（全面突破）高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 4.7正弦定理、余弦定理应用举例学案.doc

第7讲正弦定理、余弦定理应用举例考情分析考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题基础知识1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为(如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏东60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数注意事项1.解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等2.解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解题型一测量距离问题【例1】如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸定一基线cd，现已测出cda和acd60，bcd30，bdc105，adc60，试求ab的长解在acd中，已知cda，acd60，adc60，所以aca.bcd30，bdc105cbd45在bcd中，由正弦定理可得bca.在abc中，已经求得ac和bc，又因为acb30，所以利用余弦定理可以求得a，b两点之间的距离为aba.【变式1】 如图，a，b，c，d都在同一个与水平面垂直的平面内，b、d为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75，30，于水面c处测得b点和d点的仰角均为60，ac0.1 km.试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b，d的距离解在acd中，dac30，adc60dac30，所以cdac0.1 km.又bcd180606060，故cb是cad底边ad的中垂线，所以bdba.又abc15在abc中，所以ab(km)，同理，bd(km)故b、d的距离为 km.题型二测量高度问题【例2】如图，山脚下有一小塔ab，在塔底b测得山顶c的仰角为60，在山顶c测得塔顶a的俯角为45，已知塔高ab20 m，求山高cd.如图，设cdx m，则aex20 m，tan 60，bdx (m)在aec中，x20x，【变式2】 如图所示，测量河对岸的塔高ab时，可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，现测得bcd，bdc，cds，并在点c测得塔顶a的仰角为，求塔高ab.解在bcd中，cbd，由正弦定理得，所以bc在rtabc中，abbctanacb.题型三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】如图所示，在梯形abcd中，adbc，ab5，ac9，bca30，adb45，求bd的长解在abc中，ab5，ac9，bca30.由正弦定理，得，sinabc.adbc，bad180abc，于是sinbadsinabc.同理，在abd中，ab5，sinbad，adb45，由正弦定理：，解得bd.故bd的长为.【变式3】 如图，在abc中，已知b45，d是bc边上的一点，ad10，ac14，dc6，求ab的长解在adc中，ad10，ac14，dc6，由余弦定理得cosadc，adc120，adb60.在abd中，ad10，b45，adb60，由正弦定理得，ab5.重难点突破【例4】如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于a1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达a2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2处，此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？ 解析 如图，连接a1b2由已知a2b210，a1a23010，a1a2a2b2.又a1a2b218012060，a1a2b2是等边三角形，a1b2a1a210.由已知，a1b120，b1a1b21056045，(8分)在a1b2b1中，由余弦定理得b1ba1ba1b2a1b1a1b2cos 45202(10)222010200，b1b210.因此，乙船的速度为6030(海里/时)(12分)巩固提高1如图，设a，b两点在河的两岸，一测量者在a所在的同侧河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105后，就可以计算出a，b两点的距离为()a50 m b50 m c25 m d. m解析由正弦定理得，又b30ab50(m)答案a2从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，的关系为()a bc90 d180解析根据仰角与俯角的定义易知.答案b3若点a在点c的北偏东30，点b在点c的南偏东60，且acbc，则点a在点b的()a北偏东15 b北偏西15c北偏东10 d北偏西10解析如图答案b4一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()a5海里 b5海里c10海里 d10海里解析如图所示，依题意有bac60，bad75，所以cadcda15，从而