概率统计例题、习题及小结.pdf

通 知通 知 1新教材不考内容 新教材不考内容 3 2 4 3 4 4 3 4 5 6 2 5 7 4 4及后面章节 一般 及后面章节 一般 5 1及 及 6 1的经验分布函数也不考 的经验分布函数也不考 2考试时间 考试时间 3答疑 考试头天晚上答疑 考试头天晚上7 00 8 00 科技南 楼 科技南 楼715 最后一次作业照交 最后一次作业照交 4复习材料 教材 练习册和浙大教材 复习 技巧 先系统复习再做以前的统考题 注重 客观题 复习材料 教材 练习册和浙大教材 复习 技巧 先系统复习再做以前的统考题 注重 客观题 例1例1一批外形相同的产品 由6件正品和4件次品 组成 考察下面事件的概率 一批外形相同的产品 由6件正品和4件次品 组成 考察下面事件的概率 E E1 1 有放回地 有放回地任任取三件 取三件 A1 恰有两件次品恰有两件次品 P A1 E E2 2 不放回地 不放回地任任取三件 取三件 A2 只第只第1 3件为次品件为次品 P A2 E E3 3 不放回地 不放回地任任取三件 取三件 A3 恰有两件为次品恰有两件为次品 P A3 10 10 10 4 4 6 2 3 C 10 9 8 4 6 3 3 10 1 6 2 4 C CC 总结 有放回总结 有放回 元素可同元素可同 考虑可重复排列数 考虑可重复排列数 无放回无放回 元素不同元素不同 事件与顺序有关时 考虑不重复排列数 事件与顺序无关时 考虑组合数 事件与顺序有关时 考虑不重复排列数 事件与顺序无关时 考虑组合数 例例4 一批同类产品共有件 其中次品 件 现从中随机抽取件 一批同类产品共有件 其中次品 件 现从中随机抽取件 取后不放回取后不放回 问这件中恰 有件次品的概率是多少 问这件中恰 有件次品的概率是多少 N NMM0 向平面任意投一 长为 向平面任意投一 长为 l l a 的针 试求针与一条平行线相交的概率 的针 试求针与一条平行线相交的概率 解解 设设 x 是针的中点是针的中点 M 到最近的平行线的距离 是针 与此平行线的交角 投针问题就相当于在平面区域 到最近的平行线的距离 是针 与此平行线的交角 投针问题就相当于在平面区域 D 取点 的几何概型 取点 的几何概型 0 sin 2 2 2 l d Al P a Da 的面积 的面积 0 0 2 a Dxx 0 0sin 2 l Axx sin 2 l x x 2 a D A 0 注注 已知某事件已发生 此时求另一事件的概率 则为求条件概率 已知某事件已发生 此时求另一事件的概率 则为求条件概率 已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结 果出现的条件概率 则由全概率公式 可求得某结 果出现的概率 已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结 果出现的条件概率 则由全概率公式 可求得某结 果出现的概率P B 非条件概率非条件概率 由 由Bayes公式 可 求得结果 公式 可 求得结果B是由某原因引起的是由某原因引起的 后验后验 条件条件 概率 概率 应用全概率公式和应用全概率公式和Bayes公式时要注意其条件公式时要注意其条件 原因都两两不相容原因都两两不相容 注 注 互不相容互不相容与与相互独立相互独立是两个不同的概念是两个不同的概念 BPAPABP 相互独立 相互独立 AB 互不相容 互不相容 一般二者不同时成立一般二者不同时成立 相互独立的性质 相互独立的性质 若若n个事件相互独立 则其中任意个事件相互独立 则其中任意m个 事件也相互独立 把其中任意 个 事件也相互独立 把其中任意m个事件换成对立事件以 后 所得的 个事件换成对立事件以 后 所得的n个事件也相互独立 个事件也相互独立 练习练习2 讨论两事件互不相容与相互独立的关系 讨论两事件互不相容与相互独立的关系 练习练习3一架长一架长 zhang 机带两架僚机飞往某地进行轰炸 只有长机能确定具体目标 在到达目标上空之前 必须经 过敌高炮防空区 这时任一架飞机被击落的概率为 机带两架僚机飞往某地进行轰炸 只有长机能确定具体目标 在到达目标上空之前 必须经 过敌高炮防空区 这时任一架飞机被击落的概率为0 2 到达目标上空之后 