高等数学23隐函数导数、参数方程求导、函数相关变化率.pdf

一 隐函数的导数 二 对数求导法 三 由参数方程所确定的函数的导数 四 相关变化率 一 隐函数的导数 二 对数求导法 三 由参数方程所确定的函数的导数 四 相关变化率 3 隐函数导数 参数方程求导 函数相关变化率隐函数导数 参数方程求导 函数相关变化率 显函数显函数 xfy 以上讨论的求导法则是关于 类型 有些函数自变量和因变量的关系是通过方程 以上讨论的求导法则是关于 类型 有些函数自变量和因变量的关系是通过方程 0 yxF例如来确定 例如来确定 36 22 yx隐函数隐函数 定义 定义 0F x y 基本求导法则与求导公式基本求导法则与求导公式 yy x 如果在方程如果在方程 0F x y 中 中 x当 取某个区间的任意值时 当取某个区间的任意值时 y 相应的总有满足方程唯一的 值存在 则方程 确定了一个隐函数 相应的总有满足方程唯一的 值存在 则方程 确定了一个隐函数 一 隐函数的导数一 隐函数的导数 0 yxF xfy 隐函数的显化隐函数的显化 常常遇到隐函数求导问题常常遇到隐函数求导问题 隐函数求导法则 隐函数求导法则 0 yx eexy 如如 3510 xy 如 如 求隐函数表示的曲线上的切线 将 求隐函数表示的曲线上的切线 将y视为视为x的函数 的函数 有不少隐函数是不能显化的有不少隐函数是不能显化的 1 13 5 yx 在在F x y 0的两端利用复合函数的两端利用复合函数 y 的表达式 求导法从中解出对 的表达式 求导法从中解出对x求导 求导 例1例1 y 解解 解得解得 dy dx 0 x 0 x dy dx 1 一 隐函数的导数一 隐函数的导数 y dx dy x x e y e 0 dy dx 0 x y ey xe 0 0 x xy y ey xe x上式两边对 求导上式两边对求导 y 将带入原方程得将带入原方程得 求由方程所确定的隐函数 的导数 求由方程所确定的隐函数 的导数 0 xy xyee 0 x dy dx dy dx 并求并求 例2例2 解解 y x 3 3 3 2 2 y 1 所求切线方程为所求切线方程为 3 2 y 30 xy 即 即 33 22 yx xy 即即显然通过原点显然通过原点 2 3x 2 3y y3 一 隐函数的导数一 隐函数的导数 y 3 3 2 2 2 2 yx yx 所求法线方程为所求法线方程为 3 2 x x上式两边对求导上式两边对求导 33 3 xyxy 设曲线设曲线C的方程为求过的方程为求过C上点 的切线方程 上点 的切线方程 3 3 2 2 并证明曲线并证明曲线C在该点的法线通过原点在该点的法线通过原点 二 对数求导法二 对数求导法 3 2 1 1 4 x xx y xe 方法 方法 先在方程两边取对数先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导 方法求出导数 然后利用隐函数的求导 方法求出导数 对数求导法对数求导法 适用范围 适用范围 v xu x sin x yx 问题 包括隐函数和显函数 问题 包括隐函数和显函数 显函数显函数 隐函数 问题 隐函数 问题 yx xy 确定函数确定函数 特征 特征 隐函数求导法则 隐函数求导法则 x yy 多个函数相乘和幂指数函数 的情形 将 多个函数相乘和幂指数函数 的情形 将y视为视为x的函数 在的函数 在F x y 0的两端利用的两端利用 y 的表达式求导法对的表达式求导法对x求导 从中解出求导 从中解出 y 求 y 求 例3例3 解解 y 等式两边取对数得等式两边取对数得 ln y x y y 3 2 1 1 4 x xx yy xe 求求 二 对数求导法二 对数求导法 1 4 2 1 3 1 1 1 xxx ln 1 x 3 2 1 1112 1 4 13 1 4 x xx xexxx ln b a lnba 2ln 4 x 1 ln 1 3 x x lnlnlnabab lnlnln a ab b 上式两边对求导 设 上式两边对求导 设 例3例3 解解 y 