高考数学 专题五 知能演练轻松闯关 新人教A版(1).doc

2014年高考数学 专题五 知能演练轻松闯关 新人教a版1已知圆m的方程为x2(y2)21，直线l的方程为x2y0，点p在直线l上，过点p作圆m的切线pa，pb，切点为a，b.(1)若apb60，试求点p的坐标；(2)若p点的坐标为(2,1)，过p作直线与圆m交于c，d两点，当|cd|时，求直线cd的方程解：(1)设p(2m，m)，由题可知|mp|2，所以(2m)2(m2)24，解之得m0或m.故所求点p的坐标为p(0,0)或p.(2)由题意易知k存在，设直线cd的方程为y1k(x2)，由题知圆心m到直线cd的距离为，所以，解得，k1或k，故所求直线cd的方程为xy30或x7y90.2(2013韶关模拟)已知抛物线c的方程为x24y，m为直线l：ym(m0)上任意一点，过点m作抛物线c的两条切线ma，mb，切点分别为a、b.(1)当m的坐标为(0，1)时，求过m，a，b三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；(2)求证：直线ab恒过定点；(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点m，使mab为直线三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由解：(1)当m的坐标为(0，1)时，设过m点的切线方程为ykx1，代入x24y，整理得x24kx40，令(4k)2440，解得k1，代入方程得x2，故得a(2,1)，b(2,1)，因为m到ab的中点(0,1)的距离为2，从而过m，a，b三点的圆的方程为x2(y1)24.易知此圆与直线l：y1相切(2)设切点分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，过抛物线上点a(x1，y1)的切线方程为(yy1)k(xx1)，代入x24y，整理得x24kx4(kx1y1)0.(4k)244(kx1y1)0，又因为x4y1，所以k.从而过抛物线上点a(x1，y1)的切线方程为yy1(xx1)，即yx.又切线过点m(x0，y0)，所以得y0x0，即y0x0y1.同理可得过点b(x2，y2)的切线为yx.又切线过点m(x0，y0)，所以得y0x0，即y0x0y2，即点a(x1，y1)，b(x2，y2)均满足y0x0y，即x0x2(y0y)，故直线ab的方程为x0x2(y0y)又m(x0，y0)为直线l：ym(m0)上任意一点，故x0x2ym对任意x0成立，所以x0，ym，从而直线ab恒过定点(0，m)(3)由(2)知kma，kmb且x1，x2是方程x22x0x4y00的两实根，即xx0，从而，所以kmakmby0.当y01时，即m1时，直线l上任意一点m均有mamb，mab为直角三角形当y01时，即m1时，ma与mb不垂直因为kab，kma，所以kabkma.若kmakab1，则1，整理得(y02)x4，又因为y0m，所以(m2)x4，因为方程(m2)x4有解的充要条件是m2.所以当m2时，有maab或mbab，mab为直角三角形综上所述，当m1时，直线l上任意一点m，使mab为直角三角形；当m2时，直线l上存在两点m，使mab为直角三角形；当0m1或1m2时，mab不是直角三角形3(2012高考课标全国卷)设抛物线c：x22py(p0)的焦点为f，准线为l，a为c上一点，已知以f为圆心，fa为半径的圆f交l于b，d两点(1)若bfd90，abd的面积为4，求p的值及圆f的方程；(2)若a，b，f三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与c只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解：(1)由已知可得bfd为等腰直角三角形，|bd|2p，圆f的半径|fa|p.由抛物线定义可知a到l的距离d|fa|p.因为abd的面积为4，所以|bd|d4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2.所以f(0,1)，圆f的方程为x2(y1)28.(2)因为a，b，f三点在同一直线m上，所以ab为圆f的直径，adb90.由抛物线定义知|ad|fa|ab|，所以abd30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得，x2px2pb0.由于n与c只有一个公共点，故p28pb0.解得b.因为m的截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.4已知椭圆c：1(ab0)，直线l为圆o：x2y2b2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆离心率为e.(1)若直线l的倾斜角为，求e的值；(2)是否存在这样的e，使得原点o关于直线l的对称点恰好在椭圆c上？若存在，请求出e的值；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)，c.则直线l的方程为y(xc)tan ，即xyc0.因为直线l与圆o相切，所以圆心o到直线l的距离b，即bc.所以a2b2c2c2，从而离心率e.(2)假设存在e满足条件，显然直线l的斜率不为0，不妨设直线l的方程为xmyc，即xmyc0.因为直线l与圆o相切，所以圆心o到直线l的距离b，即m21.设原点o关于直线l的对称点为o(x0，y0)，则解得因为o在椭圆c上，所以1，即1.将代入，化简，得b23c2.由可得，此时m21，不成立故不存在符合条件的e.5(2013深圳调研)如图，已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，以椭圆c的左顶点t为圆心作圆t：(x2)2y2r2(r0)，设圆t与椭圆c交于点m与点n.(1)求椭圆c的方程；(2)求的最小值，并求此时圆t的方程；(3)设点p是椭圆c上异于m，n的任意一点，且直线mp，np分别与x轴交于点r，s，o为坐标原点，求证：|or|os|为定值解：(1)椭圆c：1(ab0)的离心率e，a2c，b1.故椭圆c的方程为y21.(2)易知点m与点n关于x轴对称，设m(x1，y1)，n(x1，y1)，不妨设y10.由于点m在椭圆c上，y1.(*)由已知t(2,0)，则(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)2x4x132.由于2x12，故当x1时，取得最小值.把x1代入(*)式，得y1，故m(，)又点m在圆t上，代入圆的方程得r2.故圆t的