高中数学 第一章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质及应用（一）优化训练 苏教版选修23.DOC

1.5.2 二项式系数的性质及应用（一）五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.如果(3x-)n的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是( )a.7 b.-7 c.21 d.-21答案:c解析：令x=1,得2n=128,n=7.从而tr+1=37-r(-1)rx.令7-r=-3,得r=6,的系数为(-1)637-6=21.2.1112除以100的余数是( )a.1 b.10 c.11 d.21答案:d解析：1112=(10+1)12=1012+1011+102+10+1=100k+121(其中k=1010+109+),从而余数为21.3.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,则a0+a2+a4+a2n等于( )a.(3n+1) b.(3n-1) c.3n-1 d.3n+1答案:a解析：令x=1,得a0+a1+a2+a2n=3n.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a2n=1.故a0+a2+a4+a2n=(3n+1).4.(|x|+2)6的展开式中系数最大的项的系数是_.答案:924解析：(|x|+2)6=(+)12,系数最大的项的系数是=924.十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.已知(x-)8展开式中常数项为1 120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是( )a.28 b.38 c.1或38 d.1或28答案:c解析：tr+1=x8-r(-)r=(-a)rx8-2r,当r=4时,(-a)4=1 120.从而a=2.当a=2时,(x-)8展开式中各项系数和为1;当a=-2时,(x+)8展开式中各项系数和为38.2.若(2x+)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)2-(a1+a3)2的值为( )a.-1 b.1 c.0 d.2答案:a解析：取x=1,则(2+)3=a0+a1+a2+a3,取x=-1，则（-2)3=a0-a1+a2-a3,(a0+a2)2-(a1+a3)2=(a0+a2+a1+a3)(a0+a2-a1-a3)=(2+)(-2)3=-1.3.(x-y)7展开式中,系数绝对值最大的项是( )a.第四项 b.第四,五两项 c.第五项 d.第三,四两项答案:b解析：tr+1=xr(-y)7-r,由二项式系数增减性知r=和r=时最大,即第4项和第5项.4.除以9的余数是( )a.-2 b.-1 c.0 d.7答案:d解析：因为=233-1=811-1=(9-1)11-1=911-910+99-+9-1=9m-2=9(m-1)+7,mn*.5.设(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+a8x8,则|a0|+|a1|+|a8|=_-.答案:48解析：易知a0,a2,a8大于0,而a1，a3,a7小于0，故|a0|+|a1|+|a8|=a0-a1+a2-a3+-a7+a8.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+-a7+a8=(1+3)8=48.6.已知(+)n展开式中奇数项二项式的系数和比(a+b)2n展开式中奇数项二项式的系数和少120,求第一个展开式中的第三项.解：在(a+b)n=an+an-1b+bn中,令a=b=1,得+=2n;又令a=1,b=-1,得-+(-1)n=0; 两式相加得奇数项二项式系数和为2n-1.由题设知2n-1=22n-1-120,所以(2n)2-2n-240=0,解之得2n=16或2n=-15(舍去),所以n=4,故所求第一个展开式中的第三项为t3=()（）2=6.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.在(x-)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为s,当x=时,s等于（ ）a.23008 b.-23008 c.23009 d.-23009答案:b解析：tr+1=x2006-r(-2)r,显然当2 006-r为奇数时,r为奇数,所以当x=时,tr+1=-()2006=-c21003.所以s=-21003(+)=-2100322006=-23008.2.在(1-x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是( )a.-297 b.-252 c.297 d.207答案:d解析：（1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为-=207，选d.3.设(+x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则(a0+a2+a4+a10)2-(a1+a3+a9)2的值是( )a.1 b.-1 c.0 d.(-1)10答案:a解析：令x=1或-1,则a0+a1+a2+a10=(+1)10,a0-a1+a2-a3+a10=(-1)10,(a0+a2+a4+a10)2-(a1+a3+a9)2=(a0+a1+a2+a10)(a0-a1+a2-a3+a10)=(+1)10(-1)10=1.答案:b4.9192被100除所得的余数为( )a.1 b.81 c.-81 d.992解析：利用9192=(100-9)92展开式,或利用(90+1)92展开式.方法一:(100-9)92=10092-100919+1009092-100991+992.展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数.由992=(10-1)92=1092-1091+102-10+1,前91项均能被100整除,后两项和为-919,因原式为正,可从前面的数中分离出1 000,结果为1 000-919=81,9192被100除可得余数为81.方法二:(90+1)92=9092+9091+902+90+.前91项均能被100整除,剩下两项和为9290+1=8 281,显然8 281除以100所得余数为81.5.的值为( )a.3210 b.310 c.(29-1) d.(310-1)答案:d解析：因为+2+22+210=（1+2）10=310，所以+2+29=（310-1）.6.已知=729，则n=_.答案:6解析：+2+22+2n=(1+2)n=729.3n=729,n=6.7.设m=37+35+33+3，n=36+34+32.则m-n=_-.答案:129解析：m-n=37-36+35-34+3-+=（3-1）7+1=129.8.求证:2n.2n=(1+1)n=+(n2),又+0,2n.即原不等式成立.9.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于(x2+)5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.(ar).解：()5的通项公式为tr+1=(x2)5-r（）r=cr5（）5-rx令20-5r=0，则r=4,所以常数项为t5=16.又（a2+1）n展开式的各项系数之和为2n,依题