各飞机将独立地进行轰炸 炸毁目标 的概率都是 到达目标上空之后 各飞机将独立地进行轰炸 炸毁目标 的概率都是0 3 试求目标被炸毁的概率 试求目标被炸毁的概率 是非题是非题1 若若P A 0 则 则A 若 若P A 1 则 则A 如几何概型中任一基本事件概率为如几何概型中任一基本事件概率为0 练习练习2讨论互不相容与相互独立的关系 讨论互不相容与相互独立的关系 解解 1 若若P A P B 0 则二者不可能同时成立则二者不可能同时成立 因为因为 a 若若A B互不相容 即互不相容 即AB 则 则 0 P AB P A P B 即 即A B 不相互独立 不相互独立 b 若若A B 相互独立 即相互独立 即P AB P A P B 0 则 则 AB 即 即A B相容 相容 2 若若P A P B 0 则二者有可能同时成立则二者有可能同时成立 因为因为 a 若若A B互不相容 即互不相容 即AB 则 则 P AB P A P B 0 即 即 A B独立 独立 b 若若A B相互独立 即相互独立 即P AB P A P B 0 AB 练习练习3 一架长一架长 zhang 机带两架僚机飞往某地进行轰炸 只有长机能确定具体目标 在到达目标上空之前 必须经 过敌高炮防空区 这时任一架飞机被击落的概率为 机带两架僚机飞往某地进行轰炸 只有长机能确定具体目标 在到达目标上空之前 必须经 过敌高炮防空区 这时任一架飞机被击落的概率为0 2 到达目标上空之后 各飞机将独立地进行轰炸 炸毁目标 的概率都是 到达目标上空之后 各飞机将独立地进行轰炸 炸毁目标 的概率都是0 3 试求目标被炸毁的概率 试求目标被炸毁的概率 列出式子即可列出式子即可 解解 记记Bi为长机与为长机与i架僚机到达目标上空 架僚机到达目标上空 i 0 1 2 A为目标被炸毁 则为目标被炸毁 则 P B0 0 8 0 22 0 032 P B1 2 0 82 0 2 0 256 P B2 0 83 0 512 故故 2 0 i ii BAPBPAP 0 4765 B0B1B2 P A Bi P A Bi A P Bi P Bi P A B0 0 3 22233 1 0 20 8 0 2 0 72 0 8 0 2 0 70 8 0 7 P A B2 1 0 73 0 657 P A B1 1 0 72 0 51 或或 练习题练习题1 设某长途汽车在起点站有设某长途汽车在起点站有20位乘客上车 每位 乘客在以后的 位乘客上车 每位 乘客在以后的10个车站等可能地下车 求没有三位及三位 以上的乘客在同一车站下车的概率 个车站等可能地下车 求没有三位及三位 以上的乘客在同一车站下车的概率 解记解记A 每个车站恰有两位乘客下车每个车站恰有两位乘客下车 则 则 20 2 2 2 16 2 18 2 20 10 CCCC AP L 习题讲评习题讲评 随机事件随机事件 随机事件随机事件 A 第一章小结第一章小结 随机试验随机试验 随机试验随机试验 样本空间 样本空间 所 有 所 有 样本空间 样本空间 所 有 所 有 关系 关系 关系 关系 BA ABAB 运算 运算 AB A B A AB 运算 运算 AB A B A AB BAUBA 独立独立 P AB P A P B 独立独立 P AB P A P B 公式公式 P AB P A P B A 公式公式 P AB P A P B A P A B P A P A B P A 公理化定义公理化定义 1 P A 0 2 3 公理化定义公理化定义 1 P A 0 2 3 1 P ii APAP 1 APAP BPAPBAPBA ABPBPAPBAP U 条件概率条件概率 条件概率条件概率 BP ABP BAP 全概率公式全概率公式P B i 1n i 1nP Ai P B Ai Bayes公式公式 全概率公式全概率公式P B i 1n i 1nP Ai P B Ai Bayes公式公式 n j jj i i ABPAP BAP BAP 1 统计古典 几何概率 统计古典 几何概率 B X 0 1 2 3 3 导弹问题导弹问题设某种导弹的命中率为设某种导弹的命中率为99 但过期后 便只有 但过期后 便只有5 又设某目标被击中三枚导弹方可摧毁 现从混有 又设某目标被击中三枚导弹方可摧毁 