【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题5 解三角形》热点考题 苏教版.doc

必考问题5解三角形【真题体验】1(2012南京、盐城模拟)在abc中，已知sin asin bsin c234，则cos c_.解析因为sin asin bsin c234，由正弦定理可得abc234，不妨设a2k，b3k，c4k(k0)，则由余弦定理可得cos c.答案2(2010江苏，13)在锐角三角形abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，6cos c，则_.解析6cos c6abcos ca2b2,6aba2b2，a2b2.由正弦定理得：上式4.答案43(2011江苏，15)在abc中，角a、b、c所对应的边为a，b，c.(1)若sin2cos a，求a的值；(2)若cos a，b3c，求sin c的值解(1)sin2cos a，sin acos a，cos a，又a(0，)a.(2)cos a，b3c，a2b2c22bccos a8c2，a2c.由正弦定理得：，而sin a，sin c.(也可以先推出直角三角形)【高考定位】高考对本内容的考查主要有：正弦定理、余弦定理及其应用，要求是b级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题试题类型可能是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题【应对策略】解三角形是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是与三角函数的综合更加是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题需要熟练掌握三角形中的基本定理及其变形，以及正、余弦定理与三角函数的结合问题必备知识1正弦定理及其变形2r(2r为abc外接圆的直径)变形：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.sin a，sin b，sin c.abcsin asin bsin c.2余弦定理及其推论a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c.推论：cos a，cos b，cos c.3面积公式sabcbcsin aacsin babsin c.4三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：abc.(2)abcabcsin asin bsin c.(3)abcos cccos b.必备方法1三角形中的三角函数是三角函数图象和性质的一个重要方面的应用，解决的关键是要善于应用诱导公式、同角三角函数的基本关系等三角函数基础知识对三角函数解析式进行化简、变形，同时要注意有关角的范围限制2正弦定理的应用：(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角3利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角命题角度一正、余弦定理与三角函数的结合问题命题要点 正、余弦定理与三角函数结合命题是高考的一个方面，往往以三角函数为载体考查解三角形知识【例1】 (2012天一、淮阴、海门中学联考)已知函数f(x)sin 2xcos2x，xr.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设abc的内角a、b、c的对边分别为a，b，c，且c，f(c)0，若sin b2sin a，求a，b的值审题视点 听课记录审题视点 (1)将原函数解析式通过恒等变换化简成yasin(x)形解决；(2)通过正、余弦定理的结合解题解(1)f(x)sin 2xsin1，则f(x)的最小值是2，最小正周期是t.(2)f(c)sin10，则sin1，0c，2c，2c，c，sin b2sin a，由正弦定理，得，由余弦定理，得c2a2b22abcos，即a2b2ab3，由解得a1，b2. 对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化，如果边是二次式，一般用余弦定理【突破训练1】 (2012苏州调研)在abc中，已知角a，b，c的对边分别为a，b，c，且.(1)求a；(2)若f(x)cos2(xa)sin2(xa)，求f(x)的单调递增区间解(1)由，得.a2b2c2bc.由余弦定理，得cos a.0a，a.(2)f(x)cos2(xa)sin2(xa)cos2sin2cos 2x.令2k2x2k(kz)，得kxk(kz)，f(x)的单调递增区间为k，k(kz)命题角度二正、余弦定理与三角形面积的结合问题命题要点 根据条件求面积大小、最值或范围；已知三角形面积，求其它元素【例2】 (2012南通调研)在abc中，a、b、c所对的边分别是a、b、c，bcos b是acos c，ccos a的等差中项(1)求b的大小；(2)若ac，b2，求abc的面积审题视点 听课记录审题视点 由已知条件结合三角恒等变换，正、余弦定理及三角形的面积公式解决解(1)由题意，得acos cccos a2bcos b.由正弦定理，得sin acos ccos asin c2sin bcos b，即sin(ac)2sin bcos b.acb,0b，sin(ac)sin b0.cos b，b.(2)由b，得cos b，即，ac2.sabcacsin b. 