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第27卷 第4期 岩石力学与工程学报 Vol 27 No 4 2008 年 4 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering April 2008 收稿日期 收稿日期 2007 10 10 修回日期 修回日期 2008 01 12 基金项目 基金项目 国家重点基础研究发展计划 973 课题 2007CB209404 国家自然科学基金重点项目 40638040 作者简介 作者简介 梁正召 1977 男 博士 2005 年于东北大学获博士学位 现任讲师 主要从事岩石等脆性材料破坏及其工程稳定性数值模拟方面的教 学与研究工作 E mail Z Z Liang 准脆性材料的物理力学参数随机概率模型准脆性材料的物理力学参数随机概率模型 及破坏力学行为特征及破坏力学行为特征 梁正召 唐春安 张永彬 马天辉 大连理工大学 岩石破裂与失稳研究中心 辽宁 大连 116024 摘要 摘要 结合数值计算分析 讨论几种采用常见随机分布函数来实现的非均匀性弹性损伤模型 定义随机概率模型 的非均匀性指标 并采用数值模拟方法研究这些随机分布函数的概率模型在载荷作用下的破坏过程 对比分析几 种概率模型的合理性与适用性 同时也探讨物理力学参数随机分布的相关性的影响 研究结果表明 无论是采用 哪种分布函数 比较均匀的试样强度较高 并且表现出具有更加脆性破坏特征 而随机分布模型中力学参数的相 关性对材料的破坏力学行为影响很大 采用对数正态分布函数来描述岩石类材料的非均匀性比较合理 也可以纳 入非均匀概率模型库中 相比较而言 Weibull 随机分布模型具有物理概念清晰 应用较简单的特点 统计损伤理 论中很难考虑破裂局部化等问题 基于统计理论上的数值计算实现简单方便 适用范围更广 在细观力学和统计 强度理论基础上 将损伤力学与计算机技术相结合将是一种有前途的分析方法 关键词 关键词 数值模拟 随机分布 非均匀性 破坏 本构关系 中图分类号 中图分类号 O 242 文献标识码 文献标识码 A 文章编号 文章编号 1000 6915 2008 04 0718 10 ON PROBABILITY MODEL OF PHYSICO MECHANICAL PARAMETERS OF QUASI BRITTLE MATERIALS AND ASSOCIATED MECHANICAL FAILURE BEHAVIORS LIANG Zhengzhao TANG Chun an ZHANG Yongbin MA Tianhui Center of Rock Instability and Seismicity Research Dalian University of Technology Dalian Liaoning 116024 China Abstract Based on the statistical theory and elastic damage theory constitutive relation of quasi brittle material model was discussed Heterogeneity was introduced into the numerical model assigning mechanical parameters throughout the numerical specimens by following Weibull distribution function normal distribution function even distribution function or logarithmic normal distribution function Firstly heterogeneity index was defined in the models with different distribution functions By using a numerical code RFPA3D fracture process of quasi brittle material was investigated by different statistical distribution functions and the complete stress strain curves peak strength and AE serials were all obtained to analyze the mechanical failure behaviors The mechanical behaviors obtained in the heterogeneous numerical model implemented by using logarithmic normal