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第八讲 交流电的基本概念 正弦量的相量表示时间：2学时重点和难点：正弦量的三要素、有效值、向量表示。目的：让学生掌握交流电路的概念，掌握正弦交流量的三要素（周期、幅值、初相位），掌握正弦交流量有效值的概念以及其使用意义，掌握正弦量的向量表示方法，掌握向量图的画法，掌握旋转矢量的概念和意义，复习复数运算的方法和几何意义。教学方法：多媒体演示、课堂讲授主要教学内容：一、正弦量的基本概念1、正弦量：大小随时间按一定规律作周期性变化且在一个周期内平均值为零的电压、电流称为交流电。随时间按正弦规律变化的电压、电流通称为正弦电量，或称为正弦交流电，图 常见的交流电波形2、正弦量的三要素：1）正弦量的波形图1）正弦电流的瞬时值表达式 正弦电量在任意瞬间的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如用分别来表示正弦电流、正弦电压和正弦电动势的瞬时值。利用瞬时值表达式可以计算出任意时刻正弦电量的数值。瞬时值的正或负与假定的参考方向比较，便可确定该时刻电量的真实方向。3）正弦量的波形图和正弦电流的瞬时值表达式表明：一个正弦电量的特征表现在它变化的最大值（）、随时间变化的快慢（）和起始值（t=0时的数值，它取决于t=0时的角度）三个数值。若将这三个数值代入已选定的sin函数式中就完全确定了这个正弦量。4)相关物理量：a、振幅值正弦量是一个等幅振荡、正负交替变化的周期函数，振幅值是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值，又称峰值。通常用大写字母加下标m来表示。振幅值表示正弦量瞬时值变化的范围或幅度。b、周期和频率正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用T表示，单位为秒(s)。实用单位中还有毫秒(ms)、微秒(s)、纳秒(ns)。正弦量一秒内重复变化的次数称为频率，用f表示，其单位为赫兹(Hz)。周期和频率两者的关系为 周期和频率表示正弦量变化的快慢程度。周期越短，频率越高，变化越快。正弦量变化的快慢程度除用周期和频率表示外，还可用角频率表示，单位为。因为一个周期经历了2弧度，所以、T、f之间的关系为 c、相位和初相正弦电量在任意瞬间的变化状态是由该瞬间的电角度（）决定的。把正弦电量在任意瞬间的电角度称为相位角，简称相位。相位反映了正弦量的每一瞬间的状态或随时间变化的进程。相位的单位一般为弧度(rad)。是正弦量在t=0时刻的相位，称其为正弦量的初相位（角），简称初相。初相反映了正弦量在计时起点处的状态（初始状态），由它确定正弦量的初始值。正弦量的初相与计时起点(即波形图上的坐标原点)的选择有关，且在t=0时，函数值的正负与对应的正负号相同。5）正弦量的三要素：当正弦量的振幅、角频率、初相确定时，这个正弦量就唯一地确定了。故将振幅、角频率(或f、T)、初相称为正弦量的三要素。3、正弦量的相位差：1）正弦电量的相位差对于两个同频率的正弦电量而言，虽然都随时间按正弦规律变化，但是它们随时间变化的进程可能不同。为了描述同频率正弦量随时间变化进程的先后，引入了相位差。这里所述的相位差就是两个同频率的正弦量的相位之差，用或带双下标表示。设两个同频率的正弦量之间的相位差为可见，两个同频率正弦电量的相位差，等于它们的初相之差。2）正弦电量的相位差的几种情况：同频率正弦量初相相同（即相位差为零）时称之为同相，如图 (a)所示的u和i。 如果两个正弦量到达某一确定状态（如最大值）的先后次序不同，则称先到达者为超前，后到达者为滞后，如图 (b)所示的u1和u2。当12，则称电压u1超前电压u2，或者说电压u2滞后电压u1 。 如果两个正弦量的相位差为(180)，称之为反相，如图 (c)所示的电流i1和电流i2。同一正弦量，相反参考方向下的iab和iba反相。 如果两个正弦量的相位差为/2(90)，称之为正交，如图 (d)所示的u和i。图 54 相位差的几种情况3）说明：在正弦电路的分析计算中，为了比较同一电路中同频率的各正弦量之间的相位关系，可选其中一个为参考正弦量，取其初相为零，这样其它正弦量的初相便由它们与参考正弦量之间的相位差来确定。