（基础数学专业论文）z连续偏序集.pdf

果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名 日期 奄鱼盘 卅。啦州口 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 作者签名：茎i 丝 一p 日 期；蔓盟翌二竺! ! ! 2 p r e f a c e n a nj i n gn o r m a lu n i v e r s i t y t h e t h e o r yo fc o n t i n u o u sl a t t i c eh a si t sg r a s sr o o t si nt h ew o r ko fd a n a s s c o t t o nam a t h e m a t i c a lt h e o r yo f “c o m p u t a t i o n a n dw a sc o m m u n i c a t e dt ot h ep u b l i c i nm a t u r ea p p e a r e di n1 9 7 2 ( s p r i n g e rl e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s2 7 4 ) ，i tt o o k af e wy e a r sb e f o r et h ei n t i m a t er e l a t i o n s h i po ft h ec o n c e p to fac o n t i n u o u sl a t t i c e w i t hs e v e r a lo t h e rm a t h m a t i c mf i l e d sw a sr e c o g n i z e d ：p r e c e e d i n g so ft h e s ee a r l i e r w o r k s h o p sh a v en o tb e e np u b l m e d ，b u tm u c ho ft h er e s e a r c hr e p o r t e d t h e r eh a s b e e ni nc o r p o r a t e di nt h eb o o k ( ( ac o m p e n d i u mo fc o n t i n u o u sl a t t i c e ) ) ( s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 8 0 ) w h i c hp r o v i d e sac l e a r l yw r i t t e ns e l f - c o n t a i n e di n t r o d u c t i o ni n t ot h i s f i e l da n dw h i c hi ss t r o n g l yr e c o m m e n e dt oe v e r y b o d yi n t e r e s t e di nt h i ss u h 3 e c t ， w h i l et h ec o m p e n d i u mw a ss t i l lu n d e rp r e p a r a t i o n ，s e v e r a ln e wc o n c e p t sa p p e a r e d a sm a t h m a t i c a l l yd e s i r a b l eg e n e r a l i z a t i o n so rv a r i a t i o n so ft h ec o n c e p to fae o n t i n - u o n sl a t t i c e ，t h em o s tr e m a r k a b l eo fw h i c hi sk n o w na st h ec o n c e p to fac o n t i n u o u s p o s e t s ( g m a r k o w s k yr 一e h o f f m a n ，j dl a w s o n ，r ，l w i l s o n ) p r i m a r i l yi n i t i a t e d b yt h e o r e t i c a lc o m p u t e rs c i e n t i s ，t h es i g n i f i c i a no f t h i ss t r c t u r ew a sr e c o g n i z e db o t h f r o mat o p o l o g i c a ia n dal a t t i c et h e o r i t i c a p o i n to fv i e w ak i n do fc o m p l e t el a t t i c ew a ss t u d i e db yd s s c o t t ，w ec a no b t a i ne x a m p l e so f “c o m p l e t el a t t i c e ”f r o mm a n y f i e l d ss u c ha sa l g e b r a a n a l y s i sa n dt o p o l o g y , w ec a n d e f i n et h e “c o n t i n u o u sl a t t i c e ”b yt h ea u x i l u r yr e l a t i o n t h ew a y - b e l o wr e l a t i o n ，w e s a yt h a tt h ee l e m e n tbw a y b e l o wa ( b n ) i f f o ra l lc o m p l e t el a t t i c ela n df o ra l l d i r e c t e ds e t sd ，a s u p di m p l i e st h e r ee x i s t s8 ss u c ht h a tbss w es a yt h a t li sac o n t i n u o u sl a t t i c ei f f o ra l lg lw eh a v ea = s u p 舢a = s u p 6 己，b 口 ， o b v i o u s l yt h ec o n t i n u o u sl a t t i c ei sap o s e t t h e