现从混有4枚过期导弹的枚过期导弹的100枚导弹中任取枚导弹中任取3枚独立地 向目标发射 求目标被摧毁的概率 枚独立地 向目标发射 求目标被摧毁的概率 解解记记X为取出的为取出的3枚导弹中含的过期导弹枚导弹中含的过期导弹数数 B 目标 被摧毁 目标 被摧毁 则 则 3 100 3 964 C CC kXP kk k 0 1 2 3 3 0 k kXBPkXPBP kk k kk C CC 3 3 0 3 100 3 964 99 005 0 0 8629 超几何分布超几何分布 注注 全概率公式 独立性全概率公式 独立性 练习练习1 设有设有3个人个人4种就业机会 每人可随机选取任 一个就业机会 求各个就业机会最多有 种就业机会 每人可随机选取任 一个就业机会 求各个就业机会最多有1人 人 2人 人 3人选择的概率各是多少 人选择的概率各是多少 解解 记记X为选择人数最多的就业机会所含的人为选择人数最多的就业机会所含的人数数 则 则 8 3 4 2 3 4 1 3 XP 16 9 4 3 2 3 2 3 1 4 CC XP 16 1 4 4 3 3 XP 1 2 3 x 验算 验算 和为和为1 是非题是非题 1 泊松分布不是一个单独存在的分布泊松分布不是一个单独存在的分布 2 取值为正整数的随机变量取值为正整数的随机变量 P 3 f x 为概率密度 积分为1 4 P 为概率密度 积分为1 4 P A A 0 0 A A 5 连续型随机变量的分布函数处处连续 6 若密度为 5 连续型随机变量的分布函数处处连续 6 若密度为 x1 0 f1f20 x2x3 则则F x 为 三分段函数 为 三分段函数 且且 2 223 x x F xfx dxxxx 1 0 0 0 x ex f x x 7 非负整数非负整数 及及 f x 0 如如C R V X 有有P X a 0 是是 但非 处处可导 但非 处处可导 四四 2 12 1223 xx xx F xf x dxfx dxxxx 直接积分得直接积分得 F1 x F2 x 事件概率也同 事件概率也同 则F1 x F2 x 一般 若一般 若 12 a s f xfx 则视为同一密度 则视为同一密度 2 3 2讨论题讨论题 广义反函数除外广义反函数除外 1 若若X U a b 则则P c Xt t0 X t0 P X t 5 若若X N 2 问问F x 能否积出能否积出 转换公式为转换公式为 F x P a X b 7 什么样的随机变量什么样的随机变量 正态分布正态分布 应用实例 应用实例 6 若若X N 0 1 且且P X0 无记忆性无记忆性 新旧一样新旧一样 x P aXbF bF a 0 5 反查正态分布表得反查正态分布表得 x 1 1 p p 若 若p 例例2 18 习题习题2 27 4 2 28 例例2 设一大型设备在任何长为设一大型设备在任何长为t时间内发生故障的次数时间内发生故障的次数 N t P t 1 求相继两次故障之间的时间间隔求相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布 的概率分布 2 求在设备无故障工作求在设备无故障工作7小时的条件下 再无故障工作小时的条件下 再无故障工作9 小时的概率小时的概率p 解 解 1 F tP Tt t e 1 t e t 0 1 0 t TTPp 7 7 16 TP TTP 7 16 TP TP 即即 T E 7 1 16 1 F F 9 7 16 e e e 9 TP 无记忆性无记忆性 3 三台设备中至少有两台设备的寿命超过三台设备中至少有两台设备的寿命超过9小时的概率 小时的概率 二项分布 习题二项分布 习题2 10 2 14 2 17 P38 1 0 P N t 1 P N t 事件转换事件转换 例例5 若若F x 为为C R V X的严格单增的分布函数 则的严格单增的分布函数 则R V Y F X U 0 1 如若 如若X N 0 1 则 则 X U 0 1 解解0 y 1 时 时 1 P XFy y 0时 时 1 01 0 YY y fyFy 其它 1 F Fyy FY y P Y y P F X y FY y P Y y 0 y 1 时 时 FY y P Y y 1 故故F X U 0 1 课堂练习课堂练习 统考题统考题 设求设求 使使P 1 X e 最大 最大 