各正弦量必须以同一时刻为计时起点才能比较相位差，故一个电路中只能有一个参考正弦量，究竟选哪一个则是任意的。4、正弦量的有效值：正弦波是一种周期波，对周期波我们可以用有效值来表征它的大小。正弦电量的有效值是按电流的热效应来确定的，它根据热效应相等原理，把正弦电量换算成直流电的数值，即正弦电量的有效值是热效应与它相等的直流电量的数值。当正弦电流i和直流电流I分别流过阻值相等的电阻时，如果在正弦电流的一个周期内它们所产生的热量相等，即这一直流电流的数值就称为正弦电流的有效值。正弦电量的有效值用大写字母表示。设有两个相同的电阻R，分别通以周期电流i和直流电流I。当周期电流i流过电阻R时，该电阻在一个周期T内所消耗的电能为当直流电流I流过电阻R时，在相同的时间T内所消耗的电能为根据正弦电量有效值的概念，如令以上两式相等，亦即由上式可得有效值的定义式为 （54） 由式（54）所示的有效值定义可知：周期电流的有效等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根，因此，有效值又称为方均根值。类似地，可得周期电压的有效值 （55）若正弦电流，则根据式（54）可得正弦电流有效值与最大值之间的关系为类似地，可得 （56）由此可见，正弦波的有效值为其振幅的倍。有效值可代替振幅作为正弦量的一个要素。二、正弦量的相量表示 正弦电量的瞬时值表达式和波形图虽然能够表示正弦量的三要素，说明正弦电量随时间变化的规律，但是在正弦电路的分析计算中，经常需要将几个同频率的正弦量进行代数运算和积分、微分运算，用这两种表示方法运算十分烦琐、很不方便，因此有必要寻找出一种能够表示正弦量却又便于分析运算的表示方法。所以，用复数表示正弦电量，并由此得出正弦电量的相量表示方法，从而使正弦交流电路的分析和计算得到简化。1、复数知识：1）复数及其表示形式一个复数是由实部和虚部组成的。复数有多种表达形式，常见的有代数形式、指数形式、三角函数形式和极坐标形式。设A为一复数，其实部和虚部分别为a和b，则复数可用代数形式表示为 复数也可以用由实轴与虚轴组成的复平面上的有向线段来表示。用直角坐标的横轴表示实轴，以1为单位；纵轴表示虚轴，以j为单位。实轴和虚轴构成复坐标平面，简称复平面。在复平面上复数是一个点，它又可用有向线段来表示，如图中的有向线段OA所示。 图 复数的相量表示复数还可以用三角形式、极坐标形式表示。根据图55，可得复数的三角形式为 式中r为复数的模（值），为复数的幅角，可以用弧度或度来表示。r和与a 和b之间的关系为 ； 根据欧拉公式复数的三角形式可转变为指数形式，即 上述指数形式有时改写为极坐标形式，即 综上分析可知，复数的四种形式通过以上公式是可以相互转化的。 2）复数的运算a、加减法若 则 复数的相加和相减的运算也可以按平行四边形法在复平面上用向量的相加和相减求得，见图。 图 复数代数和的图解法b、乘除法设两个复数则或可见，两个复数相乘时，其模相乘，幅角相加。或 可见，两个复数相除时，其模相除，幅角相减。图（a）、（b）为复数乘、除的图解表示，从图上可以看出：复数乘、除表示为模的放大或缩小，幅角表示为逆时针旋转或顺时针旋转。 （a） (b)图 复数乘、除的图解示意例1 已知复数和，试计算。解：采用指数形式计算先将代数形式化为指数形式，即或采用极坐标形式计算先将代数形式化为极坐标形式，即则 2、正弦量的相量表示法：正弦量的相量表示法，就是用复数形式来表示正弦量的有效值和初相位，使正弦交流电路的分析和计算转化为复数运算的一种方法。这种方法使得正弦交流电路的分析计算相当简便。在线性正弦交流电路中，所有电压、电流都是同频率的正弦量。所以，要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相位就可以了。设某正弦电流为：其对应的相量表示为： 而式中 是一个与时间无关的复常数，其模是正弦量的有效值，辐角是正弦量的初相，二者是正弦量三要素的两个要素。当角频率给定时，它们就完全确定了一个正弦量。由于在正弦电路中，所有电流、电压都是同频率的正弦量，频率常是已知的,便是一个足以表示正弦电流的复数。像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数就叫做正弦量的相量。