r ea r et w oi m p o r t a n tk i n d so ft o p o l o g i e si nt h ec o n t i n u o u sl a t t i c e ，o n ei s t h es c o t tt o p o l o g y 盯( l ) ，w h o s eo p e ns e t sa r eu p p e rs e t sua n df o ra l ld i r e c t e ds e t d ，i fs u p d u 辛d nu o t h eo t h e rk i n dt o p o l o g yi sl a w s o nt o p o l o g ya ( l ) g e n e r a t e db ys c o t tt o p o l o g ya n d l o w e rt o p o l o g y 叫( 五) a ss u b - b a s i co p e ns e t s b o q u a nl i a b s t r a c t 3 z c o n t i n u o u sp o s e r sw e r ei n t r o d u c e db yw r i g h tw a g n e ra n dt h a t c h e ra sag e n e r a l i z a t i o no fc o n t i n u o u sl a t t i c e s z c o n t i n u o u sp o s e r sa n dg e n e r a l i z e dz c o n t i n u o u s p o s e r sw e r eas u c c e s s f u lg e n e r a l i z a t i o no fc o n t i n u o u sl a t t i c e i nr e c e n tt w e n t yy e a r s ， m a n yp e o p l ed e v o t e do ni t t h ea l g e b r ap r o p e r t i e so fz c o n t i n u o u sp o s e t sh a v e b e e ns t u d i e db ys e v e r a la u t h o r s ，e g ，【7 】，1 8 j ，b u tt h et o p o t o g i c a lp r o p e r t i e so f z c o n t i n u o u sp o s e r sh a v es e l d o ms t u d i e d i nt h i s p a p e r 1w i l ls t u d yd e t a i lt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fz - c o n t i n u o u s p o s e t sa n dg e n e r a l i z e dz c o n t i n u o u sp o s e r sa n dg i v es o m ec a t e g o r i c a lp r o p e r t i e s o fz c o m p l e t ep o s e t sa n dz c o n t i n u o u sf u n c t i o n s i nc h a p t e r1 ，w ew i l l 舀v es o m ed e f i n i t i o n sa b o u tz c o n t i n u o u sp o s e t sa n ds o m e k i n d so fz - t o p o l o g y ，t h i sd e f i n i t i o n sa r ed u et ot h ep a p e r so f 【4 】1 【5 1 j 9 】 i nc h a p t e r2 w ei n t r o d u c ez c o n t i n u o u sf u n c t i o na n dz m i n i m a ls e t w ep r o v e t h a ti f ，：p - qa n di t s i n v e r s e ，一1 ：q - 尸a r et w oz - c o n t i n u o u sf u n c t i o n s t h e nfp r e s e r v e sz - m i n i m a ls e t ，w ea l s op r o v et h a ti fpa n dqa r et w oz - c o m p l e t e p o s e t s ，t h e n ，：p qi sz - c o n t i n u o u si fa n do n l yi f ，：( p 】仃z ( p ) ) ( q ，o z ( q ) ) i sc o n t i n u o u s i nc h a p t e r3 。w ed i s c u s ss o m e t o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dz - c o n t i n u o u s p o s e t s i n 【2 】，t h ea u t h o r si n t r o d u c e dak i n do fg e n e r a l i z e dz - c o n t i n u o u sp o s e r sa n d p r o v e dt h a ti fp i sa s t r o n gg z c p ，t h e na z ( p ) i s at 2 一t o p o l o g y , 1w i l lp r o v et h a ti f pi saz m e e tc o n t i n u o u ss t r o n gg z c p , t h e na z ( p ) i s a 死一t o p o l o g ) i nc h a p t e r4 ，w ew i l ld i s c u s ss o m ec a t e g o r i c a lp r o p e r t i e so fz c o m p l e t ep o s e t s a n dz c o n t i n u o u sf u n c t i o n s k e yw o r d s z - c o m p l e t ep o s e t ，z - c o n t i n u o