distribution function were similar to that in Weibull distribution function The nonlinear and the brittle failure behaviors become more obvious in more homogeneous models and the peak strength increases with the homogeneity Numerical results compared with laboratory test results and analytical results show both Weibull distribution and logarithmic normal distribution functions are more reasonable and reliable for elastic damage model Weibull distribution function is 第 27 卷 第 4 期 梁正召 等 准脆性材料的物理力学参数随机概率模型及破坏力学行为特征 719 the most simple and convenient one among these related distribution functions Compared with damage model based on statistical theory numerical modeling is an efficient and convenient method to consider the heterogeneity in many scales and complicated boundary conditions in quasi brittle materials The combination of damage theory and computing method is a promising approach to resolve the stochastic problems due to the heterogeneities in quasi brittle materials Key words numerical simulation random distribution heterogeneity failure constitutive relationship 1 引引 言言 岩石混凝土类材料是一种具有复杂力学性质的 非均匀准脆性材料 以往较多的研究将此类准脆性 材料受力后变形和断裂过程的非线性归结为弹塑 性 用宏观上的弹塑性理论来表述 然而 这种基 于经典力学理论的力学模型忽略了岩石材料内部细 观结构的非均匀性 不足以表达岩石混凝土变形整 个过程所表现的复杂性 事实上 在一个统一的变 形场中 微破裂不断产生的原因除了载荷不均 形 态不够光滑等结构因素形成应力集中外 更主要的 是细观单元体力学性质的不均匀性 因此 可以认 为材料的非线性特征与其细观非均匀性有直接联 系 1 将细观力学的思想应用到岩石破坏问题中 假 定细观尺度的单元力学性质服从某种既定的分布 并沿用连续介质力学方法描述单元的行为 通过弹 性模量和强度等力学性质的弱化或退化描述单元的 损伤 引入简单的细观本构关系 来分析准脆性材 料的破坏过程 这是当前脆性材料破坏分析最常用 的研究思路 2 9 确定材料细观单元的材料物理力 学性能的概率分布 以形成细观概率体元 probability volume element PVE 是对岩石 混凝土等准脆 性材料进行弹性损伤模拟分析的基础 也是基于弹 性损伤模型的有限元岩石破裂过程分析系统为材料 非均匀赋值的依据 8 9 唐春安等 8 10 在细观统计理论的基础上 建立 了各种损伤本构模型 还有学者将破坏准则作为 物理力学参数通过随机分布引入到材料的非均匀性 中 4 5 11 12 但是基于统计理论基础上的准脆性材 料本构关系适用条件有限 推导过程复杂 难以满 足复杂的边界条件 也难以具有一般性 相比之下 数值计算方法提供了更为方便 更加强大的分析功 能 对于岩石类材料物理力学性质的概率分布函数 及其统计参数 通常需要经过实验与实际勘测最终 确定 但就理论而言 可以先采用一定的分布假设 然后通过分析来检验这种假设 目前有两种途径来 检验这种假设 一种方法是推导在此假设上建立的 本构关系 与岩石实验结果或现有的理论结果相比 较 另一种方法就是采用数值分析手段 引入这种 概率模型 通过数值模拟对比岩石实验结果或者现 有的理论结果来进行验证合理性 张 明等 7 针对 RFPA 软件中的 Weibull 概率体 元模型展开了详细讨论 认为对数正态分布的概率 体元模型可以纳入岩石破坏过程分析系统的分布类 型库中 在 RFPA 中只是单一的考虑 Weibull 分布概 率体元 其他概率分布体元并没有进行讨论 本文 