高中数学 第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.2 二次函数的性质与图象课堂探究 新人教B版必修1.doc

2.2.2 二次函数的性质与图象课堂探究探究一 二次函数的定义二次函数yax2bxc(a0)，当bc0时，函数变为yax2(a0)，它的图象是一条以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线；另外二次函数有以下几种形式：(1)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，其中(h，k)为其图象的顶点坐标(2)交点式(也称两根式)：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是其图象与x轴交点的横坐标(3)一般式：f(x)ax2bxc(a0)【典型例题1】 当m为何值时，函数y(2m)xm2m4(m8)x是二次函数？思路分析：根据二次函数的定义，只要保证二次项系数2m0且x的指数m2m42即可解：由二次函数的定义知即解得所以m3.所以当m3时，函数y(2m)xm2m4(m8)x为二次函数点评在求解本题时，一定要严格把握二次函数的定义，也就是说函数yax2bxc只有在a0的条件下才是二次函数，同时注意二次函数的每一项都是整式形式探究二 二次函数的图象和性质1根据配方法及函数的性质画函数图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，使图象更精确2二次函数yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程ax2bxc0的根，二次函数图象在x轴上方部分对应的x取值范围即为不等式ax2bxc0的解；同样二次函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围，即为不等式ax2bxc0的解【典型例题2】 已知函数f(x)x22x3.(1)用配方法求出函数的对称轴、顶点坐标，并作出图象，指出其单调区间；(2)由图象写出y0时x的取值范围思路分析：本题考查配方法和二次函数的图象与性质解题的关键是配方，完成配方后再结合图象研究其性质解：(1)f(x)x22x3(x22x)3(x1)24，则该函数的对称轴为x1，顶点坐标为(1,4)，其图象如图所示其单调增区间为(，1，单调减区间为1，)(2)由图象知当y0时，x1或x3；当y0时，1x3，故当y0时x的取值范围是1,3探究三 二次函数单调性与对称性的应用1利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法：已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题解答此类问题的关键在于先找出函数图象的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系2函数的对称性：(1)若函数yf(x)的图象关于直线xa对称，则f(ax)f(ax)对任意x都成立，这个关系式我们也常常表示为：f(x)f(2ax)，也说明函数图象关于直线xa对称(2)若函数f(x)对任意x有f(ax)f(bx)，则函数f(x)图象的对称轴为x.【典型例题3】 (1)若函数f(x)x22mx1在区间1,2上是单调的，则实数m的取值范围是_；(2)如果函数f(x)x2bx1对任意实数x都有f(2x)f(2x)，求f(1)，f(2)的值(1)解析：函数f(x)x22mx1(xm)21m2，其图象的对称轴为xm，若函数在1,2上单调，说明对称轴不在区间1,2内部，故有m1或m2，得m1或m2.答案：m1或m2(2)解：由题意知，函数图象关于x2对称，故2，得b4，所以f(x)x24x1，f(1)1412，f(2)4813.探究四二次函数的最值(值域)对于二次函数yax2bxc(a0)的最值问题，首先应采用配方法，化为ya(xh)2k的形式(1)求二次函数在定义域r上的最值；(2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型：顶点固定，区间也固定此种类型是较为简单的一种，只要找到对称轴，画出图象，将区间标出，最值一目了然顶点变动，区间固定这种类型是比较重要的，在高考题中多次出现，主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况，然后根据不同情况写出最值顶点固定，区间变动此种情况用的较少，在区间里含有参数，根据区间分别在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论【典型例题4】 已知函数f(x)x22ax2.(1)当a1时，求函数f(x)在区间5,5上的最大值和最小值；(2)用a表示出函数f(x)在区间5,5上的最值思路分析：将原函数先配方，对于第(2)问还要结合图象进行分类讨论解：(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，因为15,5，故当x1时，f(x)取得最小值，f(x)minf(1)1；当x5时，f(x)取得最大值，f(x)maxf(5)(51)2137.(2)函数f(x)x22ax2(xa)22a2的图象开口向上，对称轴为xa.当a5，即a5时，函数在区间5,5上是增函数，所以f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；当5a0，即0a5时，函数图象如图(1)所示，由图象可得f(x)minf(a)2a2，f(x)maxf(5)2710a；当0a5，即5a0时，函数图象如图(2)所示，由图象可得f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当a5，即a5时，函数在区间5,5上是减函数，所以f(x)minf(5)2710a，f(x)maxf(5)2710a.综上可得，当a5时，f(x)在区间5,5上的最大值为2710a，最小值为2710a；当0a5时，f(x)在区间5,5上的最大值为2710a，最小值为2a2；当5a0时，f(x)在区间5,5上的最大值为2710a，最小值为2a2；当a5时，f(x)在区间5,5上的最大值为2710a，最小值为2710a.【典型例题5】 设f(x)x24x4，xt，t1(tr)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式思路分析：本题属于轴定区间动的情形，分三种情况讨论f(x)的最小值解：f(x)(x2)28，xt，t1，当2t，t1，即1t2时，g(t)f(2)8.当t12，即t1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.当t2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4.综上可知，g(t)探究五 易错辨析易错点缩小了参数的范围而致误【典型例题6】 已知f(x)x2ax3a，若x2,2，f(x)0恒成立，求a的取值范围错解：结合二次函数f(x)x2ax3a的图象可知，要使f(x)0在x2,2上恒成立，则只需a24(3a)0，解得6a2.错因分析：原题中信息是f(x)0对任意x2,2恒成立，而上面错解中误认为f(x)0对任意xr恒成立，因此使所求范围缩小了正解：设f(x)在2,2上的最小值为g(a)，则只需g(a)0.当2，即a4时，g(a)f(2)73a0，得a.又a4，故此时a不存在当22