u sp o s e r ，z - l a w s o nt o p o l o g y , z - c o n t i n u o u s f u n c t i o n ，z - m i n i m a ls e t ，g e n e r a l i z e dz c o n t i n u o u sp o s e t 4 摘要 n a nj i n cn o r m a lu n i v e r s i t y z 连续偏序集作为连续格一个推广已被w r i g h tw a g n e r 和t h a t c h e r 等介绍z - 连续 偏序集和广义墨连续偏序集是连续格的一个成功推广，在近二十多年来被多人研究过各连 续偏序集的代数性质已被研究过，见文【6 】，【7 】，【8l ，【9 】但是它的拓扑性质 却很少被研究 本文将讨论二连续偏序集和广义z 连续偏序集的一些拓扑性质以及给出z - 完备偏序集 和z 一连续函数的一些范畴性质第一章：文t6 】中作者介绍了一种z 一子集系统本部分 介绍z 连续偏序集的一些定义以及一些拓扑定义第二章：介绍曩连续函数和z 极小集 主要证明了。若函数f 和它的遵都是矗连续函数，则函数f 傈吕极小集同时证明了函数f 是不连续的充要条件为f 关于z - s c o t t 拓扑连续第三章：主要讨论广义z 一连续偏序集及 其拓扑性质文【21 中证明了若p 为强的玉广义连续偏序集，粥它的z - l a w s o n 拓扑是 h a u s d o r f f 的，但本文证明了若p 为强的暑广义交连续偏序集。则它的z l a w s o n 拓扑是正 则的第四章：讨论了z 完备偏序集和z - 连续函数的一些范畴性质 关键词吕完备偏序集z - 连续偏序集，z - l a w s o n 拓扑，z 连续函数。z - 极小集，广 义z 一连续偏序集 c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s 1 1i n t r o d u c t i o n i nr e c e n ty e a r s ，p a r t i a l l yo r d e r e dp o s e r s ( w r i t es h o r t l y “p o s e r s ”) h a v eb e c o m e i n c r e a s i n g l y i m p o r t a n tt oc o m p u t e rs c i e n c e i nt h ef i e l do fc o n t i n u o u sl a t t i c et h e “d i r e c t e ds e t ”p l a y a ni m p o r t a n tr o l e s u c ha 8t h ed e f i n i t i o no f t h ew a yb e l o wr e l a t i o n ”a n dt h ed e f i n i t i o no f s c o t tt o p o l o g y i n 5 1 ，j bw r i g h t ，e gw a g n e ra n dj w t h a t c h e rr e p l a c e “z - s e t s b yt h et e r mo f “d i r e c t e ds e t s ”t h ea u t h o r sc a l l e dt h en e wc o n c e p taz - i n d u c t i v ep o s e t s l e t “z s e t s ”b e z ( p ) ，t h e nw ec a nr e p l a c ez ( p ) b y “d i r e c t e ds e t s ”， f i n i t es e t s ”1 “c h a i n s ”a n d “a r b i t r a r y s e t s ” w ec a nd e f i n e “z i d e a l ，“z - c o m p l e t e ”，“z c o m p l e t e ”，“z c o n t i n u o u sp o s e t s ( z c p ) a n d “z a l g e b r a i cp o s e t ”w eh a v et h ep a r r e ld e f i n i t i o n ss u c ha s “i d e a l ”“u p - c o m p l e t e p o s e t ”“w a yb e l o wr e l a t i o n ，“c o n t i n u o u sl a t t i c e ”a n d “a l g e b r a i cl a t t i c e ” s e v e r a la u t h o r sh a v es t u d i e dt h ea l g e b r ap r o p e r t i e so fz - c o n t i n u o u sp o s e t s ，i n 【6 】，t h e a u t h o r sh a v es h o w nt h a tf o ra n ys u b s e ts y s t e mza n d a n y o r d e r p r e s e r v i n gm a p ：q _ + p o f p o s e t s t h ee x i s t e n c eo f a u n i v e r s a l m a p u i ：p p f l w h e r e p ! i sz - c o m p l e t ea n du yo i sz - c o n t i n u o u s ，t h e ya l s oo b t a i n e ds o m er e s u r so nt h ei n t e z n r ls t r u c t u r eo f p ，w i t hr e g 缸d t oz - j o i n s i n 【7 】，t h ea u t h o rm a i n l yp r o v e dt h a tt h ei m a g eo faz - c o n t i n u o u sp o s e tu n d e r az - m o r p h i s mi sz c o n t i n u o u sa n df o rau n i o n c o m p l e t ef u n c t i o n ，ap o s e ti sz c o n t i n u o u s i fa