相量是一个复数，它表示一个正弦量，所以在符号字母上加上一点，以与一般复数相区别。特别注意，相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等号表示相等的关系，这一关系可用双箭头“”符号来表明，亦即，若 3、正弦量的相量图：相量作为一个复数，也可以在复平面上用有向线段表示，如图所示。相量在复平面上的图示称为相量图。图电压相量图 相量与的乘积则是时间的复值函数，在复平面上可用恒定角速度逆时针方向旋转的相量表示。这是因为这一乘积的幅角为，它不是常量而是随时间的增长而增长的，如果相量的模按它所表示的正弦量的振幅取值，例如U，则该相量旋转时，在虚轴上的投影为，亦即为该正弦电压的瞬时值，如图所示。图电压旋转相量图必须指出，只有同频率正弦量的相量才可以画在同一相量图上。在相量图上可以直观反映各正弦量的相位关系。例2、正弦电压，正弦电流，写出和i的相量。解：电压相量 电流相量 例3、试求下列相量及频率所对应的正弦量。(1)(2)(3)解：(1) (2) (3)例3、 已知两个同频率正弦电流分别为,求,并画出相量图。解：设，其相量为（待求），可得 所以 相量图如图所示。图 例3相量图第九讲 电路基本定律的相量形式 时间：2学时重点和难点：电路基本定律的向量形式。目的：让学生掌握欧姆定律、基尔霍夫电流定律、电压定律的向量形式，掌握交流电路中阻抗及导纳的表现形式，掌握阻抗与导纳的串联、并联，掌握无源二端网络的等效复阻抗的计算方法。教学方法：多媒体演示、课堂讲授主要教学内容：一、基尔霍夫定律的相量形式1、基尔霍夫电流定律（KCL）的相量形式：根据基尔霍夫节点电流定律，在正弦电路中，对任一节点而言，与它相连接的各支路电流在任一时刻的瞬时值的代数和为零，即根据正弦量的和差与它们相量和差的对应关系，可以推出：正弦电路中任一节点，与它相连接的各支路电流的相量代数和为零，即2、基尔霍夫电压定律（KVL）的相量形式;根据基尔霍夫回路电压定律，在正弦电路中，对任一闭合回路而言，各段电压任一刻瞬时值的代数和为零，即同理可以推出正弦电路中，任一闭合回路，各段电压的相量代数和为零，即 正弦电路的电流、电压的瞬时值关系，相量关系都满足KCL和KVL，而有效值的关系一般不满足，要由相量的关系决定。因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去考虑。二、电路基本元件伏安关系的相量形式在交流电路中，通过电阻元件的电流和它两端的电压在任何瞬间都遵循欧姆定律。对于在只含有电阻元件R的电路中，设电流为按照关联参考方向下电阻的伏安特性，有电阻上电压相量和电流相量的关系为 它不仅表明了电阻电压和电流之间有效值的关系，而且包含了相位关系。上式表明：电阻两端电压u和电流i 为同频率同相位的正弦量，它们之间的大小和相位关系如下：； 三、电容元件伏安关系的相量形式在只含有电容元件C的电路中，设加在电容两端的电压为 电容在关联参考方向下的伏安特性关系，则有= 上式表明电容电流和端电压是同频率的正弦量，电流超前电压90。如用表示1/C后，电流和电压的关系为 或 ， 而 称为容抗，单位为欧姆。是表示电容对正弦电流阻碍作用大小的一个物理量。与电源的频率及电容成反比。对于一定的电容C，频率越高，它呈现的容抗越小；反之越大。换句话说，对于一定的电容C，它对低频信号呈现的阻力大，对高频信号呈现的阻力小。在直流情况下，可以看成频率，电容C相当于开路。因此，很容易得出电容元件具有“通交流、阻直流”或“通高频、阻低频”的特性。因此，它在电子电路中可起到隔直、旁路、虑波等作用。容抗的倒数 称为容纳，单位与电导相同，为西门子(S)，它表示电容对正弦电流的导通能力。电容电流相量和电压相量的关系为 即 四、电感元件伏安关系的相量形式在只含有电感元件L的电路中，设通过电感元件的电流为 在关联参考方向下电感的伏安特性，则有上式表明电感两端电压u和电流i是同频率的正弦量，电压超前电流90。如用XL表示L后，电压和电流有效值关系为或 ,而 称为感抗，单位为欧姆。，XL是表示电感对正弦电流阻碍作用大小的一个物理量。XL与电源频率及电感成正比。对于一定的电感L，频率越高，它呈现的 感抗越大；反之越小。换句话说，对于一定的电感L，对高频电流呈现的阻力大，对低频电流呈现的阻力小。