P 1 Xt s X s P X t 4 指数和正态分布的密度都是指数形式指数和正态分布的密度都是指数形式 二者的区别是二者的区别是 5 设设X fX x 2 exp xxA 求求A并指出并指出X的分布类型的分布类型 2 4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 3 指数分布跟指数分布跟Poission分布的关系是分布的关系是 泊松过程从泊松过程从 k变到变到 k 1之间所需要的时间服从指数分布之间所需要的时间服从指数分布 A 1 4 ln 2 正态分布正态分布 2 4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 一 问题一 问题 例例6 设设C是以原点为圆心的单 位圆周 是以原点为圆心的单 位圆周 A为为C上的任意一点 求上的任意一点 求 A的横坐标的分布 的横坐标的分布 X o A 解解 记记 为为OA与与x轴的夹角 轴的夹角 由题意由题意 U 则 则X cos cos X FxPx x 01 11 11 x px x arccos pPx arccos Px arccosx 0 2 arccos 2 x xFxf XX 2 1 11 1 0 x x 0 0 0 X fxx 例例1 设整数设整数X等可能地在等可能地在1 2 3 4中取值 另一整数中取值 另一整数Y 等可能地在等可能地在1 X中取值 求中取值 求 X Y 的联合及边缘分布列的联合及边缘分布列 解解 1 3 1 4 1 X Y 4321 1 2 3 4 4 1 8 1 4 1 4 1 12 1 16 1 000 8 1 00 12 1 0 16 1 16 1 P Xi Yj i 1 4 1 4 3 2 11 ij iXjYPiXP j P Yjp i P 4 1 4 1 4 1 4 1 j P 48 25 48 13 48 7 48 3 1 1 4 1 2 3 4 P Xi i 2 直接求直接求 P Yj 或或 全概率公式全概率公式 4 1 1 2 3 4 4 ij j i 4 1 1 4 ij i 1 2 3 4j 练习八练习八 5 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 xx ee xf 12 x 求随机变量求随机变量Y g X 的概率分布 其中的概率分布 其中 0 1 0 1 x x xg 1 解解 YP 0 XP dx ee xx 12 0 dx e e x x 1 2 2 0 0 2 arctan x e 2 1 2 1 1 1 1 YPYP Y 1 1 P0 5 0 5 例例2 设某医院一天出生的婴儿数为设某医院一天出生的婴儿数为X 其中男婴数为 其中男婴数为 Y 已知 已知 X Y 的联合分布列为 的联合分布列为 86 6 14 7 14 mnm emYnXP mnm nm 1 0L L 1 0 n 求求X与与Y的边缘分布 的边缘分布 n m mnm n e mnm n nXP 0 14 86 6 14 7 解解 14 86 614 7 e n n L 1 0 n 14 PX 即即 14 6 867 14 n mm P Yme nmm 14 7 14 7 e m m 0 1 m L mn 14 7 PY 14 n 条件分布 条件分布 P Xn Ym P Ym Xn P Xn 7 146 86 0 1 1414 mn m m n Cmn L 二项分布二项分布 习题选讲习题选讲 例例3 设每次实验有设每次实验有l个互不相容的结果个互不相容的结果A1 A2 Al 一 次实验中发生的概率分别为 一 次实验中发生的概率分别为p1 p2 pl 现将该实验独立 重复地进行 现将该实验独立 重复地进行n次 记次 记Xi i 1 2 l 为为n次实验中事件次实验中事件Ai i 1 2 l 发生的次数 求其联合分布列 发生的次数 求其联合分布列 解解 该实验是伯努利实验的推广 其分布是二项分布 的推广 称为 该实验是伯努利实验的推广 其分布是二项分布 的推广 称为多项分布多项分布 M n p1 p2 pl 1122 ll P Xk XkXk L 1 1 k p 1 k n C 2 1 k n k C L 11 l l k n kk