【导与练】高考数学 试题汇编 第四节 不等式选讲(选修45) 理（含解析）.doc

第四节不等式选讲(选修45) 绝对值不等式考向聚焦绝对值不等式的解法和性质运用是高考考查的一个重点.以绝对值不等式为载体,求参数的取值范围也是常见的考查题型,如恒成立问题、存在性问题等.多以填空题和解答题的形式出现,中等难度,分值510分备考指津含有绝对值不等式的问题主要包括两类:一类是解不等式,另一类是以绝对值不等式为载体求参数的取值范围,解答这两类问题的关键是去掉绝对值符号.(1)依据绝对值的意义;(2)先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值1.(2011年山东卷,理4)不等式|x-5|+|x+3|10的解集是()(a)-5,7(b)-4,6(c)(-,-57,+)(d)(-,-46,+)解析:法一:当x-3时,|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x10,x-4.当-3x5时,|x-5|+|x+3|=5-x+x+3=810,不合题意,无解.当x5时,|x-5|+|x+3|=x-5+x+3=2x-210,x6.综上可知,不等式的解集为(-,-46,+),故选d.法二:由绝对值几何意义知,在数轴上-3、5两点距离为8,|x-5|+|x+3|表示到-3、5距离和,当点取-4或6时到-3、5距离和均为10,两点之外都大于10,故x-4或x6,解集为(-,-46,+).答案:d.2.(2012年江西卷,理15(2),5分)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|6的解集为.解析:本题考查双绝对值不等式的解法,以及不等式等价变形的数学能力、分类讨论的数学思想.原不等式可化为x-121-2x-2x-16,或-12x122x-1-2x-16或x122x-1+2x+16.解得-32x32,即原不等式的解集为xr|-32x32.答案:xr|-32x323.(2012年山东卷,理13,4分)若不等式|kx-4|2的解集为x|1x3,则实数k=.解析:本小题主要考查绝对值不等式的解法.由|kx-4|2可知,-2kx-42,2kx6,解集为x|1x3,k=2.答案:24.(2012年广东卷,理9,5分)不等式|x+2|-|x|1的解集为.解析:法一:当x-2时,-(x+2)-(-x)1,-21,x-2.当-2x0时,(x+2)-(-x)1,2x+21,-20时,(x+2)-x1,21不成立, .综上知原不等式的解集为:x|x-12.法二:由绝对值的几何意义,点x到-2的距离减去点x到0的距离小于等于1,如图答案:x|x-125.(2012年湖南卷,理10,5分)不等式|2x+1|-2|x-1|0的解集为.解析:不等式|2x+1|-2|x-1|0可化为下面的三个不等式组x-12,-(2x+1)+2(x-1)0或-12x0或x12x+1-2(x-1)0解得x14,所以原不等式的解集为x|x14.答案:x|x146.(2012年陕西卷,理15a,5分)若存在实数x使|x-a|+|x-1|3成立,则实数a的取值范围是.解析:若存在xr,使|x-a|+|x-1|3成立,等价于:3(|x-a|+|x-1|)min|x-a|+|x-1|(x-a)-(x-1)|=|1-a|,|1-a|3,-31-a3,-4-a2,-2a4.答案:-2a47.(2011年天津卷,理13)已知集合a=xr|x+3|+|x-4|9,b=xr|x=4t+1t-6,t(0,+),则集合ab=.解析:|x+3|+|x-4|为数轴上的点x到-3及4的距离之和.且-4,5到-3,4的距离之和均为9,所以|x+3|+|x-4|9的解集为-4x5,即a集合为x|-4x5.又当t(0,+)时,x=4t+1t-624t1t-6=-2,当且仅当4t=1t.即t=12取“=”,所以b集合为x|x-2,所以ab=x|-4x5x|x-2=x|-2x5.答案:x|-2x58.(2011年陕西卷,理15a.)若关于x的不等式|a|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是.解析:由绝对值的几何意义,在数轴上坐标为x的点到-1的距离与它到2的距离和的最小值为3.即|x+1|+|x-2|3,要使原不等式存在实数解,只需|a|3a-3或a3.答案:(-,-33,+)9.(2011年江西卷,理15(2)对于实数x,y,若|x-1|1,|y-2|1,则|x-2y+1|的最大值为.解析:由|x-1|1|y-2|1-1x-11-1y-210x21y3不等式组对应的区域如图所示:要求|x-2y+1|的最值,令z=x-2y+1,则y=x2+12-z2,要求z的范围,即求直线在y轴上截距的取值范围.由图知,当过a(2,1)有最大值为z=1,当过b(0,3)时有最小值为z=-5,即z-5,1.|z|=|x-2y+1|的最大值为5.答案:510.(2012年新课标全国卷,理24,10分)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)|x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围.