在直流情况下，可以看成频率，电感L相当于短路。因此，很容易得出电感元件具有“阻交流、通直流”或“阻高频、通低频”的特性。感抗的倒数 称为感纳，单位与电导相同，为西门子(S)，它表示电感对正弦电流的导通能力。电感电流相量和电压相量的关系为即 例 1、 已知一个电感元件，接在电压的电源上。试求：（1） 电感元件的感抗；（2） 关联参考方向下的电流。 解：（1）电感元件的感抗为（2）电压的相量为电流的相量为则电流的瞬时值表达式为五、阻抗与导纳1、阻抗：图正弦交流电路阻抗图 (a)所示为一个含线性电阻、电感和电容等元件，但不含独立源的无源一端口网络（又称二端网络）N，当它在角频率为的正弦电压（或正弦电流）激励下处于稳定状态时，其端口电压相量与电流相量之比，定义为该网络的阻抗，用大写字母Z表示，即 上式是欧姆定律的相量形式，阻抗Z的单位是欧姆（）。图（a）所示的无源一端口网络可用 (b)的电路模型来等效。对于阻抗的定义式说明如下：（1）若无源一端口网络N内部只含单个元件R、L或C，由前面可知，对应的阻抗分别为 （2）无源一端口网络的阻抗Z形式上是由电压相量与电流相量的比值决定的，本质上它取决于网络的结构、元件参数和电源的频率。（3）从定义式可看出，阻抗是一个复数（又称复阻抗），因此它可以用复数的任一形式表示，常用复数的直角坐标和极坐标两种形式表示。用直角坐标表示为 其中，实部R是阻抗的电阻分量，虚部X是阻抗的电抗的分量，两者的单位都是欧姆（）。由于阻抗是复数，所以可以用复数的极坐标形式表示。阻抗的极坐标形式表示为 其中 |Z|为Z的模值，称为阻抗模，也称为阻抗，单位是欧姆（）；称为阻抗角，它表示无源一端口网络两端电压与电流的相位差。所以，阻抗Z综合反映了电压与电流间的大小及其相位关系。（4）在复平面内，R、X与Z 组成一直角三角形，如图（a）所示。这个直角三角形直观地表示出|Z|、R、X及的关系，常称为阻抗三角形。图 阻抗三角形与电压三角形由图可知： 若以电流I分别乘阻抗三角向的每一边，得到如图（b）所示的电压三角形。从图中直观地看到三个电压有效值的关系为：，而不是直接相加。（5）根据中的幅角不同，反应了电路结构、参数或频率的不同。因此，可以把电路阻抗分为以下几种情况：（即X0，）时，称电路呈感性，阻抗为电感性阻抗；0（即X0，）时，称电路呈容性，阻抗为电容性阻抗=0 （即X0，）时，电路呈电阻性（为谐振状态，将在第六章讲解），阻抗为电阻性。2、导纳：如图（a）所示的一端口网络，若端口上电压相量和电流相量参考方向一致时，其端口的阻抗为图导纳的定义而阻抗的倒数 定义为一端口网络的导纳，单位是西门子（S）。与阻抗相对应，对导纳说明如下：（1）对于由单一元件R、L、C构成的无源一端口网络的导纳分别为其中，是的倒数，称为感纳；的倒数，称为容纳。它们的单位都是西门子（S）。（2）与阻抗一样，导纳Y在数值上等于端口电流相量与端口电压相量的比值，单口无源网络的导纳Y也是由网络结构、元件参数和电源频率决定的，而与电压、电流相量无关。（3）导纳Y 也是一个复数（又称复导纳），常用复数的极坐标和直角坐标两种形式表示。导纳的直角坐标形式为 其中导纳的实部G称为电导，虚部B称为电纳，它们的单位都是西门子（S）。导纳的极坐标形式为即 |Y|为导纳模，也称导纳，单位是西门子（S），幅角为导纳角，它是电流与电压的相位角。（4）导纳的极坐标与直角坐标形式的互换。、组成一电流三角形如图（a）所示。将电流三角形的每边除以电压U得到导纳三角形，如图（b）所示。图电流三角形和导纳三角形由图（b）可得 或 由电流三角形知，,说明无源一端口网络端口电流有效值I并不等于各支路电流有效值之和。（5）根据一端口网络的中的导纳角，也可以判别电路性质。例1、 RLC串联电路如图522所示，其中,端电压。试求电路中的电流（瞬时表达式）和各元件的电压相量。例1图解：用相量法求解时，可先写出已知相量和待求相量。本例已知,、和为待求相量，如图所示,然后计算各部分阻抗。由已知条件，得（感性阻抗）各元件电压相量为正弦电流为例2、图示电路中,。求各支路电流和电压。例2图解：令（参考相量），设各支路电流相量为、,如图所示。