2010年北京一模数学试题专题汇编(New!)数列.doc

数列1. （西城理题3）设等差数列的前项和为，则等于（ ）A10 B12 C15 D302. （宣武理题5）若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）ABCD3. （海淀理题6）已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（ ）A或 B或 C D4. （东城理题7）已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（ ）A B C D5. （丰台理题8）已知整数以按如下规律排成一列：、，则第个数对是（ ）A B C D6. （海淀理题）已知数列具有性质：对意，与两数中至少有一个是该数列中的一项现给出以下四个命题： 数列具有性质； 数列具有性质； 若数列具有性质，则； 若数列具有性质，则其中真命题有（ ）A个 B个 C个 D个 7. （石景山理题14）在数列中，若，（，为常数），则称为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列；若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为 （将所有正确的命题序号填在横线上）8. （石景山理题18）在数列中，且求，的值；证明：数列是等比数列，并求的通项公式；求数列的前项和9. （丰台理题20）设集合由满足下列两个条件的数列构成：；存在实数，使（为正整数）在只有项的有限数列，中，其中；试判断数列是否为集合的元素；设是各项为正的等比数列，是其前项和，证明数列；并写出的取值范围；设数列且对满足条件的的最小值，都有求证：数列单调递增10. （海淀理题20）已知数列满足：，求的值；设，试求数列的通项公式；对于任意的正整数，试讨论与的大小关系11. （东城理题20）已知数列满足，求证：；求证：；求数列的通项公式12. （西城理题20）对于各项均为整数的数列，如果（=1，2，3，）为完全平方数，则称数列具有“性质”不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：是的一个排列；数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”设数列的前项和，证明数列具有“性质”；试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；对于有限项数列：1，2，3，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”13. （宣武理题20）已知数列满足，点在直线上求数列的通项公式；若数列满足，求的值；对于中的数列，求证：1C；2B3C；4C；5C；6B；7；8，证明：，数列是首项为，公比为的等比数列，即，的通项公式为的通项公式为 ，所以，9对于数列，取，显然不满足集合的条件，故不是集合中的元素，对于数列，当时，不仅有，而且有，显然满足集合的条件，故是集合中的元素是各项为正数的等比数列，是其前项和，设其公比为，整理得， 对于，有，且，故，且证明：（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数，使，易证于任意的，都有，证明如下：假设时，当时，由，而所以所以对于任意的，都有显然这项中有一定存在一个最大值，不妨记为；所以，从而与这题矛盾所以假设不成立，故命题得证10，；由题设，对于任意的正整数，都有：，数列是以为首项，为公差的等差数列对于任意的正整数，当或时，；当时，；当时，证明如下：首先，由，可知时，；其次，对于任意的正整数，时，；时，所以时，事实上，我们可以证明：对于任意正整数，（*）（证明见后），所以此时综上可知：结论得证对于任意正整数，（*）的证明如下：）当（）时，满足（*）式）当时，满足（*）式）当时，于是只须证明，如此递推，可归结为）或）的情形，于是（*）得证11用数学归纳法证明）当时，所以结论成立）假设时结论成立，即，则所以即时，结论成立由）、）可知对任意的正整数，都有因为，所以，即所以，所以又，所以又，令，则数列是首项为，公比为的等比数列所以由，得所以12当时，又，所以所以是完全平方数，数列具有“性质”；数列1，2，3，4，5具有“变换性质”，数列为3，2，1，5，4，数列1，2，3，11不具有“变换性质”，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以数列1，2，3，11不具有“变换性质”；设，注意到，令，由于，所以，又，所以，即，因为当时，数列具有“变换性质”，所以1，2，可以排列成，使得都是平