个极点分布在的实轴上；N为偶函数时，实轴上没有极点。所有复数极点两两呈共轭对称分布。图2.4画出了N=3时的极点分布。全部零点位于s=处。j图2.4 N=3时Ha（s）Ha（-s）极点分布为得到稳定的，取全部左半平面的极点。 （2.8）当N为偶数时 （2.9）当N为奇数时 （2.10）为使用方便把式（2.9）和式（2.10）对进行归一化处理，为此，分子分母各除以，并令，称为归一化复频率：（N为偶数） （2.11） （N为奇数）（2.12）用归一化频率表示的频率特性称为原型滤波特性（即归一化复频率s 的虚部）。对式（2.6）所示的低通巴特沃斯特性用表示得到： （2.13）称为巴特沃斯低通原型滤波器幅频特性。在低通原型滤波频率特性上，截止频率=1。若给出模拟低通滤波器的设计性能指标要求：通带边界频率，阻带边界频率，通带波纹，阻带衰减，要确定butterworth ,，低通滤波器最小阶数N及截止频率。，的意义如图所示。当=时， 即，以截至频率（幅值下降3dB）为1，化为相对为相对的相对频率由上式可写为。同理，当=时， 。由此可见 N应向上取整，再用MATLAB 编程计算滤波器最小阶数N和截止频率。2.2.2 切比雪夫滤波器及最小阶数的选择巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。切比雪夫滤波器的振幅特性就是具有这种等波纹特性。它有两种型式：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的切比雪夫II型滤波器。采用何种型式切比雪夫滤波器取决于实际用途。这种滤波器的幅频特性模平方为： （2.14）式中是决定通带内起伏的等波纹参数，是第一类切比雪夫多项式，定义为：= （2.15）表2.1列出了对应不同阶数N时的切比雪夫多项式。图（2.5）画出了多项式特性曲线，从这组特性曲线可以看出：x1时，在1之间波动；N不论为何值都有=1；当x1，单调上升。此外，切比雪夫多项式满足下列递推公式 N=1，2 （2.16）图2.6（a）是按式（2.14）画出的切比雪夫等波纹滤波器的幅频特性，图2.6（b）是通带内起伏与的关系。切比雪夫滤波器的滤波特性具有下列特点：（1） 所有曲线在=时通过点，因而把定义为切比雪夫滤波器的截止角频率。（2） 在通带内/1，在1和之间变化；在通带外，/1，特性呈单调下降，下降速度为20NdB/dec。（3） N为奇数，=1；N为偶数，=。通带内误差分布是均匀的，实际上这种逼近称为最佳一致逼近。（4） 由于滤波器通带内有起伏，因而使通带内的相频特性也有相应的起伏波动。即相位是非线性的，这给信号传输时带来线性畸变，所以在要求群时延为常数时不宜采用这种滤波器。现根据式（2.14）求切比雪夫滤波器的系统函数。将=带入式（2.14） （2.17）为求极点分布需求解方程： （2.18）表2.1 N=07时切比雪夫多项式TN（x）NTN(x)NTN(x)01231x456711-1-1xT1(x)11-1-1xT2(x)11-1-1xT3(x)11-1-1xT4(x)图2.5 T1T4切比雪夫特性曲线考虑到是复变量，为解出切比雪夫多项式，设：= （2.19）1N=4N=5(a)11o-111-1o0.590.310.950.75(b)图2.6 切比雪夫滤波特性及内波纹关系另把=cos代入式（2.15），并且令此式等于，求解，： （2. 20）解的满足上式的，为 （2.21）把，值代回式（2.19），求的极点值：+ ，k=1,2,，2N (2.22)就是切比雪夫滤波器的极点，给定N，即可求的2N个极点分布。由式（2.22）实部与虚部的正弦和余弦函数平方约束关系可以看出，此极点分布满足椭圆方程，其短轴和长轴分别为 （2.23）图2.7画出了N=3时切比雪夫滤波器的极点分布。abj 图2.7极点所在的椭圆可以和半径为a的圆和半径为b的圆联系起来，这两个圆分别称为巴特沃斯小圆和巴特沃斯大圆。N阶切比雪夫滤波器极点的纵坐标，而横坐标等于N阶巴特沃斯小圆极点的横坐标取左半平面的极点： k=1,2，N （2.24）则切比雪夫滤波器的系统函数： （2.25）其中，常数A=。因而切比雪夫滤波器的系统函数表示为： （2.27）切比雪夫滤波器的截止角频率不是像巴特沃斯滤波器中所规定的（-3dB）处角频率，而是通带边缘的频率。