山东省济宁市梁山一中高中数学《4.2.3直线与圆的方程的应用》学案 新人教A版必修2.doc

4.2.3 直线与圆的方程的应用学案一学习目标：能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.二重点、难点：重点：难点：三知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题四自主探究：（一）例题精讲：【例1】有一种大型商品，a、b两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，a地的运费是b地运费的3倍已知a、b两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低，求a、b两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地解：建立使a(5，0)、b(5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是a元. 若在a地购货费用较低，则：价格a地运费价格b地运费即 .a0， 8x28y2100x200y0.得(x)2y2()2 .两地购物区域的分界线是以点c(，0)为圆心，为半径的圆. 所以，在圆c内的居民从a地购物便宜，圆c外的居民从b地购物便宜，圆c上的居民从a、b两地购物总费用相等【例2】自点a(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆相切, 求光线l所在的直线方程.解：由已知可得圆c：关于x轴对称的圆c的方程为，其圆心c（2，-2），易知l与圆c相切. 设l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或.所以，所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.点评：关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组思想，通过“”求切线方程也可, 但过程要复杂些. m(x,y)q(4,0)oxyp【例3】实数满足， 求下列各式的最大值和最小值：（1）；（2）.解：原方程为，表示以为圆心，2为半径的圆. （1）设，几何意义是：圆上点与点连线的斜率. 由图可知当直线mq是圆的切线时，取最大值与最小值。 设切线，即. 圆心p到切线的距离，化简为，解得或. 的最大值为0,最小值为.（2）设，几何意义是：直线与圆有公共点. 圆心p到直线的距离2，解得. 的最大值为，最小值为.点评：代数式最大值最小值的研究，常用数形结合思想方法，将要研究的代数问题转化为几何问题，关键是如何挖掘代数式的特点，利用几何意义进行转化。例如，由代数式联想到两点的距离公式，或圆的方程；由代数式联想到两点的斜率，或直线的方程；由代数式联想到直线的方程；由代数式联想到数轴上到两点的距离之和，等等。五目标检测（一）基础达标1实数x，y满足方程，则的最小值为（ ）. a. 4 b. 6 c. 8 d. 122若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点p(a,b)的位置是（ ）. a.在圆上b.在圆外 c.在圆内d.都有可能3如果实数满足，则的最大值为（ ）. a. b. c. d. 4一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（ ）. a. 1.4米 b. 3.0米 c. 3.6米 d. 4.5米5（2000全国）过原点的直线与圆x2y24x30相切，若切点在第三象限，则该直线方程是（ ）. a. y=x b. y=x c. y=x d. y=x6（04年全国卷. 文15理14）由动点p向圆引两条切线pa、pb，切点分别为a、b， apb=60，则动点p的轨迹方程为 . 7已知直线与曲线有两个公共点，则c的取值范围 .（二）能力提高8已知实数满足，求的值域.9在直径为ab的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为ab，顶点c在半圆上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于abc的矩形水池defn，其中，de在ab上，如图的设计方案是使ac8， bc6. （1）求 abc中 ab边上的高 h；（2）设dnx，当x取何值时，水池defn的面积最大？（3）实际施工时，发现在ab上距b点1.85的m处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树 （三）探究创新10船行前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9