三角形中的面积公式一般与正弦定理、余弦定理的应用有密切关系，而在解决问题时又要充分应用三角恒等变换公式三角恒等变换公式是解决三角函数类问题、三角形问题的工具，在复习时要注意这个特点【突破训练2】 在abc中，角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，已知sin a.(1)若a2c2b2mbc，求实数m的值；(2)若a，求abc面积的最大值解(1)sin a，2sin2a3cos a，即2cos2a3cos a20，解得cos a或2(舍去)，又0a，a.由余弦定理，知b2c2a22bccos a.又a2c2b2mbc，可得cos a，m1.(2)由余弦定理及a，a，可得3b2c2bc，再由基本不等式b2c22bc，bc3，sabcbcsin abcsin bc，故abc面积的最大值为.命题角度三解三角形在实际问题中的应用命题要点 应用正弦定理、余弦定理求距离或航行方向；与三角函数综合考查，求解最值等实际问题【例3】 (2012南师附中模拟)如图，现有一个以aob为圆心角，湖岸oa与ob为半径的扇形湖面aob.现欲在弧ab上取不同于a、b的点c，用渔网沿着弧ac(弧ac在扇形aob的弧ab上)，半径oc和线段cd(其中cdoa)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域和养殖区域.若oa1 km，aob，aoc.(1)用表示cd的长度；(2)求所需渔网长度(即图中弧ac、半径oc和线段cd长度之和)的取值范围审题视点 听课记录审题视点 (1)在ocd中利用正弦定理解三角形求得cd；(2)建立函数f()的关系式，求导解得解(1)由cdoa，aob，aoc，得ocd，odc，cod.在ocd中，由正弦定理，得cdsin，；(2)设渔网的长度为f()由(1)可知，f()1sin.所以f()1cos，因为，所以，令f()0，得cos，所以，所以.当变化时，f()，f()的变化状态如下表：f()0f()极大值所以f().故所需渔网长度的取值范围是. 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案【突破训练3】 (2012南京模拟)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边bc，cd用一根5米长的材料弯折而成，边ba，ad用一根9米长的材料弯折而成，要求a和c互补，且abbc，(1)设abx米，cos af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围(2)求四边形abcd面积的最大值解(1)在abd中，由余弦定理得bd2ab2ad22abadcos a.同理，在cbd中，bd2cb2cd22cbcdcos c.因为a和c互补，所以ab2ad22abadcos acb2cd22cbcdcos ccb2cd22cbcdcos a.即x2(9x)22x(9x)cos ax2(5x)22x(5x)cos a.解得cos a，即f(x).其中x(2,5)(2)四边形abcd的面积s(abadcbcd)sin ax(5x)x(9x).x(7x) .记g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，解得x4(x7和x舍)所以函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减因此g(x)的最大值为g(4)129108.所以s的最大值为6.故所求四边形abcd面积的最大值为6 m2.5做到考虑问题要全面，审题要注重细节一、考虑问题不全面，造成漏解【例1】 在abc中，若a，b，a30，则边c_.解析由正弦定理得，解得sin b，所以b或，当b时，c2；当b时，c.答案2或老师叮咛：由角的正弦值求角的大小时，要注意解的个数，防止漏解，如本题由sin b 求得b时，很容易由于考虑问题不全面而漏解.二、对题中条件不能充分应用使范围扩大【例2】 在锐角abc中，若c2b，则的取值范围是_解析由正弦定理得2cos b，a(bc)3b，因为abc是锐角三角形，所以0a且0b且0c，即03b且0b且02b，解得b，所以2cos b，即的取值范围是(，)答案(，)老师叮咛：对“锐角三角形”的概念要充分应用，必须三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，所以要将a、c是锐角的条件转移到b上，如果只考虑b是锐角，会出现下面的解法：由正弦定理得2cos b，b，2cos b(0,2)，这样就扩大了取值范围而出错.必考问题6平面向量【真题体验】1(2011江苏，10)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则k的值为_解析因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1e2cose1，e2cos，又ab0，所以(e12e2)(ke1e2)0，即k2(2k)0，解得k.答案2(2012江苏，9)如图，在矩形abcd中，ab，bc2，点e为bc的中点，点f在边cd上，若，则的值是_解析以顶点a为坐标原点，ab、ad所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则a(0,0)，b(，0)，e(，1)，设f(x,2)，所以(，0)(x,2)xx1，即f(1,2)，所以(，1)(1，2)(1)2.