若波纹参数满足，可以求的-3dB处的角频率为 （2.28）将式（2.27）表示的对归一化，得到切比雪夫I型低通原型滤波器的系统函数 （2.29）对不同的N，式（2.29）的分母多项式已制成表格，供设计参考。和butterworth低通模拟滤波器设计一样，若给定性能指标要求：，确定Chebyshev低通模拟滤波器最小阶数N和截止频率（-3dB频率）。2.2.2.1 ChbbyshevI型由式可得 故阶数N可由下式求得 式中，截至频率由上面两式用Matlab 编程计算滤波器最小阶数N和截止频率 2.2.2.2 ChbbyshevII型ChbbyshevII型通带内是平滑的，而阻带具有等波纹起伏特性。因此，在阶数N的计算公式上是相同的，而-3dB截止频率则不同。2.2.3 椭圆滤波器及最小阶数的选择椭圆的模拟低通滤波器圆形的平方幅值响应函数为 式中，为小于1的正书，表示波纹情况；为截止频率；）为椭圆函数，定义为当N为偶数（N=2m）时,当N为奇数（N=2m+1）时, 其中椭圆模拟滤波器特点是：在通带和阻带内均具有等波纹起伏特性。何以上滤波器相比，相同的性能指标所需要的阶数最小。但频率响应应具有明显的非线性。由式滤波器的阶数可由下式确定， ， 式中 由上式计算滤波器的最小阶数N和截止频率。2.2.4贝塞尔滤波器贝塞尔模拟低通滤波器原型的特点是在零频时具有最平坦的群延迟，并在整个通带内延迟几乎不变。在零频时的群延迟为。由于这一特点，贝塞尔模拟滤波器通带内保持信号形状不变。滤波器传递汉书具有下面形式3 MATLAB仿真3.1 MATLAB简介整个MATLAB系统有五个主要部分: MATLAB语言。它是基于矩阵/数组的高级语言，它包括流程控制语句、函数、数据结构和输入/输出等，它还具有面向对象编程的特点。它既适合编写小巧玲珑的程序，也适合于开发复杂的大型应用程序。 MATLAB工作环境。它集成了一系列的工具和应用，方便用户管理环境变量，输入/输出数据，开发、管理、调试用户自己的M-文件以及MATLAB的应用程序。 图形处理。它既包括二维和三维的数据可视化、图像处理、动画等高层指令，也包括低层的绘图指令，允许用户为应用程序设计自己的用户图形界面。 MATLAB数学函数库。它包括数量庞大的计算函数，从简单的基本函数到复杂的矩阵求逆，矩阵的特征值，贝塞尔函数和快速傅里叶变换等。 MATLAB应用程序界面(API)。它是一组动态的库函数，使得用户在自己的C和Fortran程序中可以和MATLAB交互，调用MATLAB的动态链接库作计算。MATLAB语言的特点是:起点高 每个变量代表一个矩阵，它可以有n*m个元素;(2)每个元素都看作复数，这个特点在其它语言中不多见;(3)所有的运算，包括加、减、乘、除、函数运算都对矩阵和复数有效。人机界面适合科技人员 语言规则与科技人员的书写习惯相近，因此易读易写，易于在科技人员之间交流; 矩阵的行数、列数无需定义:若要输入一个矩阵，在用其它语言编程时必须先定义矩阵的阶数，而用MATLAB语言则不必有阶数定义语句，输入数据的行列数就决定了它的阶数; 键入算式立即得到结果，无需编译:MATLAB是以解释方式工作的，即它对每条语句解释后立即执行。若有错误也立即作出反应，便于编程者马上改正。这些都大大减轻了编程和调试的工作量。强大面简易的作图功能能根据输入数据自动确定绘图坐标;能绘制三维坐标中的曲线和曲面;可设置不同颜色、线型、视角等;如果数据齐全，一条命令即可画出图来。智能化程度高、功能丰富、可扩展性强绘图时自动选择最佳坐标以及按输入或输出变元数自动选择算法等;做数值积分时自动按精度选择步长;自动检测和显示程序错误的能力强，易于调试。MATLAB软件包括基本部分和专业扩展部分。基本部分包括:矩阵的运算和各种变换、代数和超越方程的求解、数据处理和傅里叶变换、数值积分等等.专业扩展部分称为工具箱.它实际上是用MATLAB的基本语句编成的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。易扩展性是MATLAB最重要的特点，每一个MATLAB用户都可以成为对其有贡献的人。在MATLAB的发展过程中，许多科学家、数学家、工程技术人员用它开发出了一些新的、有价值的应用程序，所有的程序完全不需要使用低层代码来编写。通过这些工作，已经发展起来的工具箱有控制系统、信号处理、图像处理、系统辨识、模糊集合、神经元网络、小波分析等20余个。如果使用MATLAB来开发光学方面的应用程序，在不久的将来，也可能出现专门用来解决光学问题的工具箱。