将多种常见的概率分布引入数值模型中 拟采用数 值模拟方法来进行分析这些概率模型的特征 首先 介绍了基于统计随机概率分布建立的准脆性材料损 伤破坏过程的本构关系 然后 利用数值模拟软件 研究不同随机分布方法与分布参数对准脆性材料破 坏过程的影响 进而分析几种概率体元分布类型 包 括正态分布 Weibull 分布 平均分布以及对数正态 分布 的适用性 最后 针对细观统计损伤理论进一 步展开了讨论 2 细观损伤统计本构关系细观损伤统计本构关系 岩石类材料的破裂过程其实是岩石内部缺陷不 断损伤演化的一个过程 在一单向受压的岩石试样 中各微元的强度服从统计规律 根据损伤参量的表 达式可以得到岩石破裂过程的本构关系 8 x S x S Ed 2 1 exp 2 1 1 0 2 0 1 式中 为岩石的荷载 为微元强度参数 E 为 初始弹性模量 0 为微元强度的均值 S 为方差 如果假设微元的强度分布函数满足 Weibull 分 布 也可以得到描述岩石应力 应变全过程曲线的 本构方程 m EDE 0 exp 1 2 720 岩石力学与工程学报 2008 年 式中 a为Weibull分布参数 反映了微元强度的整 体效应 m为分布的非均匀程度 其值越大表示分 布越均匀 0 并非Weibull分布的均值 只有当m 大到一定程度时才很接近其均值 式 2 两边对 取 导数 在峰值处有 m E 0 max maxmax 1exp 3 由此可得 max max maxlnln 1 ln 1 EE E m 4 进一步可以得到用最值表述的本构方程 m m EDE max 1 exp 1 5 由式 4 5 可知 基于Weibull函数的强度分 布模型在某一时刻的损伤参量和应力状态与材料的 弹性模量 峰值强度以及应变和该点的应变有关 由式 3 可知 m为弹性模量和峰值点割线模量的函 数 并且当弹性模量一定时 m越大 max E也越大 说明此时岩石材料脆性越强 相反 m越小 max E也 越小 说明此时岩石材料塑性越强 形状参数将大 大影响材料的损伤演化 在上面的假设中 材料的弹性模量是均匀分布 的 材料的弹性模量是完全相同 假设两参数的 Weibull分布概率密度函数中的弹性模量和破坏强 度相互独立 设 321 f sfs和 EfE分 别是应变场 强度和弹性模量的分布密度函数 弹 性模量和强度分布分别独立 则联合密度函数可表 示为 sfEfsEf sEEs 6 根据弹性模量分布的密度函数 EfE和连续介 质损伤力学应力和应变之间的关系 E 7 假设求得应变场的概率密度函数为 21 f 3 应变场和强度分布密度的联合密度函数可表 示为 321321 sffsf s s 8 引入用应变表示的破坏准则 321 sg 0 于是可以求得破坏单元的概率 321 gP s ssf sg s dddd 321321 321 9 于是有 321 gPD s ssf sg s dddd 321321 321 10 同样式 10 也可以通过应力场和强度的概率密 度函数来表达 于是岩石的本构关系可以表示为 2 1 kkijijij GD ssf sg s dddd 1 321321 321 2 kkijij G 11 在简单应力条件下 上述推导还可以得到解析 解 但是依然很复杂 复杂应力或边界约束条件下 式 11 基本上无法求解 因此一般情况下只能借助 于数值计算方法 需要指出的是 在表征岩石类准 脆性材料的力学参数中 除了弹性模量和抗压强度 之外 还有抗拉强度 泊松比 密度 渗透性 热 膨胀性等其他物理力学参数 显然 如果同时考虑 所有的力学参数是不可能的 本文的数值计算中也 只初步讨论强度与弹性模量的分布相关性的影响 3 非均匀系数的定义非均匀系数的定义 在弹性损伤分析中 目前尚不能从理论上推导 出准脆性材料性能的分布函数 一个简单的改进途 径也许是尝试其他不同的强度概率分布形式 7 虽 然很多分布函数都可以描述岩石等准脆性材料力学 性质的非均匀分布特性 但是不同的概率分布函数 没有统一的描述随机分布离散性的方法 因此有必 要根据不同的概率分布函数来寻求合理的非均匀系 数定义 这也是展开数值模拟研究的基础 3 1 均匀分布均匀分布 计算机很容易生成 0 1 区间均匀分布的随机 数 利用 0 1 均匀分布的随机数可以产生任意分 布的随机数 主要方法有反函数法 舍选法 离散 逼近法 极限近似法和随机变量函数法等 对任意 a b 在 a b 上均匀分布的概率密度函数为 1 1 0 bx bxa ax abxf 12 因此 如果给出了在 0 1 上均匀分布的随机 数 i u 则可以得到其分布函数 第 27 卷 第 4 期 梁正召 等 准脆性材料的物理力学参数随机概率模型及破坏力学行为特征 721 x a i u ab ax ab x xF d 13 由此可得 i uabax 14 期望值uabxE 2 这里引入一个平 均分布的d 见图1 来描述平均分布的离散程度 2 abd 15 变换后可知 dua dub 图 1 均匀分布中期望偏差的定义 