n d o n l yi fi ti st h ei m a g e o faz - a l g e b r a i c p o s e tu n d e r az - m o r p h i s m i n 【9 】，t h ea u t h o r 5 6 c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s m a i n l yd e v o t e dt of i n d i n gs o m en a t u r a lc l a s s e so fz - c o n t i n u o u sm a p p i n g su n d e rw h i c h t h ei m a g e so fz - c o n t i n u o u sp o s e t sa r ez - c o n t i n u o n s ，t h ea u t h o ra l s od e f i n eab a s i sf o ra z ，c o n t i n u o u sp o s e r sa n d g e n e r a l i z es o m e r e s u l t sa b o u tt h eb a s e so fc o n t i n u o u sl a t t i c ea n d c o n s i d e rt h es e to fa l lz - c o n t i n u o u se x t e n s i o n so fa l la r b i t r a r yp o s e rp t h e t o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fz - c o n t i n u o n sp o s t sh a v es e l d o ms t u d i e d ，i n 【4 】，t h ea u - t h o rg e n e r a l i z et h ed e f i n i t i o n so fl a w s o nt o p o l o g ya n ds c o t tt o p o l o g y ，g i v es o m et o p o l o 酉- c a lp r o p e r t i e so fz l a w s o nt o p o l o g y i nm y p a p e r ，1w i l ls t u d ys o m et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s o fg e n e r a l i z e dz - c o n t i n u o u sp o s e t s ( w r i t es h o r t l yg z c p ) ，t h em a i nr e s u l ti st h a ti fpi sa z - m e e tc o n t i n u o u ss t r o n gg z c p ，t h e ni t sl a w s o nt o p o l o g ya z ( p ) i sa 死一t o p o l o g y ，1w i l l s t u d y s o m ep r o p e r t i e so fz c o n t i n u o u sf u n c t i o na n dz - m i n i m a ls e t ，1w i l la l s od i s c u s ss o m e c a t e g o r i c a lp r o p e r t i e so fz - c o m p l e t ep o s e r sa n d z c o n t i n u o u sf u n c t i o n s ， 1 2z c o n t i n u o u sp o s e t sa n dz - l a w s o nt o p o l o g y d e f i n i t i o n1 1 【l 】l e tpb eap o s e t ，a p w es a y ： t a = f 。p i3 a a ，s u c h t h a t ：2 7 o ) 上a = z p i 弓口a ，s u c h t h a t 。o ) i n 6 】，w r i g h t ，w a g n e ra n d t h a t c h e rs u g g e s t e daw a yt og e n e r a l i z ed a n as c o t t sc o n - t i n u o u sl a t t i c e st oc o n t i n u o u sp o s e t s m a r k o w s k yh a da l r e a d yg e n e r a l i z e ds c o t t sc o n t i n u - o l t sp o s e r s i nb o t hs c o t t sa n dm a r k o w s k y sd e f i n i t i o nd i r e c t e ds e t sp l a y e da f u n d a m e n t a l r o l e i n1 6 】i n s t e a do fc o n f i n i n gt h e m s e l v e st od i r e c t e ds e t st h ea u t h o r si n t r o d u c e dam o r e g e n e r a lc o n c e p t ，t h a to f as u h s e ts y s t e m t h en e x td e f i n i t i o ni sd u et ot h e m d e f i n i t i o n1 2 1 5 】l e tp od e n o t et h ec a t e g o r yo fa l lp o s e r sw i t hm o n o t o n em a p s a sm o t p h i s m s as u b s e ts y s t e mo n t h ec a t e g o r yo fp oi saf u n c t o rz ：p d s e t s a t i s f y i n g t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 ) f o ra n yp o s e r sp ，z ( p ) 要2 7 2 ) l fpa n dqa r et w op o s e r sa n d ，：p _ 日a m o n o t o n em a p p i n g ，t h e nf o r a n y a z ( p ) ，( a ) z ( q ) ( 3 ) z ( p ) c o n t a i n s n o n e m p t y , n o n s i n g l e t o n s e tf o rs o x n ep o s e r sp ( 4 ) i fpa n dq a l et w op o s e t sa n d ，：p _ - - yqam o n o t o n em a p p i n g ，t h e nf o ra n y 1 , 2 z - c o n t i n u o u sp o s e t sa n dz - l a w s o nt o p o l o g y a z ( p ) ，z ( ) ( a ) = ，( ) e x a m p l e1 3 w es h a l lg i v es o m ek i n d so fs u b s e t ss y s t e m s ： ( 1 ) d ( p ) ：t h ef a m i l yo f a l ld i r e c t e ds u b s e t so fp ( 2 ) f ( p ) ：t h ef a m i l yo fa l ln o n e m p t y f i n i t es u b s e t so fp ( 3 ) p ( p ) ：t h ef a m i l yo f a l ls u b s e t so fp ( 4 ) 三( _ p ) ：t h ef a m i l yo fa l ls u b s e t so fp w h i c hh a v el o w e rb o u n d si np i n 3 t h ef o l l o w i n gt w op r o p o s i t i o n sw e r ep r o v e d ： p r o p o s i t i o n1 4 1 3 】 f o ra n yp o s e tpa n dp p w eh a v e p ) z ( p ) 7 p r o o f ：b yd e f i n i t i o n1 + 2 ( 3 ) ，t h e r ei s ap o s e tqa n dan o n e m p t ys e ts z ( p ) - t a k e ，：q _ p ，i ( q ) = p f o re v e r yq q ，b y d e f i n i t i o n l 。2 ( 3 ) ，w eh a v e p z ( p ) p r o p o s i t i o n1 5 l z l f o re a c hpa n dz ，掣p ，s u c ht h a tz 翟，w eh a v e 王，掣 z ( p ) p r o o f ： b yd e f i n i t i o n1 2 ( 3 ) t h e r ei s ap o s e tqs u c ht h a tz ( q ) c o n t a i n sas e tao f c a x d i n a l i t yg r e a t e rt h a no n e h e n c e ，t h e r ea x et w om e m b e r s o fa ，bo fas u c ht h a t8 菇b i t i se a s y t o c h e c k t h a t t h e f u n c t i o n ，：q _ p d e f i n e d f o r a n yc qb y ，( c ) = 。i fc b ， yo t h e r w i s e ，i sm o n o t o n e d e f i n i t i o n1 6 1 5 1l e tpb eap o s e t ，v s z ( p ) ，t h e ns u p se x i s t s ，w es a yp i sz - c o m p l e t e p o s e r s d e f i n i t i o n1 7ap o s e tpi sc a l l e dz - m e e tc o n t i n u o u si fi ti sz - c o m p l e t ea n ds a t i s f i e s ： s i a 岛z ( p ) f o r v s i ，昆z ( p ) a n ds u p s , s u p s 2 = s u p s l 岛 e s p e c i a l l yw eh a v e 霉a s u p s = s u p z s f o rv 。p v s z ( 尸) t h e u e x tt w od e f i n i t i o n sa x eg e n e r a t i o no fs c o t t sd e f i n i t i o no ft h ew a y - b e l o wr e l a t i o n a n dc o n t i n u o u sl a t t i c e ，t h e s ew e r ef i r s ti n t r o d u c e di n 【5 】 d e f i n i t i o n1 8 1 5 1 l e tpb ea z - c o m p l e t ep c 融e ta n dz ，p ，w es a yz q v 幸争v s z ( p ) ， i fs u p s t 掣= s n t 譬g i f 。司暑，d o e sn o th o l d w e w r i t e 。碧暑， 斗2 = ： y p ly 司。) 什。= ： v p lz q v ) 8 p r o p o s i t i o n1 9 i naz - c o m p l e t ep o s e tp w eh a v et h e f o l l o w i n gs t a t e m e n t sf o ra l l “) z ，鲈，g p ： ( 1 ) z 司v i m p l i e sz sv ( 2 ) t 工司挈sz i m p l i e s u q ：， ( 3 ) i f f o ra l ls z ( p ) ，8 1 ，s 2 sw e h a v e3 1v 8 2 量t h e n $ q 孑a n d 挈二t o g e t h e r i m p l y 扛v ) 日z ， ( 4 ) 0 日。 