【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习 正弦定理和余弦定理学案 理 新人教A版.doc

第五章 解三角形与平面向量正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题自主梳理1三角形的有关性质(1)在abc中，abc_；(2)ab_c，abbsin a_sin ba_b；(4)三角形面积公式：sabcahabsin cacsin b_；(5)在三角形中有：sin 2asin 2bab或_三角形为等腰或直角三角形；sin(ab)sin c，sin cos .2正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2ra2_，b2_，c2_.变形形式a_，b_，c_；sin a_，sin b_，sin c_；abc_；cos a_；cos b_；cos c_.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测1(2010上海)若abc的三个内角满足sin asin bsin c51113，则abc()a一定是锐角三角形b一定是直角三角形c一定是钝角三角形d可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2(2010天津)在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin c2sin b，则a等于 ()a30b60c120d1503(2011烟台模拟)在abc中，a60，b1，abc的面积为，则边a的值为()a2b.c.d34(2010山东)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sin bcos b，则角a的大小为_5(2010北京)在abc中，若b1，c，c，则a_.探究点一正弦定理的应用例1(1)在abc中，a，b，b45，求角a、c和边c；(2)在abc中，a8，b60，c75，求边b和c.变式迁移1(1)在abc中，若tan a，c150，bc1，则ab_；(2)在abc中，若a50，b25，a45，则b_.探究点二余弦定理的应用例2(2011咸宁月考)已知a、b、c分别是abc中角a、b、c的对边，且a2c2b2ac.(1)求角b的大小；(2)若c3a，求tan a的值变式迁移2在abc中，a、b、c分别为a、b、c的对边，b，b，ac4，求a.探究点三正、余弦定理的综合应用例3在abc中，a、b、c分别表示三个内角a、b、c的对边，如果(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，试判断该三角形的形状变式迁移3(2010天津)在abc中，.(1)证明：bc；(2)若cos a，求sin的值1解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍3在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2010湖北)在abc中，a15，b10，a60，则cos b等于 ()ab.cd.2.在abc中ab3，ac=2，bc=，则等于 ()abc.d.3在abc中，sin2(a，b，c分别为角a，b，c的对边)，则abc的形状为()a正三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰三角形4(2011聊城模拟)在abc中，若a60，bc4，ac4，则角b的大小为()a30b45c135d45或1355(2010湖南)在abc中，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，若c120，ca，则 ()aabba(3)(4)bcsin a(5)ab2.b2c22bccos aa2c22accos ba2b22abcos c2rsin a2rsin b2rsin csin asin bsin c自我检测1c2.a3.c4.5.1课堂活动区例1解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体判断方法如下：在abc中已知a、b和a，求b.若a为锐角，当ab时，有一解；当absin a时，有一解；当bsin aab时，有两解；当ab时，有一解；当ab时，无解解(1)由正弦定理得，sin a.ab，ab，a60或a120.当a60时，c180456075，c；当a120时，c1804512015，c.综上，a60，c75，c，或a120，c15，c.(2)b60，c75，a45.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.变式迁移1(1)(2)60或120解析(1)在abc中，tan a，c150，a为锐角，sin a.又bc1.根据正弦定理得ab.(2)由ba，得ba，由，得sin b，0b180b60或b120.例2解(1)a2c2b2ac，cos b.0b，b.(2)方法一将c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos a.0aa，ba，cos a.tan a.方法三c3a，由正弦定理，得sin c3sin a.b，c(ab)a，sin(a)3sin a，sincos acossin a3sin a，cos asin a3sin a，5sin acos a，tan a.变式迁移2解由余弦定理得，b2a2c22accos ba2c22accosa2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3，联立，解得a1，c3，或a3，c1.a等于1或3.例3解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解方法一(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)a2sin(ab)sin(ab)b2sin(ab)sin(ab)，2a2cos asin b2b2cos bsin a，由正弦定理，得sin2acos asin bsin2bcos bsin a，sin asin b(sin acos asin bcos b)0，sin 2asin 2b，由02a2，02b2，得2a2b或2a2b，即abc是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一可得2a2cos asin b2b2cos bsin a，由正、余弦定理，即得a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形为等腰三角形或直角三角形变式迁移3解题导引在正弦定理2r中，2r是指什么？a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c的作用是什么？(1)证明在abc中，由正弦定理及已知得.于是sin bcos ccos bsin c0，即sin(bc)0.因为bc，从而bc0.所以bc.(2)解由abc和(1)得a2b，故cos 2bcos(2b)cos a.又02b，于是sin 2b.从而sin 4b2sin 2bcos 2b，cos 4bcos22bsin22b.所以sinsin 4bcos cos 4bsin .课后练习区1d2.d3.b4.b5.a6等边三角形解析b2a2c22accos b，aca2c2ac，(ac)20，ac，又b60，abc为等边三角形71解析由ac2b及abc180知，b60.由正弦定理知，即sin a.由ab知，ab，a30，c180ab180306090，sin csin 901.8.解析设bad，dac，则tan ，tan ，tanbactan()1.bac为锐角，bac的大小为.9解(1)因为cos，所以cos a2cos21，sin a.(4分)又由3得bccos a3，所以bc5，因此sabcbcsin a2.(8分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos a(bc)2bc20，所以a2.(12分)10解在