C L 2 2 k p l k l p 问题 问题 Xi i 1 2 n L 1 0 1 2 l ii i kinkn L B n pi 课堂课堂练习练习 设楼房有六层 每个乘电梯的人在设楼房有六层 每个乘电梯的人在2 3 4 5 6层 下的概率分别为 层 下的概率分别为0 08 0 14 0 20 0 26 0 32 试求在一 楼乘上电梯的 试求在一 楼乘上电梯的15人中 恰好有人中 恰好有1 2 3 4 5人分别在人分别在2 3 4 5 6层下电梯的概率层下电梯的概率p 解解 记记Xi为在第为在第i 1层下电梯的人数 层下电梯的人数 i 1 2 3 4 5 则 则 12345 1 2 3 4 5 P XXXXX 1 08 0 2 14 0 3 20 0 4 26 0 5 32 0 0 073 1 15 C 2 14 C 3 12 C 4 9 C 5 5 C 注 注 Xi 其联合分布为其联合分布为多项分布多项分布M 15 0 08 0 14 0 20 0 26 0 32 二项分布二项分布B 15 pi 2 二维C R V 的边缘密度2 二维C R V 的边缘密度 x X dudvvufxFxF dudvvuf x X的边缘密度函数的边缘密度函数 2 1 yx X yx fxf x y dyf x y dy Y 的边缘密度函数的边缘密度函数 x y 作图 定限再计算 验证作图 定限再计算 验证 ab y y1 x y y2 x x l x g u G 记记 G f x y 0 2 1 xy Y xy fyf x y dxf x y dx axb 单变量 非负和规范性单变量 非负和规范性 解析法 解析法 等价事件分解等价事件分解 例例2 习题 习题3 20 设 设X B m p Y B n p 且相互独 立 求 且相互独 立 求Z X Y的分布 的分布 kZP 解解 kYXP k i ikYPiXP 0 k i 0 1 iim i m C pp iknikik n ppC 1 0 k ik i mn i C C 1 km n k pp 1 kkm n k m n Cpp 0 1 2 kmn L ZB mn p 考虑从含考虑从含m个黑球和个黑球和n个白球的袋中任取个白球的袋中任取 k个球的组合数 有个球的组合数 有 0 k ik ik mnm n i C CC 二二C R V 函数的分布函数的分布 概率密度概率密度 原理 等价事件替换原理 等价事件替换 分布函数法 分布函数法 已知已知 X Y 的概率密度的概率密度 f x y 求求Z g X Y 的概率密度 的概率密度 1 FZ z P Z z P g X Y z IG zyxg dxdyyxf 2 f Z z FZ z 注注 交有几种形状 则有几个表达式交有几种形状 则有几个表达式 其中其中G f x y 0 作图求出积分 作图求出积分 2公式法 和 最大 最小 公式法 和 最大 最小 分布函数法分布函数法 例例4 常考题型常考题型 设二维随机变量设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为的联合密度函数为 解解 其他 0 1 0 yxyx yxf 求随机变量求随机变量Z X Y的密度函数的密度函数fZ z zYXPzZPzFZ 法一 分布函数法法一 分布函数法 G x y z f x y dxdy I 3 00 11 23 1 3 01 1 1 3 12 zz x zz x dxxy dyzz dxxy dyzzz 0 x y 1 1 G 法二法二 公式法公式法 dxxzxfzfZ 10 10 xz x 2 0 1 1 01 2 12 0 z z xzx dxzz xzx dxzzz zPzFzPzF ZZ 其它 0 21 2 10 2 zzz zz zFzf ZZ ZXY fzfx fzx dx 能否用 注意到被积函数的非零区域G为 注意到被积函数的非零区域G为 x z x z 1 1 1 0 z x 2 G 解解 X FxP Xx 0 0 0 0 1 0 1 x x exV xV 0 min 练习练习1 某电路的电压某电路的电压V E 电压表的最大读数为 电压表的最大读数为V0 求测试电压 求测试电压X的的分布函数 并判断随机变量的类型 分布函数 并判断随机变量的类型 