p r o o f ：( 1 ) ：b y 罩日y ，l e ts = 可) z ( p ) ，s u p s = y t = 争 可) nt 茹a ，t h a ti s o y ， ( 2 ) v s z ( p ) ，i fs u p s 1 z ，b yv z ，w eh a v e 可墨s u p s = s u p se t 掣，b y o 司，w eh a v es n t o a ，w ea l s oh a v e t 上5 茹= 争s n t n o ，t h a t i sn 司= ( 3 ) v s z ( p ) ，i fs u p s tz ，b yz 司2 ，w eh a v es n t 卫番，b y 司z ，w eh a v e s nty 鼠t h e r ea r e8 1 ，3 2 s ，s u c ht h a tz s la n d9s3 2 ，t h e nz v y s lv s 2f o r 3 i z ( p ) a n d s t z ( p ) s o t h e r ei ss lv8 2 s ，t h a ti ss v 乍( z v v ) 毋，s ow e h a v ebvy ) 司z ( 4 ) o b v i o u s l y f o r a l l3 s ，w eh a v eo s d e f i n i t i o n1 1 0 5 】ap o s e tpi sc a l l e dz - c o n t i n u o u si f ：( 1 ) i ti sz - c o m p l e t e ( 2 ) f o re v e r y z p ，t h e s e tu z i z ( p ) = ： 上s ls z ( p ) ) ( 3 ) v z p ，z = s u p u 正 z - c o n t i n u o u sp o s e tpi sw r i t es h o r t l yz c p t h en e x td e f i n i t i o ni sag e n e r a t i o no fs c o t tt o p o l o g ya n dl a w s o nt o p o l o g y , t h i sw f i r s ti n t r o d u c e di n 【4 1 d e f i n i t i o ni i i 4 f o ra p o s e tp l e ta z ( p ) d e n o t et h es e to f a l ls u b s e t suo fp s a t i s 母i n g t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 1 ) t u i sau p p e rs e t so f p ，t h a t i s u = t u ( 2 ) v s z ( p ) ，i fs u p s u = s n u o l e to j z ( p ) = p t 。悻p ) l e tx z ( p ) d e n o t et h et o p o l o g yo npg e n e r a t e db y a z ( p ) uu z ( p ) a ss u b - b a s i co p e ns e t s t h et o p o l o g ya z ( p ) i sc a l l e dz - l a w s o nt o p o l o g y ， d e f i n i t i o n1 1 2l e tpb eaz - c o m p l e t ep o s e t w ed e n o t e 万z ( p ) b et h et o p o l o g y 8 p r o p o s i t i o n1 9 i naz - c o m p l e t ep o s e tp w eh a v et h e f o l l o w i n gs t a t e m e n t sf o ra l l “) z ，鲈，g p ： ( 1 ) z 司v i m p l i e sz sv ( 2 ) t 工司挈sz i m p l i e s u q ：， ( 3 ) i f f o ra l ls z ( p ) ，8 1 ，s 2 sw e h a v e3 1v 8 2 量t h e n $ q 孑a n d 挈二t o g e t h e r i m p l y 扛v ) 日z ， ( 4 ) 0 日。 p r o o f ：( 1 ) ：b y 罩日y ，l e ts = 可) z ( p ) ，s u p s = y t = 争 可) nt 茹a ，t h a ti s o y ， ( 2 ) v s z ( p ) ，i fs u p s 1 z ，b yv z ，w eh a v e 可墨s u p s = s u p se t 掣，b y o 司，w eh a v es n t o a ，w ea l s oh a v e t 上5 茹= 争s n t n o ，t h a t i sn 司= ( 3 ) v s z ( p ) ，i fs u p s tz ，b yz 司2 ，w eh a v es n t 卫番，b y 司z ，w eh a v e s nty 鼠t h e r ea r e8 1 ，3 2 s ，s u c ht h a tz s la n d9s3 2 ，t h e nz v y s lv s 2f o r 3 i z ( p ) a n d s t z ( p ) s o t h e r ei ss lv8 2 s ，t h a ti ss v 乍( z v v ) 毋，s ow e h a v ebvy ) 司z ( 4 ) o b v i o u s l y f o r a l l3 s ，w eh a v eo s d e f i n i t i o n1 1 0 5 】ap o s e tpi sc a l l e dz - c o n t i n u o u si f ：( 1 ) i ti sz - c o m p l e t e ( 2 ) f o re v e r y z p ，t h e s e tu z i z ( p ) = ： 上s ls z ( p ) ) ( 3 ) v z p ，z = s u p u 正 z - c o n t i n u o u sp o s e tpi sw r i t es h o r t l yz c p t h en e x td e f i n i t i o ni sag e n e r a t