等式两边取对数得等式两边取对数得 ln y x 3 2 1 1 4 x xx yy xe 求求 二 对数求导法二 对数求导法 注意显函数y要回代注意显函数y要回代 ln x 1 x ln 1 x 3 2 1 1112 1 4 13 1 4 x xx xexxx ln b a lnba 2ln 4 x 1 ln 1 3 x x lnlnlnabab lnlnln a ab b 上式两边对求导 设 上式两边对求导 设 例4例4 解解 sin 0 x yxx y 求求 等式两边取对数得等式两边取对数得ln y 1 y y y sin ln cos sin x x xxx x 二 对数求导法二 对数求导法 dy fux dx sinlnxx coslnxx 1 sin x x 1 coslnsin yxxx x sin ln x x ln b a lnba x上式两边对求导 设 上式两边对求导 设 二 对数求导法二 对数求导法 yx xy 例5例5 等式两边取对数得等式两边取对数得 lnyx lnyx y x ln y y x y y dy fux dx ln xy x yy 确定函数确定函数 x上式两边对求导 从中解出 上式两边对求导 从中解出 y 求 解 求 解 二 对数求导法二 对数求导法 2 sin yx xyx 问题 方法 问题 方法 幂指函数幂指函数 e 可用对数恒等变换可用对数恒等变换 e b a lnba e lnyx lnxy2 sin x yx xy x yy 确定函数 确定函数 确定函数 确定函数 x yy x上式两边对求导上式两边对求导 也可用对数恒等变换 可用隐函数和复合函数求导法求解 也可用对数恒等变换 可用隐函数和复合函数求导法求解 y 求求 y 求求 xy e ln xxcossin2 1 ln yxy x yx e ln ln y yx y 二 对数求导法二 对数求导法 2 sin yx xyx 问题 方法 问题 方法 幂指函数幂指函数 e 可用对数恒等变换可用对数恒等变换 e b a lnba e lnyx lnxy2 sin x 确定函数确定函数 x yy x上式两边对求导 也可用对数恒等变换 可用隐函数和复合函数求导法求解 上式两边对求导 也可用对数恒等变换 可用隐函数和复合函数求导法求解 y 求求 xy e ln xxcossin2 1 ln yxy x yx e ln ln y yx y 1 ln ln 2sincos yx y xyxyyyxxx xy 对数恒等变换要还原对数恒等变换要还原 y 从中解出从中解出 1 对数求导法 1 对数求导法 2 对数恒等变换求导 2 对数恒等变换求导 显函数y注意回代显函数y注意回代 注意还原注意还原 二 对数求导法二 对数求导法 2 sin yx xyx 例例 0 sin yxxy x 求设例 求设例 幂指函数求导 幂指函数求导 xv xu b a 隐函数求导与显函数求导结果的区别隐函数求导与显函数求导结果的区别 隐函数导数表达式既有 隐函数导数表达式既有 x又有又有 y x与与y满足方程满足方程 F x y 0 注意整理求导结果 使之化到最简形式 注意整理求导结果 使之化到最简形式 lnba e y 求求 三 由参数方程所确定的函数的导数三 由参数方程所确定的函数的导数 2 2 x xt yt 例如 例如 2 2 ty tx t 2 yt 4 2 x y 消去参数消去参数 问题问题 t 二 对数求导法 一 隐函数求导 二 对数求导法 一 隐函数求导 1 2 x 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导 2 x 如果参数方程确定了 与 间的函数关系 称此为由参数方程所确定的函数 如果参数方程确定了 与 间的函数关系 称此为由参数方程所确定的函数 yx xt y xtyt 由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得 dx dy dt dx dt dy1 t t t t x y t t dx dy ty tx