因因X的可能取值不止可列个 且的可能取值不止可列个 且 XV V 0V0 故故X属于混合型随机变量 不存在分布列和密度 属于混合型随机变量 不存在分布列和密度 000 0 XX P XVF VF V 0 P VV 0 V e 0 0 0 0 0 Px P VxxV PxV 1 1 22 22 yxyxf yxyxf yxg100 xy 是二维概率密度函数 若随机变量是二维概率密度函数 若随机变量 U V 有密度函数有密度函数g x y 证明 证明 U V 都服从都服从N 0 1 但 但 U V 不服从二维正态分布 不服从二维正态分布 2 R dxdyyxg dxdy xy yxf yx 1 22 100 dxdyyxf yx 1 22 0 100 1 22 dxdy xy yx 2 R dxdyyxf 1 当当1 22 yx时 时 2 1 22 2 1 yx eyxg 100 xy 200 22 yx 200 1 2 1 e 0 2 2 1 1 0 1 100 x x xy dyx Q g x y dy dyyxf x ydxyxg yxfyxg 同理同理但但 问题 边缘分布为正态分布 则联合分布也必为正态分布吗 问题 边缘分布为正态分布 则联合分布也必为正态分布吗 否 见本题反例否 见本题反例 Exer1 设设R V X Y 在区域在区域G 0 x 1 x y x 上服从均 匀分布 求边缘概率密度函数 判断独立性 求和的分布 上服从均 匀分布 求边缘概率密度函数 判断独立性 求和的分布 Exer2 设设R V X E 和和 Y E 独立 求独立 求Z X Y 2的 密度 的 密度 Exer3 设设R V X N 2 2 和和 Y P Y 1 1 3 P Y 1 2 3 独立 求独立 求Z X Y的分布 的分布 第三章测试第三章测试 Exer1 设设R V X Y 在区域在区域G 0 x 1 x y x 上服从 均匀分布 求边缘概率密度函数 判断独立性 求和的 分布 上服从 均匀分布 求边缘概率密度函数 判断独立性 求和的 分布 0 1 y x y x 解解 Gyx GyxS yxf 0 1 1 X fxf x y dy Y fyf x y dx 2 0 1 0 x x dyx x 其它 1 1 1 1 0 1 0 1 0 y y dxy y dxy y 其它 因在区域因在区域G内内 XY f x yfx fy 故不独立 故不独立 G Exer1 设设R V X Y 在区域在区域G 0 x 1 x y x 上服从 均匀分布 求边缘概率密度函数 判断独立性 求和的 分布 上服从 均匀分布 求边缘概率密度函数 判断独立性 求和的 分布 0 1 y x y x 解解 X Y x y zG Fzf x y dxdy I 1 2 1 2 02 X Y z fzf x zx dxdxzz 1 2 2 2 11 1 2 4 02 x zz x dxdyz zzz x y z z 0时 0时 F FX X Y Y z z 0 0 z 2时 时 FX Y z 1 故故 1 2 02 X YX Y fzFzzz G 或用公式法 有或用公式法 有 Exer2 设设R V X E 和和 Y E 独立 求独立 求Z X Y 2的 密度 用分布函数法 的 密度 用分布函数法 2 2 zYXPzYXPzFZ x y 2z 2z z 0 2z z 0 2 G XY x yz fx fy dxdy I zFzf ZZ 0 0 02 0 2 0 zx yx zy yx zdyeedx zdxeedy 2 2 2 0 2 0 z z ez ez 1 1 0 0 0 222 z lzlzll z 2 2 lzlzFzf ZZ lz 0 3 2 1 0 2 ldzlzlzZE 6 2 2 1 0 222 ldzlzlzZE 18 2 lZD 例例7 设设 X Y 在区域在区域A上服从均匀分布 其中上服从均匀分布 其中A是由直 线 是由直 线x 0 y 0和和 x y 2 围成的三角形区域围成的三角形区域 求求E X E Y E X Y E XY 1 0 x yA f x y 其它 解解 x 10 2 y 1 2 y x 2 1 0 2 1 01 0 x X dyxx fxf x y dy 其它 1 0 2 1 1 3E Xxx dx