解:(1)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x21,2x32x-5,x3当x2时,由f(x)3得x1,此时x1当2x0时,-4ax2a,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f(x2),则h(x)=1,x-1-4x-3,-1x-12,-1,x-12.所以|h(x)|1,因此k1.12.(2012年浙江自选模块,03,10分)已知ar,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|2x+4的解集为a.(1)若a=1,求a;(2)若a=r,求a的取值范围.解:(1)当x-3时,原不等式化为-3x-22x+4,得x-3.当-3x12时,原不等式化为4-x2x+4,得-312时,原不等式化为3x+22x+4,得x2.综上,a=x|x0或x2.(2)当x-2时,|2x-a|+|x+3|02x+4成立.当x-2时,|2x-a|+x+3=|2x-a|+|x+3|2x+4.得xa+1或xa-13,所以a+1-2或a+1a-13,得a-2综上,a的取值范围为a-2.13.(2011年江苏卷,21d.)解不等式x+|2x-1|3.解:原不等式可化为2x-10,x+(2x-1)3;或2x-10,x-(2x-1)3.解得12x43或-2x12.所以原不等式的解集是x|-2x43.14.(2011年辽宁卷,理24)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3f(x)3;(2)求不等式f(x)x2-8x+15的解集.(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=-3,x2,2x-7,2x5,3,x5.当2x5时,-32x-73.所以-3f(x)3.(2)解:由(1)可知,当x2时,f(x)x2-8x+15的解集为空集;当2x5时,f(x)x2-8x+15的解集为x|5-3x5;当x5时,f(x)x2-8x+15的解集为x|5x6.综上,不等式f(x)x2-8x+15的解集为x|5-3x6. 15.(2011年福建卷,理21(3)设不等式|2x-1|1的解集为m.求集合m;若a,bm,试比较ab+1与a+b的大小.解:由|2x-1|1得-12x-11,解得0x1,所以m=x|0x1.由和a,bm可知0a1,0b0,故ab+1a+b.16.(2011年全国新课标卷,理24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)3x+2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.解:(1)当a=1时,f(x)3x+2可化为|x-1|2.由此可得x3或x-1,故不等式f(x)3x+2的解集为x|x3或x-1.(2)由f(x)0得|x-a|+3x0,此不等式化为不等式组xax-a+3x0或xaa-x+3x0即xaxa4或x0,所以不等式组的解集为x|x-a2.由题设可得-a2=-1,故a=2.17.(2010年全国新课标卷,理24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)ax的解集非空,求a的取值范围.解:(1)由于f(x)=-2x+5,x2,2x-3,x2.则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,(l1,l2,l3,l4都代表y=ax的图象),l1与y=f(x)相交于点a,由l1转到l2时有交点,a12.同理当l1转到l3时也有交点,当转到l4即斜率-2时,此时l4与y=-2x+5平行无交点,a-2.故不等式f(x)ax的解集非空时,a的取值范围为(-,-2)12,+). 本题主要考查分段函数画图和利用数形结合找出a的取值范围.18.(2010年福建卷,理21(3)已知函数f(x)=|x-a|.若不等式f(x)3的解集为x|-1x5,求实数a的值;在的条件下,若f(x)+f(x+5)m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.解:由f(x)3得|x-a|3,解得a-3xa+3.又已知不等式f(x)3的解集为x|-1x5,所以a-3=-1,a+3=5,解得a=2.法一:当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5),于是g(x)=|x-2|+|x+3|=-2x-1,x2.所以当x5;当-3x2时,g(x)=5;当x2时,g(x)5.综上可得,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)m,即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-,5.法二:当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5).由|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3x2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)m,即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-,5. 