Fig 1 Definition of deviation of expected value in even distribution 为了讨论的方便 定义一个变异系数来表示材 料力学参数的离散程度 可以表示为期望偏差和期 望值之比 ab ab u d v 16 如同正态分布的方差一样 v越大 表明岩石 试样的力学参数分布范围越广 离散性越大 3 2 Weibull 分布分布 Weibull分布的密度函数为 x x mxf m m exp 0 17 分布函数为 m x xF exp1 18 反函数变换为 m x u exp1 19 如果u为 0 1 上的随机数 可以得到Weibull 分布的随机数的计算公式 m ux 1 1ln 20 这里的m可以看作是非均匀系数 m越大 材 料越均匀 3 3 正态分布正态分布 由于正态分布函数无法显示通过分布密度函数 积分得到结果 所以通常可以采用数值积分的办法 得到 但是数值积分比较麻烦 如果生成的随机数 力学参数非常多 可以采用变换法 极值法或者估 计法 取2个独立的 0 1 区间上的均匀随机数 1 u和 2 u 利用二元函数变换可得 2cos ln2 2 2 1 11 uux 21 2sin ln2 2 2 1 12 uux 22 式中 1 x 2 x 为 2个相互独立的标准正态分布的随 机变量 于是任意正态分布 2 N的随机数为 2cos ln2 2 2 1 11 uuux 23 2sin ln2 2 2 1 12 uuux 24 正态分布是一种比较常用的分布 可以采用期 望值 和方差S来描述 为了方便起见 这里采用 一个变异系数来描述正态分布的离散程度 S v 25 变异系数v越大 表示材料物理力学参数分布 离散度越大 材料更加不均匀 3 4 对数正态分布对数正态分布 对数正态分布在结构可靠度理论中普遍采用作 为结构抗力概率分布 13 15 张 明等 7 从理论上分析 了材料性能参数服从对数正态分布 谢 涛等 16 的研 究结果表明 对数正态分布模型能够较好地反映岩 石与混凝土内部细观结构断裂韧度的分布规律 岩 石的破坏与其细观结构密切相关 可以认为岩石的 力学性能参数随机分布与结构构件的抗力分布类 似 对数正态分布的概率密度函数与分布函数可分 别表示为 2 2 2 ln exp 2 1 ux x xf 26 x xF ln 27 式中 为分布参数 可以根据实验来确定 令 xYln 那么Y服从 2 N的正态分布 因此 首先根据式 26 27 获得Y 2 N的正态随机 分布变量 1 y与 2 y 于是可以得到变量 1 x与 2 x 11 expyx 28 22 expyx 29 f x x u d u u d d d o 722 岩石力学与工程学报 2008 年 4 参数随机分布对损伤破坏过程的 影响 参数随机分布对损伤破坏过程的 影响 鉴于Weibull分布条件下的数值模拟情况作者 9 已有介绍 由于篇幅限制 本文只讨论正态随机分 布 平均分布 对数正态分布以及弹性模量与强度 独立分布情况下的数值模拟结果 4 1 正态随机分布正态随机分布 在下面的模拟中 正态分布的期望值 20 000 MPa 变异系数v分别取50 60 70 80 和 90 与Weibull分布有所不同的是 正态分布的参 数值可能小于0 在数值计算中需要特殊处理 图2为正态分布下非均匀性对岩石破裂过程中 的轴向应力 位移关系曲线的影响 由式 25 可知 当v越大时 表示正态分布的方差越大 远离均值 附近的单元就越多 岩石的随机分布更加离散 应 力 位移曲线正好反映了非均匀性对岩石破裂全过 程的影响 就是岩石的强度随着均匀性的增加而提 高 其残余强度随着均匀性的增加而减小 在均匀 性最高的时候会出现脆性破裂 并且破裂前的线性 增强 数值模拟结果和解析解在这方面是一致的 需要注意的是 随着均匀程度的降低 岩石的强度 迅速降低 当 v90 和80 时峰值强度已经接近一 个定值 而从理论上讲 当 v0 时 岩石表现出 来的宏观强度应该等于其均值 图3为正态分布条 件下不同非均匀性岩石试样的破坏状态 在非均匀 性较强的情况下 最后形成多个细碎的破裂面 并 且在岩石的一端破裂单元较多 岩石变形较大 声 发射空间分布非常弥散 随着均匀程度的增加在岩 石中逐渐形成一个破裂面剪切破裂 岩石试样沿着 破裂面分成两半 呈现出很强的脆性破裂 这些特 征和采用Weibull随机分布的破裂特征非常相似 图 2 正态分布下非均匀性对岩石破裂过程中的轴向 应力 位移关系曲线的影响 Fig 2 Complete axial stress strain curves for numerical specimens with different coefficients of variation v under normal distribution a v 90 b v 75 c v 50 d v 25 图 3 正态分布条件下不同非均匀性岩石试样的破坏状态 Fig 3 Failure modes