E Y dxdyyxyf 2 0 2 1 0 y ydxdy2 3 E XYE XE Y 2 0 2 1 0 y xydxdyXYE 2 0 2 6 1 2 1 2 dx yy 3 2 3 1 1 32 31 G 注注 已知已知f x y 求求E g X E g Y 也用定理也用定理4 2 解解 Z FzP Zz 1 1 1 1 P YXzP YXz 1 1 1 1 P YP XzP YP Xz Exer3 设设R V X N 2 2 和和 Y P Y 1 1 3 P Y 1 2 3 独立 求独立 求Z X Y的分布 的分布 12 1 1 33 XX FzFz Z Z fzFz 故故 12 1 1 33 XX fzfz 22 22 11 1 21 1 expexp 323222 zz zYXP 习题选讲习题选讲 练习练习11 3 从一大批产品中逐个随机抽取检查 一旦发 现废品就认为该批产品不合格而停止检查 若抽查到第 从一大批产品中逐个随机抽取检查 一旦发 现废品就认为该批产品不合格而停止检查 若抽查到第n0 件仍未发现废品就认为该批产品合格而停止检查 件仍未发现废品就认为该批产品合格而停止检查 设产 品的废品率为 设产 品的废品率为p 问平均要检查多少件产品 问平均要检查多少件产品 kXP 解设解设X为所检查产品的件数 则为所检查产品的件数 则 pp k1 1 1 2 1 0 nkL 000 11 0 1 1 1 nnn PXnpppp 1 0 1 1 1 0 0 1 1 n n k k pnppkXE 1 1 0 n k k qp 0 1 0 1 n qp n q 1 0 0 0 1 1 1 n n qn q q p p p n0 1 1 练习练习11 2 11 5 11 6 练习练习3 设设n 个人从个人从n顶帽子中任取一顶 顶帽子中任取一顶 X为取到自己 帽子的人数 求 为取到自己 帽子的人数 求E X 练习练习1 某学生沿操场某学生沿操场400米跑道跑步 他最多跑米跑道跑步 他最多跑600米 会在途中任一处停下来 然后再沿着跟起点最近的一侧 跑道跑回去 求其跑回来的平均距离 米 会在途中任一处停下来 然后再沿着跟起点最近的一侧 跑道跑回去 求其跑回来的平均距离 练习练习2 设设X N 0 1 与与Y N 0 1 相互独立 相互独立 max X Y min X Y 求求E E 练习练习1 某学生沿操场某学生沿操场400米跑道跑步 他最多跑米跑道跑步 他最多跑600米 会在途中任一处停下来 然后再沿着跟起点最近的一侧 跑道跑回去 求其跑回来的平均距离 米 会在途中任一处停下来 然后再沿着跟起点最近的一侧 跑道跑回去 求其跑回来的平均距离 解解 0200 400 200400 400 400600 XX Yg XXX XX 200400600 0200400 1 400 400 600 200002000020000 100 600 X EYE g Xg x fx dx xdxx dxxdx 定理定理4 1 X U 0 600 且 且 记记X为其首次跑过的路程 为其首次跑过的路程 Y为其跑回的路程 则为其跑回的路程 则 练习练习2 设设X N 0 1 与与Y N 0 1 相互独立 相互独立 max X Y min X Y 求 求E E 解解 XY max Ex y f x y dxdy XYXY x yx y xfx fy dyyfx fy dy 2 XY x y xfx fy dy 求求E 用用定理定理4 2 见教材 见教材P110 22 2 2 2 2 yx y edyxedx 211 y edy 1 EEXEYE 练习练习3 设设n 个人从个人从n顶帽子中任取一顶 顶帽子中任取一顶 X为取到自己 帽子的人数 求 为取到自己 帽子的人数 求E X 解解 1 1 2 0 i i Xin i L 第 个人取到了自己的帽子 则 第 个人未取到自己的帽子 从而 1 n i i XX 1 1 1 1 1 0 0 1 n i i n ii i EXEX P XP Xn n 定理定理4 3 非独立同非独立同0 1分布分布 例例1 将将 r 只球随机放入只球随机放入 n 个盒子中个盒子中 求平均空盒子数 求平均空盒子数 解解设总的空盒子数为设总的空盒子数为X 则 个盒子不空第 个盒子为空第 ni