答案3(2010江苏，15)在平面直角坐标系xoy中，点a(1，2)，b(2,3)，c(2，1)(1)求以线段ab，ac为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解(1)法一由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.法二设该平行四边形的第四个顶点为d，两条对角线的交点为e，则e为b，c的中点，e(0,1)，又e(0,1)为a，d的中点，所以d(1,4)故所求的两条对角线的长分别为bc4，ad2；(2)由题设知：(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得：(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.或者：t2，(3,5)，t.【高考定位】高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为b级，只有平面向量的应用为a级要求，平面向量的数量积为c级要求，应特别重视试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题【应对策略】平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是中学数学知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何都可以整合在一起这其中又以向量与三角函数的综合问题为高考中最常见，是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则常是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点在复习中，我们应加强这种类型试题的训练，争取此类问题拿满分.必备知识1向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做b在向量a方向上的投影2向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律ab的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即ab|a|b|cosa，b3两非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ababx1y2x2y10；abab0x1x2y1y20.必备方法1当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量(其中o为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立3两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.命题角度一平面向量的线性运算命题要点 用已知向量表示其它向量；向量的加法、减法、数乘运算【例1】 (2012大纲全国改编)abc中，ab边的高为cd，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则_.审题视点 听课记录审题视点 由ab0，可得acb90，再利用直角三角形中的有关性质建立关系式求解解析如图，ab0，ab，acb90，ab.又cdab，ac2adab，ad.(ab)ab.答案ab 在进行向量线性运算时要尽可能地挖掘题中的条件，利用相关图形的性质解题，把未知量转化成与已知量有直接关系的向量来求解【突破训练1】 (2012扬州质量检测)已知g1，g2分别为a1b1c1与a2b2c2的重心，且e1，e2，e3，则_.(用e1，e2，e3表示)解析根据向量的线性运算求解由e1，e2，e3，且g1，g2分别为a1b1c1与a2b2c2的重心，所以0，0，将相加得(e1e2e3)答案(e1e2e3)命题角度二向量共线定理的应用命题要点 应用向量共线定理求字母的取值；向量共线定理与其他知识的综合应用【例2】 (2012南通调研)在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，且3a4b5c0，则abc_.审题视点 听课记录审题视点 利用向量的线性运算及向量的共线定理求解解析因为，所以原式可以变形为(3a4b)(3a5c)0，且，不共线，所以3a4b5c，解得abc201512.答案201512 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数【突破训练2】 (2012徐州质检)已知向量a(sin ，cos )，b(3，4)，若ab，则tan 2_.解析由ab可得4sin 3cos 0，解得tan ，所以tan 2.答案命题角度三平面向量的数量积命题要点 数量积的定义；利用数量积求夹角；数量积与线性运算的综合应用【例3】 如图，abc是边长为2的等边三角形，p是以c为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则()min_.审题视点 听课记录审题视点 根据已知条件及向量运算化简目标函数，再求最小值解析取ab的中点d，连接cd、cp.所以()()()2(2)22176cos，当cos，1时，取得最小值1.答案1 求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值【突破训练3】 (2012苏州期中)已知o，a，b是平面上不共线的三点，设p为线段ab垂直平分线上任意一点，若|7，|5，则()的值为_解析设ab的中点为c，则()()()()(|2|2)(2549)12.答案12命题角度四向量与其他知识的综合应用命题要点 向量与三角