各阻抗计算如下：设的并联等效阻抗为,有总的输入阻抗为 各支路电流和电压计算如下：第十讲 正弦交流电路的分析计算 正弦交流电路中的功率 功率因数的提高及最大功率的计算时间：2学时重点和难点：正弦交流电路向量法求解；有功功率与无功功率的计算目的：让学生用向量图分析求解正弦交流电路的主要依据,掌握参考向量的选择方法，掌握用向量图分析电路的方法，能熟练应用向量法求解各类实际电路问题；让学生掌握瞬时功率、平均功率的意义和计算方法，掌握功率因数的概念、意义、计算方法，掌握引起无功功率的原因，掌握无功功率、复功率、视在功率、容量的计算方法。教学方法：多媒体演示、课堂讲授主要教学内容：一、正弦交流电路的分析计算对于任意正弦交流电路，只要用相量表示正弦交流电路中的电压、电流，用阻抗或导纳对应直流电路的电阻或电导，所有的运算采用复数运算规则进行，计算电阻电路时的一些公式和方法，就可以完全用到正弦交流电路中来。这就是说，运用相量并引用阻抗及导纳，正弦交流电路的计算方法可以仿照电阻电路的处理方法来进行。正弦交流电路的分析，一种是依靠相量图来解决实际问题，这种方法称为相量图法，而把依靠列出相量方程来解决实际问题的方法称为相量解析法。两者均属相量法的范畴，它们的依据是共同的。1、正弦交流电路的相量图法分析计算：1）对于简单的正弦交流电路常借助于相量图进行辅助分析，这样可以直观表现出各电量之间的大小和相位关系。画相量图时，应遵循以下几点：a、选择参考相量；b、画在同一相量图上的各电量一定是同频率的；c、依据欧姆定律及KCL、KVL的相量形式；d、单一参数R、L、C各元件电压与电流的相量关系；2）参考相量的选取原则：a、串联电路宜选用电流为参考相量，并联电路宜选用电压为参考相量；b、对于较复杂的混联电路，应根据已知条件综合考虑。可以选电路内部某并联部分电压为参考相量，也可以选其中某部分的电流为参考相量；或选用端电压或电流为参考相量。例1 并联电路如图（a）所示，用相量图定性表明各电流相量的关系。解：并联电路宜从两端电压入手，选电压相量为参考相量。先画相量，如图（b），再画并联支路电流相量。同相，因为该支路是电阻元件组成的。画时，要注意它和的相位关系，不能说超前角。确实超前电容电压，但并非是电容两端的电压，而是电容电阻两端的电压。虽超前，但并非，故绘如图525（b）中所示，具体角度不定（视元件参数及频率而定），但必然在第I象限内。最后，由KCL知，运用平行四边形法则，求和的相量和，即得。例1图例2 为测定某电感线圈的电感参数L和电阻参数R，可把该线圈与一已知电阻串联后接在正弦交流电源两端。用交流电压表测得电感线圈，电阻和电源两端的电压分别为80V、50V和100V，如图（a）所示。已知：，电源的角频率为314rad/s。交流电压表测读有效值。试求线圈的参数L和R。例2图解：以电流为参考相量，绘相量图，I为电流的有效值，其值为50/25=2A。与同相作线段OB，此即为已知电阻的电压相量，其值为50V，分别以O、B为圆心，对应于100V和80V的长度为半径作弧相交与A点，电压三角形OAB表明了线圈电压，已知电阻电压和电源电压的相量关系，即OB和BA的相量和为OA。由余弦定理可以求得电源电压与电流的相位差角。即由解得如果绘制电压三角形OAB时，各边长度比例足够准确，则角也可以由量角器测得。待测线圈的电压三角形BCA反映出线圈电压BA应为其电阻部分电压RI（BC）与电感部分电压的相量和，BC与电流相量同相，CA则与电流相量垂直。在直角三角形OCA中得 因而故得 又 得故得 本题如用相量解析法解，可进行如下：令（参考相量）由和 得 (a) (b)联立(a)、(b)，可解得R和L。2、正弦交流电路的相量法分析计算：前面已指出：在用相量法分析计算时，引入正弦量的相量、阻抗、导纳和KCL、KVL的相量形式、欧姆定律的相量形式，它们在形式上与线性电阻电路相似。对于电阻电路有对于正弦交流电路有因此，对正弦交流电路，用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析，差别仅在于所得电路方程为以相量形式表示的代数方程以及相量形式描述的电路定理，而计算则为复数运算。显然两者描述的物理过程之间有很大的差别。例3 正弦交流电路在角频率均为的两电压源作用下的相量模型如图所示，试用回路电流法求电源对电路提供的电流相量。例3图解：设回路电流（选两网孔为独立回路）、，则两网孔电流相量方程为即应用克莱姆法则求解方程 因而例4 试用戴维南定理求解图所示电路的。例4图解：步骤与求解电阻电路时完全相同。