高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.2 任意角的三角函数 1.2.3 同角三角函数的基本关系式学案 新人教B版必修4.doc

1.2.3同角三角函数的基本关系式基础知识基本能力1理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan .(重点)2会利用同角三角函数的基本关系式进行相关的化简、求值、证明等(重点、难点)1已知一个角的一个三角函数值，会求这个角的其他三角函数值(重点)2熟练掌握(sin cos )212sin cos 在化简、求值、证明中的应用(难点)1同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan .名师点拨(1)同角三角函数的基本关系式，反映了同角三角函数之间的内在联系这里的“同角”，应作广义的理解，例如与，3与3是同角，5与5也是同角(2)同角三角函数的基本关系式有着广泛的应用比如可以根据一个角的某一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值；还可以化简三角函数式以及证明有关的三角恒等式等【自主测试11】若sin ，则tan 等于()a b c d解析：因为sin ，所以cos .所以tan .答案：d【自主测试12】(tan xcot x)cos2x等于()atan x bsin xccos x dcot x解析：(tan xcot x)cos2xcos2xcos2xcot x.答案：d2同角三角函数的基本关系式成立的条件当r时，sin2cos21成立；当k(kz)时，tan 成立.【自主测试2】cot 成立的条件是_答案：k(kz)1探索sin cos ，sin cos ，sin cos 之间的关系剖析：sin2cos21，sin22sin cos cos212sin cos .(sin cos )212sin cos .同理可得(sin cos )212sin cos .(sin cos )2(sin cos )22，sin cos (sin cos )2(sin cos )2.sin cos ，sin cos ，sin cos 可“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视2同角三角函数关系式的应用指南剖析：(1)已知角的一个三角函数值，求的其余三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号一般有以下三种情况：已知三角函数值且角在某一确定的象限，这时只有一组解；已知三角函数值，但没有给出角所在的象限，这时一般有两组解，需对角所在的象限分两种情况讨论如已知sin ，求cos ，tan ；所给三角函数值为字母，这时必须对字母的各种取值情况进行分类讨论如已知sin t，求cos ，tan .(2)在计算、化简或证明三角函数式时，常用的技巧有：“1”的代换，减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切；多项式运算技巧的运用，如因式分解等；条件或结论的重新整理、配置或改造，以便更有利于同角三角函数式的应用(3)运用三个基本关系式进行化简、求值、证明时，主要是灵活运用公式，思考方向可归纳为三点：寻找差异：观察角、函数、关系结构的差异；寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；合理转化：选择恰当的公式实现差异的转化题型一 利用同角三角函数基本关系式求值【例题1】已知是第四象限的角，且tan ，求sin .解：由解得sin .又为第四象限的角，sin 0.sin .反思在利用同角三角函数基本关系式时，一定要注意角所在的象限，若没有象限的限制，则要进行分类讨论；再者，要注意关系式中的角必须是同角，否则不能使用此公式互动探究若将本例中条件“是第四象限的角”改为“是abc中的内角”，结论又如何？解：sin.题型二 含字母的求值问题【例题2】已知sin m(|m|1)，求tan 的值分析：可先由cos ，根据正、负号的选取情况对作出讨论，再求tan .解：(1)当m0时，tan 0.(2)当m1时，的终边落在y轴上，此时tan 无意义(3)当在第一、四象限时，cos 0，cos ，tan .当在第二、三象限时，cos 0，cos ，tan .反思通过本例的求解可得出含参类问题通常用分类讨论的思想来解决注意分类讨论时，要做到“不重不漏”题型三 关于sin ，cos 齐次式的求值问题【例题3】已知tan ，求下列各式的值(1)2sin2sin cos 5cos2；(2).分析：将原式化为含tan 的式子，然后整体代入即可解：(1)原式.(2)原式.题型四 重要关系式(sin cos )212sin cos 的应用【例题4】已知sin cos ，0，求sin cos 的值分析：欲求sin cos 的值，可先求(sin cos )2，为此需由已知条件求出sin cos 的值，解题中要注意sin cos 的符号解：sin cos ，(sin cos )2，解得sin cos .0，且sin cos 0，sin 0，cos 0，sin cos 0.又(sin cos )212sin cos ，sin cos .反思常见错误错误原因sin cos ，(sin cos )2，得sin cos .(sin cos )212sin cos ，sin cos .错误原因是忽略了角的取值范围，根据0这一条件，再由sin cos 0，可以确定sin cos 的符号解此类问题的关键是确定符号.题型五 三角恒等式的证明【例题5】求证：sin (1tan )cos .分析：采用切化弦的方式，将等式左边的正切值用正弦值和余弦值的关系式表示证明：原式左边sin cos sin cos 右边故原式成立反思证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边(2)证明左右两边都等于同一个式子(3)变更论证采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式题型六 易错辨析【例题6】若sin ，cos (k3)，求的值错解：由tan ，得tan ，故.错因分析：没有利用sin 与cos 之间的内在关系式sin2cos21求出k值正解：sin ，cos ，sin2cos21，221，k26k70，解得k7或k1.当k1时，cos 0，tan 不存在，k1舍去当k7时，sin ，cos ，tan ，故.1若，且cos2，则tan 的值等于()a b c d解析：，cos ，tan.答案：d2已知sin ，(0，)，则tan 的值等于()a b c d解析：sin2cos21，(0，)，cos .tan .答案：c3已知sin cos ，则sin3cos3()a b c d解析：sin cos ，上式两边平方得12sin cos ，sin cos .sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(sin cos )(1sin cos ).答案：b4a为abc的一个内角，若sin acos a，则这个三角形的形状为()a锐角三角形 b钝角三角形c等腰直角三角形 d直角三角形解析：由sin acos a两边平方得sin acos a0.a为abc的一个内角，0a，结合sin acos a0，知sin a0，cos a0，a.abc为钝角三角形答案：b5已知sin 0，tan 0，则化简的结果为_答案：cos 6若f(tan x)sin xcos x，则f的值是_解析：f(tan x)sin xcos x，f(x)，f.答案：7已知tan 2，先化简，再求值：(1)_；