of rock samples with different heterogeneities under normal distribution 4 2 平均分布平均分布 正态分布的变异系数v分别取30 40 50 70 80 90 95 98 如同正态分布的方 差一样 期望值的偏差越大 表明岩石试样的力学 参数离散性越大 其分布范围越广 弹性模量均值 为 20 000 MPa 强度均值为100 MPa 其他条件采用 默认值 图4给出了匀随机分布下非均匀性对岩石破裂 过程中的应力 应变关系曲线的影响 可以看出 在均匀分布情况下 平均分布的变异系数v比值可 以描述岩石的非均匀性 和Weibull分布下的均质 度系数相似 变异系数越大 对应的岩石非均匀性 越强 反之 均匀性越强 4 3 对数正态分布对数正态分布 根据式 26 这里分别取 0 10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 60 0 70模拟从非常均匀 均匀到极 不均匀的岩石单轴压缩实验 图5为对应的对数正 态分布条件下的应力 应变关系曲线 虽然单元均 值相同 但是随着 的增加 材料由均匀逐渐向非 均匀转变 岩石的脆性破坏程度逐渐减弱 峰值强 第 27 卷 第 4 期 梁正召 等 准脆性材料的物理力学参数随机概率模型及破坏力学行为特征 723 图 4 均匀随机分布下非均匀性对岩石破裂过程中的 应力 应变关系曲线的影响 Fig 4 Influence of heterogeneity index on stress strain curves for numerical specimens under even distribution 图 5 对数正态分布条件下的应力 应变关系系列曲线 Fig 5 Complete stress strain curves for numerical models with different values of under logarithm normal distribution 度逐渐增加 非线性变形更加明显 残余强度相对 也逐渐提高 因此 对数正态分布的 可以体现不 同非均匀性的岩石类准脆性材料的力学变形与破坏 特征 随着均质度的增加 岩石的峰值强度逐渐提高 岩石在达到峰值前期的破裂单元数目越少 在达到 峰值强度时对应的轴向应变和破裂单元数目也逐渐 增加 最终破裂释放的累积能量也逐渐增加 随着 均质度的增加 岩石破裂表现出明显的延性破裂逐 渐向强烈的脆性破裂转变 在峰值强度之前岩石的 非线性变形逐渐向线性转变 单从这一点来看 对 数正态分布条件下表现出来的变形特征同Weibull 分布 正态分布以及平均分布比较接近 4 4 弹性模量和强度随机分布的独立性弹性模量和强度随机分布的独立性 首先采用Weibull分布函数随机生成单元的弹 性模量 然后根据所有单元弹性模量的期望值和强 度的期望值来确定单元的强度 这样就可以保证单 元强度 弹性模量的一致性 单元的强度和弹性模 量以及所有单元的弹性模量期望值 强度的期望值 服从如下关系 i i E E 即 iii kEE E 21 Ni L 其中弹性模量和强度的期望值是常数 可以认 为单元的弹性模量和强度服从简单的线性关系 设 弹性模量的随机分布概率密度为 2 2 2 exp 2 1 s EE s EfE 30 kEEg 31 k hE 32 2 2 2 exp 2 1 1 1 ks Ek s kk f k f E 33 KEs 2 ksEkN 34 这说明弹性模量服从正态随机分布或均匀分布 的情况下 单元强度也是服从相同的随机分布 同 理可以证明 如果弹性模量服从平均分布 满足线 性条件的强度变量也服从平均分布 如果弹性模量 服从Weibull分布 根据式 34 所得到的强度变量并 不服从Weibull分布 但是这并不影响强度与弹性 模量分布的线性相关性 分别取 m1 3 1 7和2 0进行对比 一组是弹 性模量和强度相互独立 一组弹性模量和强度线性 相关 考察相关性破裂过程的影响 试样尺寸为80 mm 40 mm 40mm 网格划分为40 20 20 16 000 个单元 残余强度系数为0 05 采用单轴压缩加载 方式直到试样破裂 图6分别为 m1 3 2 0两种非均匀条件下的 应力 应变关系曲线 为了便于对比 将同一种分 布情况的几种不同均质度压缩实验曲线放到相同 的坐标轴下 见图7 图8为不同均质度下的峰值 强度关系以及不同分布情况下的峰值强度关系 从 图6 8可以看出下面的规律 1 弹性模量和强度线性规律分布下的峰值强 度比独立分布下的峰值强度要高很多 从拟合的曲 线来看 前者大致是后者的2倍 2 弹性模量和强度相关分布下的试样表现出 很强的脆性破裂 应力 应变曲线在破裂前保持近 似的线弹性关系 而在突然破裂后应力水平几乎保 持不变 而弹性模量和强度独立分布下试样在破裂 724 岩石力学与工程学报 2008 年 图 6 弹性模量和强度线性相关性对不同均质度岩石 