先求移去右侧电压源后的开路电压，电路如图529（a）所示。再求图529（a）电路中电压源短路后ab两点等效阻抗，见图529（）。由图529（b）可知 最后，在得到的戴维南等效电路（相量模型）两端联接原来移去的电压源，如图所示。图 由戴维南等效电路求由此可得 二、三种基本元件的功率1、电阻元件1）瞬时功率在正弦交流电路中，通过电阻元件的电流及其两端电压的大小和方向随时间在变动，电阻吸收的功率也必然是随时间变化的。把电阻在任一瞬间所吸收的功率称为，用小写字母p表示。设u、i参考方向关联，则瞬时功率等于同一瞬时电压和电流瞬时值的乘积，即由于电阻元件的电压、电流同相位，它们的瞬时值总是同时为正或同时为负，所以瞬时功率总为正值。这表明，电阻元件在每一瞬间都在消耗电能，所以电阻元件是耗能元件。2）平均功率由于瞬时功率是随时间变化的，适用时很不方便，因而工程上所说的功率指的是瞬时功率在一个周期内的平均值，称为，用大写字母表示。平均功率又称为有功功率，它的单位为瓦特（）或千瓦（）。式中是电压、电流的有效值。2、电容元件1）瞬时功率在电压、电流取关联参考方向下，电容元件吸收的瞬时功率为 从瞬时功率的数学表达式可以看出，瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其幅值为，并以角速度随时间变化。在一个周期内，瞬时功率的平均值为零，说明电容元件不消耗能量。但这并不意味着电容元件不从电源获取能量。在第一和第三个T/4内，同为正值或负值，瞬时功率p大于零，这一过程实际是电容将电能转换为电场能存储起来，从电源吸取能量。在第二和第四个T/4内，一个为正值，另一个则为负值，故瞬时功率小于零，这一过程实际上是电容将电场能转换为电能释放出来。电容不断地与电源交换能量，在一个周期内吸收和释放的能量相等，因此平均功率为零，这说明电容不消耗能量，是一个储能元件。2）平均功率电容元件瞬时功率的平均值，即为平均功率电容元件的平均功率为零，但存在着与电源之间的能量交换，电源要供给它电流，而实际上电源的额定电流是有限的，所以电容元件对电源来说仍是一种负载，它要占用电源设备的容量。3）无功功率不同电容元件与电源进行能量交换的速率是不同的，为了衡量这种能量交换的速率，我们定义瞬时功率的最大值，即能量交换的最大速率为电容元件的，无功功率用大写字母Q表示 无功功率与有功功率在形式上是相似的，但无功功率不是消耗电能的速率，而是交换能量的最大速率。无功功率虽具有功率的量纲，但它终究不是元件实际消耗的功率，它的单位也与功率的单位有所区别。为了区别无功功率和有功功率，将无功功率的单位命名为乏（），工程上还用到千乏()，。3、电感元件1）瞬时功率在电压、电流取关联参考方向下，电感元件吸收的瞬时功率为从瞬时功率的数学表达式可以看出，瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其幅值为，并以角速度随时间变化。在一个周期内，瞬时功率的平均值为零，说明电感元件不消耗能量，但电感元件也存在着与电源之间的能量交换。同为正值或负值，瞬时功率p大于零，这一过程实际是电感将电能转换为磁场能存储起来，从电源吸取能量。在第二和第四个T/4内，一个为正值，另一个则为负值，故瞬时功率小于零，这一过程实际上是电感将磁场能转换为电能释放出来。电感不断地与电源交换能量，在一个周期内吸收和释放的能量相等，因此平均功率为零，这说明电感不消耗能量，也是一个储能元件。2）平均功率电感元件瞬时功率的平均值（即为平均功率）为3）无功功率与电容元件一样，采用无功功率来衡量这种能量的交换，它仍等于瞬时功率的最大值。电容上无功功率的大小为 Q的单位为（）或千乏()。三、正弦交流电路的功率前面介绍了正弦交流电路中单一元件的功率，但是实际电路可能会由多个不同性质的元件组成，由于电阻要消耗能量，电感、电容元件是储能元件，并不消耗能量，只是与电源之间进行能量的交换。因此，电路中既要消耗能量，又要进行能量的交换，这时，电路的功率计算就比较复杂。1、有功功率和无功功率无源二端网络的有功功率为： 有功功率又称为平均功率，它表示电路吸收或消耗的功率的大小，单位为瓦（W）或千瓦（KW）。称为功率因数，通常用表示，阻抗角又称为功率因数角。 