dy dt 三 由参数方程所确定的函数的导数三 由参数方程所确定的函数的导数 dt dx 1 x t 设函数 具有单调连续的反函数 设函数 具有单调连续的反函数 1 x 在方程 中 设函数 都可导 在方程 中 设函数 都可导 0 t 且且 例6例6 解解 dt dx dt dy dx dy t t cos1 sin taa ta cos sin 2 t dy dx 1 sin 1cos 2 xa tt t yat 在 在 2 t 所求切线方程为所求切线方程为 1 2 axay 2 2 yxa t t ydyt dxtx sin 2 1cos 2 x 1 2 a y a 求摆线处的切线求摆线处的切线 四 相关变化率四 相关变化率 ty tx 相关变化率问题 相关变化率问题 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率 x dx dt 在方程中在方程中 xx tyy t 设都可导 与 存在函数关系 设 都可导 与 存在函数关系y yf x 变化率 与变化率也存在函数关系 变化率 与变化率也存在函数关系 dy dt 这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率 例7例7 解解 tan t 2 sec dh dt 2 500 sechm d dt 仰角增加率仰角增加率 米米500 米米h 相关方程 相关方程 500 h t d dt 1 500 dh dt 2 140 min m 0 14 min rad t设时刻 设时刻 h气球上升高度为气球上升高度为 观察员视线的仰角为 一气球从离开观察员处离地面铅直上升 当气球高度为 观察员视线的仰角增加率是多少 观察员视线的仰角为 一气球从离开观察员处离地面铅直上升 当气球高度为 观察员视线的仰角增加率是多少 140 min m500m其速率为时 其速率为时 500m t 上式两边对 求导上式两边对 求导 四 相关变化率四 相关变化率 0F x y 求相关变化率的方法求相关变化率的方法 dxdy dtdt 与与 1 由已知条件计算相关变化率 由已知条件计算相关变化率 3 找到3个变量 找到3个变量 500m x t y t 1 在某一时刻 其中两个变量之间的联系 在某一时刻 其中两个变量之间的联系 2 按隐函数和复合函数求导法 将方程两端 变量 比如 按隐函数和复合函数求导法 将方程两端 变量 比如t 求导 得到变化率 之间的关系 一气球从离开观察员处离地面铅直上升 当气球高度为 观察员视线的仰角增加率是多少 求导 得到变化率 之间的关系 一气球从离开观察员处离地面铅直上升 当气球高度为 观察员视线的仰角增加率是多少 140 minm500m其速率为 时 其速率为 时 x y t 根据几何或物理关系 对另外一个 建立 x y t 根据几何或物理关系 对另外一个 建立 四 相关变化率四 相关变化率 求相关变化率的方法求相关变化率的方法 1 由已知条件计算相关变化率 由已知条件计算相关变化率 3 找到 找到3个变量 个变量 x y t x t y t 10cm s 0F x y dxdy dtdt 与与 1 在某一时刻根据几何或物理关系建立 其中两个变量之间的联系 在某一时刻根据几何或物理关系建立 其中两个变量之间的联系 2 按隐函数和复合函数求导法 将方程两端对另外一个 变量 比如 按隐函数和复合函数求导法 将方程两端对另外一个 变量 比如t 求导 得到变化率 已知一气球的半径以 的速度增大 时 气体体积的增大速率 求半径为 求导 得到变化率 已知一气球的半径以 的速度增大 时 气体体积的增大速率 求半径为10cm 例例8 四 相关变化率四 相关变化率 V dV dt dV dt 相关方程 相关方程 10 dr rcm dt 设设t时刻时刻 3 4 3 r 2 4 r 10 cm s 3 4000 cms dr dt 体积为体积为 V 半径为半径为 r 则有则有 10cm s已知一气球的半径以 时 求半径为 已知一气球的半径以 时 求半径为10cm