【全程复习方略】广东省高中数学 8.7抛 物 线课时提能演练 理 新人教A版.doc

【全程复习方略】广东省2013版高中数学 8.7抛 物 线课时提能演练 理 新人教a版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.设抛物线y28x上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是()(a)4(b)6(c)8(d)122.(2012深圳模拟)顶点在原点，准线方程为y30的抛物线焦点坐标为()(a)(0,3) (b)(0，3) (c)(3,0) (d)(3,0)3.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线共有()(a)1条 (b)2条 (c)3条 (d)4条4.(2012佛山模拟)已知抛物线c1：y2x2与抛物线c2关于直线yx对称，则c2的准线方程是()(a)x (b)x(c)x (d) x5.(2012广州模拟)已知抛物线c：y28x的焦点为f，准线与x轴的交点为k，点a在c上，且|ak|af|，则afk的面积为()(a)4(b)8(c)16(d)326.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()(a)x1 (b)x1(c)x2 (d)x2二、填空题(每小题6分，共18分)7.抛物线yx2的焦点与双曲线1的上焦点重合，则m.8.过抛物线y8x2的焦点作直线交抛物线于a，b两点，线段ab的中点m的纵坐标为2，则线段ab的长为.9.(易错题)设f为抛物线y24x的焦点，a、b为该抛物线上两点，若20，则|2|.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2011江西高考)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10)与圆c2：x2y2交于m、n两点，且mon120.(1)求抛物线c1的方程；(2)设直线l与圆c2相切.若直线l与抛物线c1也相切，求直线l的方程.若直线l与抛物线c1交于不同的a、b两点，求的取值范围.【探究创新】(16分)已知抛物线x22y的焦点为f，准线为l，过l上一点p作抛物线的两条切线，切点分别为a、b.某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想：(1)直线pa、pb恒垂直；(2)直线ab恒过焦点f；(3)等式中的恒为常数.现请你一一进行论证.答案解析1.【解析】选b.点p到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点q，则|pq|等于点p到焦点的距离，而|pq|6，所以点p到该抛物线焦点的距离为6.【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化：(1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.2.【解析】选b.准线方程为y3，焦点在y轴负半轴上，标准方程为x212y，故焦点坐标为(0，3).3. 【解析】选c.作出图形，可知点(0,1)在抛物线y24x外.因此，过该点可作抛物线y24x的切线有两条，还能作一条与抛物线y24x的对称轴平行的直线，因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.4.【解析】选a.抛物线c2的方程为x2y2，即y2x.故2p，p，.故准线方程为x.5.【解析】选b.抛物线c：y28x的焦点为f(2,0)，准线为x2，k(2,0)，设a(x0，y0)，过a点向准线作垂线ab，则b(2，y0)，|ak|af|，又|af|ab|x0(2)x02，由bk2ak2ab2得y(x02)2，即8x0(x02)2，解得a(2，4)，afk的面积为|kf|y0|448.6.【解析】选b.方法一：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知直线ab的方程为：yx，与y22px联立得：y22pyp20，y1y22p，由题意知：y1y24，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1，故选b.方法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意得y1y24，y2px1，y2px2，两式相减得：kab1，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，同时，要注意使用条件是0. (2)在椭圆1(ab0)中，以p(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k.(3)在双曲线1(a0，b0)中，以p(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k.