无源二端网络的无功功率为： 无功功率表示的是电路交换能量的最大速率，单位为乏（var）或千乏（Kvar）。由于可能为正，也可能为负，因此无功功率也是可正可负的代数量。在电压、电流关联参考方向下，对于感性电路，由于，计算的无功功率为正值。对于容性电路，由于，计算的无功功率为负值。2、视在功率由于交流电路中一般电压和电流存在相位差，因此正弦电路的平均功率不等于电压和电流的有效值的乘积。具有功率的形式，但它既不是有功功率，也不是无功功率，我们把它称为视在功率，用大写字母S表示，为了与有功功率和无功功率区别，视在功率的单位为伏安（VA）。视在功率是有实际意义的。如交流电源都有确定的额定电压和额定电流，其视在功率就表示了该电源可能提供最大有功功率，称为电源的容量。3、功率三角形有功功率、无功功率、视在功率之间的关系可以用一个直角三角形表示，此直角三角形称为功率三角形，如图所示。在RLC串联电路中，如果将功率三角形的三个边除以电流的有效值，便可以得到电压三角形。功率三角形与电压三角形为相似三角形，角即为功率因数角。图 功率三角形四、功率因数的提高1、功率因数在实际中的意义在交流电路中, 一般负载多为电感性负载,通常它们的功率因数都比较低。交流感应电动机在额定负载时, 功率因数约为0.80.85，轻载时只有0.40.5，空载时更低,仅为0.20.3, 不装电容器的日光灯的功率因数为0.450.60。功率因数低会引起下述不良后果：1）电源设备的容量不能得到充分的利用2）增加了线路上的功率损耗和电压降。综上可知，提高功率因数可以使电源设备的能力得到充分的发挥，并使输送电能损耗和线路压降大大减少。因此，提高电网功率因数是增产节电的重要途径，对国民经济的发展有着十分重要的意义。2、提高功率因数的方法我们一般可以从两方面来考虑提高功率因数。一方面是提高自然功率因数, 主要办法有改进电动机的运行条件、合理选择电动机的容量、或采用同步电动机等措施；另一方面是采用人工补偿, 也叫无功补偿，就是在通常广泛应用的电感性电路中，人为地并联电容性负载, 利用电容性负载的超前电流来补偿滞后的电感性电流, 以达到提高功率因数的目的。图（a）给出了一个电感性负载并联电容时的电路图，图（b）是它的相量图。并联电容前，有，并联电容后，有，图 功率因数的提高由图（b）可以看出又知 代入上式可得 即 应用上式就可以求出把功率因数从提高到所需的电容值。在实用中往往需要确定电容器的个数, 而制造厂家生产的补偿用的电容器的技术数据也是直接给出其额定电压和额定功率 (千伏安)。为此，就需要计算补偿的无功功率。因为 所以 代入可得 应该注意，所谓提高功率因数, 并不是提高电感性负载本身的功率因数, 负载在并联电容前后, 由于端电压没变, 其工作状态不受影响，负载本身的电流、有功功率和功率因数均无变化。提高功率因数只是提高了电路总的功率因数。用并联电容来提高功率因数, 一般补偿到0.9左右即可, 而不是补偿到更高, 因为补偿到功率因数接近于1时, 所需电容量大, 反而不经济了。3、工程上常见的提高功率因数的其它方法简介除了上述常用的采用感性负载两端并联电容器的方法提高功率因数外，工程上还采用下列几种方法来提高功率因数。（1）利用过励磁的同步电机补偿无功功率，提高功率因数。但是由于同步电机造价高、设备复杂，因此这种方法只适用于大功率拖动负载；（2）利用调相电机做无功功率电源。这种装置调整性能好，在系统出现故障时，还能维持电压水平，提高了系统运行的稳定性。但是装置投资大，损耗也比较大，一般装在电力系统的中枢变压所；（3）异步电机的同步运行。这种方法电机自身损耗大，因此一般很少采用。例1 图所示为一日光灯装置等效电路, 已知P=40 W, U=220 V, I=0.4A, f=50Hz(1) 求此日光灯的功率因数。(2) 若要把功率因数提高到0.9, 需补偿的无功功率QC及电容量C各为多少？ 例 1图解：(1) 因为所以 (2) 由得, 由 利用式(571)可得 即 第十一讲 三相电源和三相负载 三相电路的分析和计算时间：2学时重点和难点：三相电源的星型连接；线电压与相电压、线电流与相电流；目的：让学生了解三相电压的产生过程，掌握三相电源和三相负载的连接方式，掌握三角形连接和星型连接两种方式下线电压与相电压、线电流与相电流之间的关系，掌握相序的概念；让学生掌握三相三线制与三相四线制电路的特点，熟练掌握对称三相电路的电压、电流和功率计算，掌握三相容量和三相负载的功率因数。 