试样破裂过程中的应力 应变关系的影响 Fig 6 Influences of dependence of elastic modulus and strength on stress strain curves for heterogeneous specimens 图 7 弹性模量和强度线性的相关性对不同均质度岩石 试样破裂过程的影响 Fig 7 Influences of linear dependence of elastic modulus and strength on stress strain curves for heterogeneous specimens 图 8 弹性模量和强度的相关性对岩石峰值强度的影响 Fig 8 Influences of dependence of elastic modulus and strength distribution on peak strength of rock specimens 过程中表现出很强的非线性性 特别是在均质度很 低的情况下更是如此 相对相关分布而言 应力升 高和达到峰值之后的应力降低都是渐进式的 5 细观统计损伤理论的讨论细观统计损伤理论的讨论 虽然基于统计基础上的岩石细观损伤力学抓住 了岩石材料内部细观物理力学性质的非均匀性 建 立了细观物理性质和宏观现象之间的联系 但是这 种联系过于简单 在实际岩石力学和工程中应用还 值得探讨 首先 尽管基于统计基础上的细观损伤力学建 立了各种各样的理论模型 但是这些仅研究了微缺 陷的演化到宏观裂纹的形成这一阶段 而后一个阶 段 劣化阶段 包括裂纹的扩展和相互作用导致宏 观破裂 尚不能考虑 统计损伤模型的建立对于研 究材料的初始缺陷分布具有重要意义 但是缺陷如 何演化及材料破坏前后材料力学参数的变化更为关 键 更重要的是 岩石结构和构造复杂 存在不连 续性和非均匀性的问题 岩石的非均匀性是跨尺度 的 不仅在微观和细观上存在各种微缺陷 在宏观 上也存在各式各样大尺度的裂隙和节理 这在统计 损伤力学中很难考虑的 特别是破裂过程中局部破 裂间的相互作用和破裂局部化等问题 细观统计损 伤力学也难以处理 严格来说 这些理论本质上基 于最弱联接理论 weakest link theory 10 材料的每 一部分都是按同样的方式相互作用 忽略了毗连的 其他部分失效概率的空间相关性 按 Weibull 理 论 实际上仍然为一维问题 由于不能反映损伤的 非局部特征 应用于准脆性材料肯定会出现尺寸效 应 理论结果与实验结果差异较大 7 15 其次 岩石破坏后的残余强度和残余变形特征 对于研究岩石和岩石工程的破裂过程问题尤其重 要 基于伤力统计理论基础建立的各种应力 应变 关系难以描述卸载时的残余变形及破坏后的残余强 度 假定岩石微元体强度服从随机函数分布 只是 对岩石宏观损伤过程全程曲线数学上的简单描述 单元 微元 达到承载极限之后 其承载能力变化及 其对周围单元 微元 承载和变形的影响更为重要 在相关研究 11 12 中 尽管在峰值前拟合曲线与实验 比较一致 但峰后曲线部分差别较大 另外 基于统计技术上的损伤力学模型只能考 虑简单条件下的加载破坏问题 对于实验室复杂的 第 27 卷 第 4 期 梁正召 等 准脆性材料的物理力学参数随机概率模型及破坏力学行为特征 725 破坏力学实验以及复杂工程结构问题 例如对于含 有宏观裂纹或节理的岩石或岩体 都难以应用 本 文虽然只是选择简单的单轴压缩破坏过程模拟 但 是由于考虑到非均匀性的影响 数值试样内部依然 是三维应力状态 特别是当破坏局部化形成之后 应力状态更为复杂 这都是维象损伤理论难以考虑 的 6 参数分布函数类型的选择参数分布函数类型的选择 正态分布的随机变量取值范围为 在 数值计算中不可避免随机参数出现负值的可能 特 别是当材料的非均匀性比较强 材料力学参数分布 更为离散的情况下 数值模型中出现负值的单元机 会更多 在数值计算中只能将这些样本剔除 重新 生成样本 如果在极不均匀条件下生成的概率模型 可能就并不服从正态分布 因此 从物理与数学意 义上来说 正态随机分布并不合适 从数值模拟结 果来看 正态随机分布条件下 应力 应变曲线的 形式比较单一 即使对于 v90 的极不均匀试样 其破坏也表现出较强的脆性特征 在 v25 50 75 的3种情况下 3种试样力学参数分布离散性 相差很大 但是其峰值强度以及应力 应变关系曲 线性状却比较接近 这是不符合物理实际的 为保 证概率弹性损伤分析在理论上的严格性 最好不要 使用正态随机分布 在平均分布概率条件下 从应力 应变曲线来 看 残余强度随着均匀性的变化差别不大 也难以 体现岩石类准脆性材料破坏后的力学行为特征 在 实际工程应用中 分布大多采用正态分布 Weibull 分布或对数正态分布 平均分布也一般不予采用 张 明等 7 认为 在RFPA分析系统中应该提供 对数正态随机分布材料库 并且对比分析了不同岩 石的规则化简单拉伸和压缩全应力 应变曲线 采 用统计损伤理论可以得到一维应力作用下对数正态 