对于绝对值不等式,去绝对值是关键.要掌握好下列几种方法:定义法,平方法,不等式法.根据不同情况灵活选择.不等式的证明考向聚焦高考中主要考查利用基本不等式证明不等式问题(有时也是利用基本不等式求最值问题)对于不等式的证明,一般用比较法、分析法、综合法等证明简单的不等式,能够利用基本不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值以及对一些不等式问题的证明等,为中档题,主要为解答题,分值10分左右备考指津(1)利用基本不等式证明条件不等式,关键是恰当地利用条件,构造基本不等式所需要的形式;利用基本不等式求最值时,还一定要注意“一正二定三相等”.(2)如果已知条件与待证结论之间的联系不明显,可考虑使用分析法.(3)如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出,可考虑使用反证法.用反证法证明命题时,推导出的矛盾多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实相违背等.(4)放缩法的依据是不等式的传递性,运用放缩法证明不等式时,要放缩适度,放得过大或过小都不能达到证明目的,常用方法:一是舍去或添加一些已知正负的项;二是将分子或分母放大或缩小.(5)利用柯西不等式证明不等式的关键是正确构造左边的数组,从而利用题目的条件正确求解19.(2012年福建卷,理21(3),7分)已知函数f(x)=m-|x-2|,mr,且f(x+2)0的解集为-1,1.求m的值;若a,b,cr,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c9.解:因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)0等价于|x|m,由|x|m有解,得m0,且其解集为x|-mxm.又f(x+2)0的解集为-1,1,故m=1.由知1a+12b+13c=1,又a,b,cr,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a+12b+13c)(a1a+2b12b+3c13c)2=9.20.(2012年江苏数学,21d,10分)已知实数x,y满足:|x+y|13,|2x-y|16,求证:|y|518.证明:因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|13,|2x-y|16,从而3|y|23+16=56,所以|y|518.21.(2011年浙江卷自选模块,03)设正数x,y,z满足2x+2y+z=1.(1)求3xy+yz+zx的最大值;(2)证明:31+xy+11+yz+11+zx12526.解:(1)原式=3xy+(x+y)z=3xy+1-2(x+y)(x+y)=3xy+(x+y)-2(x+y)234(x+y)2+(x+y)-2(x+y)2=-54(x+y)2+(x+y)=-54(x+y)2-45(x+y)=-54(x+y-25)2-425=-54(x+y-25)2+1515.当且仅当x=y=z=15时,等号成立,3xy+yz+zx的最大值为15.(2)证明:法一:由基本不等式和(1)得31+xy+11+yz+11+zx=11+xy+11+xy+11+xy+11+yz+11+zx5511+xy11+xy11+xy11+yz11+zx=551(1+xy)(1+xy)(1+xy)(1+yz)(1+zx)551(1+xy+1+xy+1+xy+1+yz+1+zx5)5=253(1+xy)+(1+yz)+(1+zx)255+15=12526.法二:x,y,z为正数,根据柯西不等式和(1)得:(31+xy+11+yz+11+zx)(3+3xy+1+yz+1+zx)=93(1+xy)+11+yz+11+zx3(1+xy)+1+yz+1+zx93(1+xy)3(1+xy)+11+yz1+yz+11+zx1+zx2=(3+1+1)2=25,31+xy+11+yz+11+zx253(1+xy)+1+yz+1+zx255+15=12526.22.(2011年安徽卷,理19)(1)设x1,y1,证明x+y+1xy1x+1y+xy.(2)设1abc,证明logab+logbc+logcalogba+logcb+logac.证明:(1)由于x1,y1,所以x+y+1xy1x+1y+xyxy(x+y)+1y+x+(xy)2,将上式中右式减左式得y+x+(xy)2-xy(x+y)+1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),由x1,y1易知(xy-1)(x-1)(y-1)0,即原不等式成立.(2)设logab=x,logbc=y,由对数换底公式得logca=1xy,logba=1x,logcb=1y,logac=xy,则所证不等式可化为x+y+1xy1x+1y+xy,由1abc知x=logab1,y=logbc1,由(1)知所证不等式成立. 利用不等式基本性质,对数函数性质及换底公式,考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.23.(2010年江苏卷,21d)设a,b是非负实数,求证a3+b3ab(a2+b2).证明:a3+b3-ab(a2+b2)=(a3-a2ab)+(