(4)在抛物线y22px(p0)中，以p(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k.7.【解析】因为抛物线yx2的标准方程为x216y，焦点坐标为(0,4)，又因为双曲线1的上焦点坐标为(0，)，依题意有：4，解得m13.答案：13【误区警示】本题易出现yx2的焦点为(0，)的错误，原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.8.【解析】设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24.又y8x2即x2y，2p，p，|ab|y1y2p.答案：9.【解题指南】先过a，b两点分别作准线的垂线，再过b作ac的垂线，垂足为e，在直角三角形abe中，求得cosbae，得出直线ab的斜率，进而得到直线ab的方程为：y2(x1)，将其代入抛物线的方程求得a，b的坐标，最后利用距离公式求得结果即可.【解析】过a，b两点分别作准线的垂线，再过b作ac的垂线，垂足为e，设bfm，则bdm，20，acaf2m，如图，在直角三角形abe中，aeacbd2mmm，ab3m，cosbae，直线ab的斜率为：ktanbae2，直线ab的方程为：y2(x1)，将其代入抛物线的方程化简得：2x25x20，x12，x2a(2,2)，b(，)，又f(1,0)，则|2|26.答案：610.【解析】(1)抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(，0)，所以直线ab过点(，0)，斜率为2，所以直线ab的方程是y2(x)，与抛物线方程y22px联立，消去y得：4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线的定义得：|ab|x1x2p9，解得p4，因此抛物线方程为：y28x.(2)由p4及4x25pxp20得x25x40，解得：x11，x24，y12，y24，从而a(1，2)，b(4,4)，设c(x3，y3)，则有(x3，y3)，(1，2)(4,4)(14，24)，又因为，所以(x3，y3)(14，24)，即x314，y324， 又因为y8x3，即(24)28(14)，即(21)241，解得0或2.【变式备选】动点p在x轴与直线l：y3之间的区域(含边界)上运动，且到点f(0,1)和直线l的距离之和为4.(1)求点p的轨迹c的方程；(2)过点q(0，1)作曲线c的切线，求所作的切线与曲线c所围成区域的面积.【解析】(1)设p(x，y)，根据题意，得3y4，化简，得yx2(y3). (2)设过q的切线方程为ykx1，代入抛物线方程，整理得x24kx40.由16k2160.解得k1.于是所求切线方程为yx1(亦可用导数求得切线方程).切点的坐标为(2,1)，(2,1).由对称性知所求的区域的面积为s2x2(x1)dx.11.【解析】(1)因为mon120，所以om与x轴正半轴成30角，所以点m的坐标为(，)，代入抛物线方程得()22p，求得p1，所以抛物线c1的方程为x22y.(2)由题意可设l：ykxb，即kxyb0，因为l与圆c2相切，所以，即9b216(k21)()设直线l与抛物线c1：x22y即yx2相切于点t(t，t2)，因为函数yx2的导数为yx，所以()由()、()解得或 所以直线l的方程为y2x4或y2x4， 由得x22kx2b0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)则x1x22k，x1x22b，且由4k28b0得k22b0()由()、()可得，解得b或b4，所以x1x2y1y2(x1x2)2x1x2b22b，)，即的取值范围是，).【探究创新】【证明】(1)由x22y，得y，对其求导，得yx，设a(x1，)、b(x2，)，则直线pa、pb的斜率分别为kpax1，kpbx2，由点斜式得直线pa方程为yx1(xx1)，即yx1x ，同理，直线pb方程为yx2x ，由、两式得点p坐标为(，)，点p在准线y上，即x1x21.kpakpbx1x21，papb，猜想(1)是正确的.(2)直线ab的斜率k，由点斜式得直线ab方程为y(xx1)，将上式变形并注意到x1x21，得yx，显然，直线ab恒过焦点f(0，)，猜想(2)是正确的.(3)当abx轴时，根据抛物线的对称性知a(1，)、b(1，)或a(1，)、b(1，)，这时点p坐标为(0，).(1,0)(1,0)1，(0，1)，1，有1.下面证必成立，(x1，)(0，)(x1，)，(x2，)(0，)(x2，)，x1x2(x1)(x1)x1x2(xxxx1)x1x2(x1x2)22x1x2(x1x2)211(1)22(1)(x1x2)211(x1x2)2.又(，)(0，)(，)(0，)(，1)，(x1x2)21，故，恒为1.猜想(3)也是正确的.【变式备选】已知抛物线y24x，过点m(0,2)的直线l与抛物线交于a、b两点，且直线l与x轴交于点c.(1)求证：|ma|，|mc|，|mb|成等比数列；(2)设， ，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意设直线l的方