随机分布条件下的本构关系曲线 见图9 a 图9 b 为3种岩石具有代表性的荷载 位移全过程曲线 17 其中 花岗岩代表脆性比较强的一类岩石 表现出 非稳定断裂破坏特点 对应于 0 0 0 1情况下的 对数正态随机分布 大理岩代表典型的稳定性断裂 破坏 对应于 0 3 而白云岩可以认为是介于两 者之间的破坏类型 对应于 0 1 0 3 a 一维应力作用下对数正态随机分布条件下的本构关系曲线 b 物理实验结果 17 图 9 一维条件下的理论与物理实验对比分析 Fig 9 Comparison between theoretical results and laboratory experimental results in one dimension 将本文节4 4中数值模拟结果曲线与S Okubo 和K Fukui 18 中物理实验结果进行对比分析 图10 给出了数值模拟结果与物理实验结果的对比 图中 安山岩呈现出脆性破坏特征 这与数值模拟结果 0 3比较接近 大理岩呈现出稳定的断裂破坏特 性 这与数值模拟结果中 0 6比较接近 随着 的增大 岩石表现出从脆性破坏到延性损伤破坏特 点 RVE 的材料性能 7 可表示为 pak KKKm 35 式中 为材料性能参数 K 为分析中选定的标 准性能值 m K a K和 p K分别为材料性能 尺寸和 计算模式的不定性系数 其中 m K又可表示为岩石 结构 孔隙度等系数的乘积 根据概率论中心极限 定理 当样本容量趋于无穷大时 若某随机变量为 若干相互独立 影响相近的随机变量的乘积 则其 渐近地服从对数正态分布 这样不论 的影响因素 为何种分布以及多么复杂 均有理由假定 服从对 数正态分布 E 0 726 岩石力学与工程学报 2008 年 a b 图 10 数值模拟与物理实验结果的对比 Fig 10 Comparison between numerical results and laboratory experimental results 中心极限定理只是给出了材料随机参数数量统 计上可能服从对数正态分布的理论基础 当然 材 料力学参数的随机分布不仅包括数量统计上的随机 分布 还包括材料力学参数空间上的随机分布 假 设图11中的2个二维模型中的单元性质在数目上服 从同样的概率分布 但是空间排布上有所不同 很 显然 两者的破坏力学行为将大相径庭 在物理力 学载荷作用下 这些力学参数在数量和空间上的随 机分布在应力集中 破坏局部化过程中还相互影 响 相互作用 一个可行的办法就是在数值模型中 采用随机分布来产生材料的力学性能参数 通过数 值模型中参数的空间上随机投放来实现这些参数的 空间随机分布 进一步通过应力分析 破坏分析来 实现这些参数的相互影响与相互作用 岩石等准脆 性材料的非均匀性包括宏观上与细观上的非均匀 性 本文限于细观非均匀性特征的讨论 如果在数 量上随机分布的细观软弱单元在空间上有机的组织 成一定规模 可以认为是节理或裂纹 这时候细观 缺陷就达到了另外一个尺度 宏观非均匀性 a 缺陷有机组成带状 b 缺陷杂乱分布 图 11 缺陷数量上相同分布 空间排布不同的两个二维 模型示意图 Fig 11 Sketch map of 2D models containing defects with the same distribution function and different spatial distributions 当然 对于一组数据 可能多个模型都能适合 在很多的实际应用中 基于物理机制与理论分析 较多的采用了对数正态或Weibull分布 在数值模 拟中 可以优先采用Weibull分布或者对数正态分 布 然后根据多组非均匀试样的实验数据来进行综 合分析 依据峰值前后的非线性变形特征 峰值强 度与残余强度的变化特征来确定 值得注意的是 对数正态分布中 与 并不是 材料参数的均值与方差 从数学意义上来看是材料 性能参数对数的均值与方差 因此 要根据实际数 据并不能直接确定对数正态分布中的 与 相比 之下 Weibull分布中的m与 0 或 0 E 在一定程度 上直接反映了与材料相对应力学参数的物理意义 比如 当m达到200以上 可以认为 0 或 0 E 为材 料参数的均值 这时材料基本上可视为均匀的 7 结结 论论 本文结合理论分析及数值模拟分析 讨论了几 种采用常见随机生成分布函数来实现的非均匀性弹 性损伤模型 定义了描述各种随模型非均匀性特点 的指标 并采用数值模拟方法研究了这些随机分布 函数的概率模型在载荷作用下的破坏过程 同时也 探讨了物理力学参数随机分布的相关性影响 1 无论是采用哪种分布函数 比较均匀的试 样强度较高 并且表现出具有更加脆性破坏特征 Weibull随机分布模型与对数正态分布模型可以用 来模拟非均匀材料的破坏问题 2 弹性模量和强度的相关性对准脆性材料的 破坏力学行为影响很大 不同类型准脆性材料的物 理力学参数的相关程度可能与其脆性破坏程度有 第 27 卷 第 4 期 梁正召 等 