3.2 对低通模拟滤波器的仿真第三章所讨论的设计思想，在MATLAB对模拟滤波器进行仿真的过程中依然适用，其具体步骤总结如下：（1） 确定模拟滤波器的性能指标，如截止频率（对于低通和高通）或上、下边界频率,；波纹特性；带阻衰减等。（2） 确定滤波器阶数。（3） 计模拟低通滤波原型滤波器。MATLAB信号处理工具箱的滤波器原型函数buttap,cheb1ap。（4） 按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。MATLAB信号处理工具箱的频率变换函数lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs。但是，按照这种设计思想的编程较为麻烦。MATLAB信号处理工具箱还提供模拟滤波器的完全设计函数：butter,cheby1等。用户只需调用一次设计函数就可自动完成全部设计过程，编程十分简单。下面将以模拟低通Butterworth滤波器的设计为例，解释这种设计方法。设计指标：通带截止频率=200，阻带截止频率=300，通带衰减=1dB，阻带衰减=16dB。仿真结果见图3.1%Matlab program2.1%Design a buttworth analog lowpass filterws=300*pi;wp=200*pi;Rp=1;Rs=16;%compute oder and cuttoff frequency N,Wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s) Fc=Wn/(2*pi) b,a=butter(N,Wn,s); %outputw=linspace(1,3000,1000)*2*pi; H=freqs(b,a,w); magH=abs(H); phaH=unwrap(angle(H); plot(w/(2*pi),20*log10(magH); xlabel(Frequency(Hz); ylabel(Magnidute(dB); grid onN = 7Wn =725.7292Fc =115.5034图3.1 模拟低通滤波器仿真图3.1 模拟低通滤波器仿真3.3 模拟高通滤波器的仿真函数cheby1用于chebyshev I 型模拟滤波器的设计。调用格式为：b,a=cheby1(n,) b,a=cheby1(n,) 其中，为通带波纹（dB）, 为滤波器截止频率，s为模拟滤波器，确省时为数字滤波器。本例给出利用chebyshev函数设计模拟高通的设计方法：技术指标：通带截止频率=1500Hz，阻带截止频率=1000Hz，通带衰减=1dB，阻带衰减=20dB。仿真结果见图3.2ws=1000*pi; wp=150000*pi; Rp=1; Rs=20; N,Wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=cheby1(N,Rp,Wn,high,s);w=linspace(1,3000,1000)*2*pi;H=freqs(b,a,w);magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H);plot(w/(2*pi),20*log10(magH);xlabel(Frequency(Hz);ylabel(Magnidute(dB);grid onN =1Wn = 4.7124e+005图3.2 模拟高通滤波器仿真3.4 模拟带通滤波器的仿真函数BUTTER用于Butterworth滤波器设计，调用格式： b,a=butter(n,s) b,a=butter(n, ,ftype,s) 其中，n为滤波器阶数；为滤波器截止频率，s为模拟滤波器，确省时为数字滤波器。 ftype滤波器类型： high为高通滤波器，截止频率； stop为带阻滤波器，=（）； ftype缺省时为低通或带通滤波器。以下设计一个Butterworth模拟带通滤波器，设计指标为：逼近频率10002000Hz,两侧过渡带宽500Hz，通带衰减1dB，阻带衰减大于100dB。结果见图3.3。