材料力学第08章(应力状态)-06

第八章 应力和应变分析 81 应力状态概述 82 二向和三向 应力状态的实例 83 二向 应力状态分析 解析法 84 二向 应力状态分析 图解法 85 三向 应力状态分析 88 广义胡克定律 89 复杂应力状态的应变能密度 问题的提出 A F F A A A sz s x s y s x s y sz tyx tyz tzy tzx txy txz 一、什么是一点的应力状态 81 应力状态概述 一点的受力状态。 二、一点处应力状态的表示方法 （ 1）单元体 A sz s x s y s x s y sz tyx tyz tzy tzx txy txz 单元体各面上应力均布；相互平行的面上应力相等。 （ 2）应力分量 xzzyyxzxyzxyzyxttttttsss A A 三、为什么要研究一点处的应力状态 Me F l A A p A A F F y云纹图 x云纹图 xy云纹图 F F sy云纹图 s x云纹图 F F sx sy txy sy sx 四、主平面、主应力： （ 1） 主平面 (Principal Plane)： 切应力为零的截面。 （ 2） 主应力 (Principal Stress ）： 主面上的正应力。 主应力排列规定：按代数值大小， A A A 任意一点 都可以找到三个相互垂直的主平面。 s1 s2 s3 sx sy sz s1 s2 s3 1、 单向应力状态（ Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。 2、 二向应力状态（ Plane State of Stress）： 二个主应力不为零的应力状态。 3、 三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 五、应力状态分类 s 1 s 1 s 1 s1 s2 s2 s3 s3 s 1 s 1 s 2 s 2 F F 例 1画出图中的 A点的应力单元体。 A s s 82 二向和三向应力状态的实例 dx dx 例 2 画出图中 A点的应力单元体。 t t t t t t Me Me A 例 3 画出图中 各 点的应力单元体。 FS M s M t FS 1 2 3 4 5 F1 F2 q s t 1 2 3 4 5 maxt1 s s s 1 s 1 2 3 4 5 F1 F2 q s 1 s t 1 2 3 4 5 maxtt t s s 2 1 2 3 4 5 F1 F2 q s t 1 2 3 4 5 maxtt t 3 s 1 1 2 3 4 5 F1 F2 q s t 1 2 3 4 5 maxtt t s s 4 1 2 3 4 5 F1 F2 q s 1 s 5 s t 1 2 3 4 5 maxt5 s s 1 2 3 4 5 F1 F2 q s 1 如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内压力为 p，容器直径 D，壁厚 。 例 4 p D )20 ( Ds 42DpD s s 4pD用横截面将容器截开， l 受力如图所示 ,根据平衡方程 l s s l s s l l ssDlpl 2)( sps2pDs s s s p l s 4pDs 2pDl s s ss 42pDss 21pDl s s x y z 83 二向应力状态分析 解析法 sx txy sy tyx tyx txy sx sy 平面应力状态 : 单元体有一对平面上的应力为零。 一、任意斜截面上的应力 二、最大正应力和最小正应力 三、主平面和主应力 四、 应力圆（莫尔圆） sx txy sy tyx sy sx 一、任意斜截面上的应力 sa ta 已知： sx、 s y、 txy 求： sa、 ta sa ta txy sy sx t yx sx sy tyx tyx txy sx sy txy a 、 a sy sx txy sx sy tyx as 2s ind AydAcosa dAsina ,0 F n Adassa ta 解：设斜截面面积为 dA， dA t yx sa sy sx ta t n a t xy 由平衡得： as 2c o sd Ax aat s i nc o sd Axyaat c o ss i nd Ayx 0由 tyx=txy和三角变换，得： as as 2c o sx aat s inc o sxy as 2s inyaat c o ss inyxatasssss a 2s i n2c o s22 xyyxyx atasssss a 2s i n2c o s22 xyyxyx 同理： (1)正应力拉为正； 正负号规定： t yx sa sy sx ta t n a t xy sx sy tyx tyx txy sx sy txy a a n atasst a 2c o s2s i n2 xyyx 2切应力绕研究对象顺时针转为正； 3a逆时针为正。 求斜截面上的应力，单位 MPa 例 4 20 x 50 30 30 30 atasssss 2s i n2c o s2230 xyyxyx 30 , 20 , 30 , 50 atss xyyx解： atasst 2c o s2s i n230 xyyx 60s i n2060c o s2 30502 3050)M P a(7.12 60c o s2060s i n23050)M P a(6.44sa ta 例 5 已知： F=180kN， l=1.5m， 求 A点斜截面上的应力。 F A l l 30 z 20 300 120 10 80 20 t s s x 60 A + 90kN 90kN + 135kNm 例 5 已知 ： F=180kN， l=1.5m， 求 A点斜截面上的应力。 z 20 300 120 10 80 20 解： t s s x 60 )mm(1046.1 48zI 06 , 29 , 0 , 74 atss xyyxzIyM sbISFzz*St F A l l 30 )M P a(74)M P a(29*zS 1157010 16012020 + atasssss 2s i n2c o s2260 xyyxyx atasst 2c o s2s i n260 xyyx 1 2 0s i n)29(1 2 0c o s274274)M P a(6.43 120c o s)29(120s i n274)M P a(5.46t 60 s 60 A t 60 s 60 atasssss a 2s i n2c o s22 xyyxyx xy sy sx yx sa ta a 二、最大正应力和最小正应力 as a 的周期函数，周期为是, 0dd: as a令二、最大正应力和最小正应力 yxxyssta22t a n 000 aa 和由此得两个驻点：)2( 00 aa atasssss a 2s i n2c o s22 xyyxyx 02c o s22s i n atass xyyx得： t xy sy sx tyx sa ta a 切应力 箭头 所在象限就是最大正应力所在象限。 22m i nm a x22 xyyxyxtssssss）（a0 smin smax smax smin x 令 ta =0 ， 可得主平面的方位： yxxyssta2 2t a n 0即：最大和最小正应力就是主应力。 由 atasst a 2c o s2s i n2 xyyx 02c o s2s i n2 atassxyyx得 三、主平面和主应力 smin smax s1smax s2smin s1 s2 a0 t xy sy sx tyx sa ta a x 例 5 20 x 50 30 求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面和主应力。单位 MPa 20 , 30 , 50 xyyx tss解： 22m i nm a x22 xyyxyxtssssss）（22 202305023050 ）（7.4410 7.347.54 yxxyssta2 2t a n 03050202 5.02t a n 0 a02 sM P a7.343 sM P a7.541 s 20 x 50 30 在单元体上画出主平面和主应力 0 as1 s1 s3 s3 切应力 箭头 所在象限就是最大正应力所在象限。 56.262 0a 28.13 0a 72.760a5.02t a n