准脆性材料的物理力学参数随机概率模型及破坏力学行为特征 727 关 还有待于进一步研究 3 数值模拟结果可以得到材料破坏过程中的 全应力 应变曲线 应力场 应变场分布以及破坏 过程中的破坏局部化到整个断裂破坏过程的三维图 像 基于统计理论上的数值计算方法实现简单 方 便 不但可以考虑多种尺度上的非均匀性问题和比 较复杂的边界条件 而且可以分析破裂局部化等问 题 参考文献参考文献 References 1 唐春安 朱万成 混凝土损伤与断裂 数值试验 M 北京 科 学出版社 2003 TANG Chun an ZHU Wancheng Damage and fracture of concrete numerical tests M Beijing Science Press 2003 in Chinese 2 BAZANT Z P KAZEMI M T KAZEMI M T Random particle model for fracture of aggregate or fiber composites J Journal of Engineering Mechanics ASCE 1990 116 8 1 686 1 705 3 SCHLANGEN E VAN MIER J G M WITTMANN F H ed Lattice model for simulating fracture of concrete C Numerical Models in Fracture Mechanics of Concrete Rotterdam A A Balkema 1993 534 542 4 曹文贵 方祖烈 唐学军 岩石损伤软化本构模型之研究 J 岩石 力学与工程学报 1998 17 6 628 633 CAO Wengui FANG Zulie TANG Xuejun A statistical constitutive model for soft and damage rocks J Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering 1998 17 6 628 633 in Chinese 5 曹文贵 赵明华 唐学军 岩石破裂过程的统计损伤模拟研究 J 岩土工程学报 2003 25 2 184 187 CAO Wengui ZHAO Minghua TANG Xuejun Study on simulation of statistical damage in the full process of rock failure J Chinese Journal of Geotechnical Engineering 2003 25 2 184 187 in Chinese 6 杨 强 张 浩 周维垣 基于格构模型的岩石材料破坏过程的 数值模拟 J 水利学报 2002 33 4 46 50 YNAG Qiang ZHANG Hao ZHOU Weiyuan Lattice model for simulating failure process of rock J Journal of Hydraulic Engineering 2002 33 4 46 50 in Chinese 7 张 明 李仲奎 苏 霞 准脆性材料弹性损伤分析中的概率体 元建模 J 岩石力学与工程学报 2005 24 23 4 282 4 287 ZHANG Ming LI Zhongkui SU Xia Probabilistic volume element modeling in elastic damage analysis of quasi brittle materials J Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering 2005 24 23 4 282 4 287 in Chinese 8 唐春安 岩石破裂过程中的灾变 M 北京 煤炭工业出版社 1993 TANG Chun an Catastrophe in rock unstable failure M Beijing China Coal Industry Publishing House 1993 in Chinese 9 梁正召 杨天鸿 唐春安 等 非均匀性岩石破坏过程的三维损伤 软化模型与数值模拟 J 岩土工程学报 2005 27 12 1 147 1 152 LIANG Zhengzhao YANG Tianhong TANG Chun an et al Three dimensional damage softening model for failure process of heterogeneous rocks and associated numerical simulatio

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