i i X i 2 1 0 1 L 从而 1 n i i XX 11 1 1 0 0 1 nn iii ii r EXEXP XP X n n n 非独立同非独立同0 1分布分布 例例2 设产品尺寸设产品尺寸X N 1 利润利润 解解 求求 使销售一个零件的平均利润最大 使销售一个零件的平均利润最大 X X X T 12 5 1210 20 10 1 dxxfxTTE 10 1 XP 5 12 25 10 21 d TdE 0 12 25 10 21 12 10 21 25 9128 10 10 12 22 2 1 e 12 1 5 10 12 20 10 FFFF 21 10 25 12 5FF 4 2 方差方差 XEXE 2 XEXE 定义若定义若E X 2 存在 则称存在 则称 D X E X EX 2为为X 的方差 的方差 2 22 EXXEXXEXD 22 EXXE D R V i ii pXExXD 2 22 EXpx i ii dxxfEXxXD 2 22 EXdxxfx C R V XD称为称为X的均方差或标准差 的均方差或标准差 连续型对称分布连续型对称分布 其它其它 已知一维分布 由定理已知一维分布 由定理4 1求解 求解 已知联合分布 由定理已知联合分布 由定理4 2求解求解 Exer1 设市场每月对某商品的需求量设市场每月对某商品的需求量X 吨吨 U 2000 4000 售出售出3万元万元 吨吨 未售出需保管费未售出需保管费1万元万元 吨吨 问应组织多少吨 货源才能使平均收益最大 问应组织多少吨 货源才能使平均收益最大 Exer2 设随机变量设随机变量X N 0 0 5 与与 Y N 0 0 5 相互独立 求 相互独立 求E X Y 和和 D X Y Exer3 设导弹弹着点设导弹弹着点 X Y N 0 0 2 2 0 求弹着点到 目标 求弹着点到 目标 原点原点 的平均距离 的平均距离 Exer2 提示 法提示 法1 先求得联合概率密度 再用定理先求得联合概率密度 再用定理4 2求解 法 求解 法2 先求得先求得X Y的分布 再用定理的分布 再用定理4 1求解求解 见见P69例例4 26 aXbYc N 12 abc 2222 12 ab 独立时 独立时 第四章测试题第四章测试题 Exer1 设市场每月对某商品的需求量设市场每月对某商品的需求量X 吨吨 U 2000 4000 售出售出3万元万元 吨吨 未售出需保管费未售出需保管费1万元万元 吨吨 问应组织多少吨 货源才能使平均收益最大 问应组织多少吨 货源才能使平均收益最大 解 设应组织解 设应组织a吨货源 收益吨货源 收益 3 2000 3 4000 XaXXa Yg X a aX 其中其中0 1 N 0 1 分布的分布的 上侧分位数记为上侧分位数记为u 则 1 1 u 11212 min max nnn XXXXXXXX LL 分别称为极小和极大统计量 分布 分布 minmax 1 1 nn FxF xFxFx 问题 问题 如何估计如何估计E g X 和和E g X EX 答 答 对对n个样本个样本 g Xi 和和g Xi 取算术平均值 取算术平均值 X 因因F P X 1 故故 F 1 1 练 习练 习 0 90 1 25 10 F 2 设设X N 0 1 则 则X2 3 设设T t n 则则T2 T 2 4 设设X N 0 1 与与Y N 0 1 独立 则独立 则 X2 Y2 1 2 1 nF 1 nF 1 1 F 0 10 1 1 10 25 0 5348 1 87 F 5 设设X1 X2 X2n是来自是来自N 0 0 2 2 的样本 则的样本 则 222 1321 1 222 242 1 n n XXX Y XXX L L 1321 2 222 242 2 n n XXX Y XXX L L F n n t n 例例1 SXE 解 解 设设X1 X2 Xn是取自总体是取自总体N 0 0 2 的样本 则的样本 则 21 0 XNnXS 与独立 1 ntn S X 0 1 SEXESXE或或 0 n S X E 0 S X E 7 2 点估计点估计 一 矩法一 矩法 1 理论依据 理论依据 1 1 lim 1 22 S n i i XX n S 1 2 1 故故 注意 注意 矩法估计的原理和极大似然估计不同