%Matlab program4.1%Design a butterworth analog bandpass filterWp=1000 2000*2*pi; Ws=500 2500*2*pi; Rp=1; Rs=100; N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); N =23Wn =1.0e+004 *0.6220 1.2695图3.3 模拟带通滤波器仿真3.5 对带阻模拟滤波器的仿真这里设计一个chebyshev I 型模拟带阻滤波器，设计指标为：阻带频率1000Hz2000Hz，两侧过渡带宽500Hz，通带衰减1dB，阻带衰减大于50dB。仿真结果见图3.4。%Matlab program5.1%Design a chebyshev I analog bandstop filterws=1000 2000*2*pi; wp=500 2500*2*pi; Rp=1; Rs=50; %compute oder and cuttoff frequencyN,Wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,s) b,a=cheby1(N,Rp,Wn,stop,s); %outputw=linspace(1,3000,1000)*2*pi; H=freqs(b,a,w); magH=abs(H); phaH=unwrap(angle(H); plot(w/(2*pi),20*log10(magH); xlabel(Frequency(Hz); ylabel(Magnidute(dB); grid on图3.4 模拟带阻滤波器仿真4 频率转换上述模拟滤波器的设计，只是讨论了低通滤波器的设计问题，高通、带通、带阻滤波器可以通过对滤波器特性的频率变换，转换成低通滤波器的设计。这种频率变换的方法又称原型变换，变换得到的低通滤波器称为低通原型滤波器。频率变换是指低通原型传递函数与其他类型（高通、带通、带阻）滤波器传递函数中频率之间的转换关系。具体做法是：先根据对高通、带通、带阻等滤波器特性指标要求，导出相应的低通原型的指标来，确定低通原型的，再根据一定变换关系得出高通、带通、带阻滤波器的。4.1低通至高通的转换设低通滤波器传递函数为，角频率为，截止频率为；高通滤波器传递函数为，角频率，通带始点角频率为。设有如下的变换关系 （4.1）而，有 （4.2）上市表明：S平面中的虚轴正好映射到P平面的虚轴上，其频率变换关系为 （4.3）与之间存在 ， ， ， 相应的关系可表示成如图4.1所示的曲线0图4.1 通至高通的频率变换系 根据上述的频率变换，将高通滤波器的特性指标：高通通带始点频率，阻带始点频率，分别代入式（4.3）中，求出低通原型的通带截止频率，阻带始点频率；而高通的通带衰减及阻带衰减即为对低通原型通带与阻带的要求。根据、和确定低通原型传递函数，即可求出高通传递函数为 4.2低通至带通的变换设低通原型的传递函数为，角频率为，截止角频率为；带通通带中心频率为，带通滤波器的传递函数为，角频率与为通带的上、下边界频率，通带带宽B=。低通原型与带通传递函数的变换关系为 （4.4）而，有 （4.5） 说明S平面中的虚轴证号映射到P平面的虚轴上，并有下列频率变换关系存在 （4.6）其频率变换关系曲线如图4.2所示，由上式曲线应对称于原点，图中只给出了的部分。图4.2 低通至带通的频率变换关系由式（4.6）和图4.2，有 显然，变换的结果是：把低通原型由直流至截止频率通带范围内的频率特性平移至带通滤波器的之间；而由直流至截止频率通带范围内的频率特性平移至带通滤波器的之间。由于与变换是非线性的，因此。由图4.2和式（4.6）可见，低通原型与带通之间的频率变换有如下关系： 解上述方程，可得 （4.7） （4.8）上两式表明：带通滤波器的中心频率是其上、下边界频率的几何平均值，宽带与低通原型的通带宽度相等。利用频率变换方法求解带通传递函数的具体思路是：由给定带通指标：通带宽度B、带通通带中心频率、通带衰减、阻带始点频率与、阻带衰减等，求出低通原型指标及阻带始点频率；然后按低通原型指标确定低通原型传递函数；再代入（4.4）可以得到带通传递函数为 实际上，也可以讲一个低通滤波器与一个高通滤波器相联接，只要低通滤波器的截止频率大于高通滤波器的截止频率即可，如图4.3所示。0 0 0 低通高通图4.3 低通与高通相联接组成带通滤波器原理4.3低通至带阻的变换变换的方法与上述两种滤波器相似，尤其与带通滤波器的变换类似。若低通原型的传递函数是，带阻滤波器的传递函数是，两者之间有以下的变换关系： （4.9）式中的为阻带的中心频率，代入，有 可得到低通原型与带阻滤波器之间的频率转换关系为