教学方法：多媒体演示、课堂讲授主要教学内容：一、三相电源三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合，这三个单相交流电源的频率相同、最大值相等、相位互差120。对称三相电动势的瞬时表达式为 相量表达式为 对称三相电源的电动势瞬时值或相量值之和都为零，即 三个电动势到达最大值（或零）的先后次序称为相序。如先后次序为U、V、W则称为正序或顺序；否则，W、V、U则称为负序或逆序。在以后分析中，如不加以说明，均指正序。需要指出，在发电机三相绕组中，哪个是U相可以任意指定，但U相确定之后，比U相滞后120就是V相，比U相超前120的就是W相。在发电厂和变电所中母线通常涂以黄、绿、红三种颜色，分别表示U、U、W三相。二、三相电源的连接 在实际的电力系统中，发电机三相绕组按要求接成星形或三角形。1、星形（Y形）连接：（a） （b）图 三相电源的星形连接图和相量图发电机三相绕组的末端U2、V2、W2连接在一起用N表示，称为中点或零点，从该点引出的导线称为中线。从始端U1、V1、W1引出的三根导线称为相线或端线，俗称火线。这样就构成了星形连接。如图（a）所示，中线通常接地，所以也称地线。这种由三根相线和一根中性线所组成的供电方式称为三相四线制（通常在低压配电中采用）。每相绕组始端与末端之间的电压（即相线和中性线之间的电压）叫相电压，它的瞬时值用、表示。因为三个电动势的最大值相等，频率相同，彼此相位差均为120，所以，三个相电压的最大值也相等，频率也相同，相互之间的相位差也是120，即三个相电压是对称的。任意两相始端之间的电压（即相线和相线之间的电压）叫线电压，它的瞬时值用、表示。 在对称的三相电路中，三相电压的有效值相等，即 其中UP为相电压有效值。所以，三相电压瞬时值表达式可写成 相应的相量用，表示，相量图如图（b）所示。三个线电压可以表为 其相量分别为 从相量图中还可以看出，、一和构成一个等腰三角形，它的顶角是120，两底角是30，从这个等腰三角形的顶点作一垂线到底边，把分成相等的两段，得到两个相等的直角三角形，于是可得其有效值的表示式为 则 同理 由于三相对称，一般表示式为 可见，当发电机绕组作星形联结时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的倍，而且各线电压在相位上比各对应的相电压超前30。 2、三角形（形）连接三相发电机绕组的三角形连接，就是把绕组始末端依次连接，即U2与V1，V2与W1，W2与U1相联，组成一个闭合回路，由三个连接点引出三根相线就构成三角形连接方式，这种只用三根相线供电的方式称为三相三线制，如图所示。 图 三相电源的三角形联接图 图 三相电源的角接电压相量图三角形连接时，相电压即为绕组电压，线电压仍为端线电压，由图可看出，线电压就是相电压，即 一般式则为 电源三角形连接的线电压和相电压的相量图如图75所示，这种接法，只能形成三相三线制供电形式，提供一种电压。注意：三相电源三角形连接时，切勿接错。当三相绕组正确连接时，三相电动势对称，三相电动势之和为零，闭合回路中无电流。但是，如有一相绕组接反，如图 (a）中的W相错接，则从图 (b)相量图可知，这时三角形回路内的总电动势为,这样，一个大小等于相电动势2倍的电动势，在发电机内部产生很大的环行电流，甚至烧坏绕组。为了防止发生这种事故，绕组在作角接时，在连成闭合回路前，应按图（c）所示，用电压表检测闭合回路的开口是否有很高的电压，核对是否接错。实际上三相发电机绕组三角形连接用的很少。 图 接错的三相三角形连接例1、 有一台三相发电机，不计绕组本身的阻抗压降，每相绕组的端电压数值上等于每相的电动势，每相绕组的电动势Ep220 V,试分别求出将绕组按星形和三角形连接时的相电压和线电压。 解： 绕组星形连接 绕组三角形连接 如果没有特殊说明，一般所说三相电源是指对称电源，而三相电源的电压指线电压。三、三相负载的连接方式1、负载星形连接的三相电路：接在三相电路中的三相受电器或分别接在各相电路中的三组单相受电器统称为三相负载，用、表示。如果负载的电阻相等、电抗相等且阻抗性质相同，即、，于是，这种负载便称为三相对称负载，否则就称为三相不对称负载。根据负载的对称