微元法的应用

微元法的应用 一 学习目标 微元法在高考中的地位 微元法是一种深刻的思维方法 先分割逼近 找到规律 再累计求和 达到了解整体的目的 关于微元法的题目 连续几年出现在江苏高考物理试卷中和各大高校的自主招生考试中 微元法在教材中的广泛应用 在处理匀变速直线运动的位移 瞬时速度 曲线运动速度方向 万有引力由 质点 向 大的物体 过渡 探究重力做功 变力做功 推导第二宇宙速 推导正弦式交流电峰值和有效值的关系等等 微元法的一般思维程序 例1如图1所示 一个质量为m的钢性圆环套在一根固定的足够长的水平直杆上 环的半径略大于杆的半径 环与杆之间的动摩擦因数为 t 0时刻给环一个向右的初速度v0 同时对环施加一个方向始终竖直向上的力F 已知力F的大小为F kv k为大于0的常数且已知 v为环的运动速度 且有kv0 mg t t1时刻环开始沿杆做匀速直线运动 试求 在0 t1时间内 环沿杆运动的距离 一 微元法在力学中的应用 环做加速度减小的减速运动 最后匀速 解析 kv1 mg v1 mg k 环在任意时刻t的加速度a kv mg m 式改写为 v kv t m g t 在v0 v1区间内对 式各项求和有 v k x m g t 由 式可得v0 v1 kx m gt1 式整理得x m v0 mg k gt1 k k x m g t 取一段时间微元 t 0 a v t 求 在0 t1时间内 环沿杆运动的距离 练习1 从地面上以初速度v0竖直上抛出质量为m的球 若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比 t1时刻到达最高点 再落回地面 落地时速率为v1 落地前球已经做匀速运动 求 作出球运动的速率随时间变化的图象 球上升的最大高度 设上升至速度为v时加速度为a ma mg kv 对变化的速度 位移从牛顿定律出发 采取先微元 再求和的方法 并注意换元的技巧 取一段时间微元 t a v t有 例2 如图所示 一个由绝缘细线构成的刚性轨道水平放置 轨道OCD部分光滑 是以B为中心 l为半径的半圆 AB 2l 直轨道DE部分是粗糙的且足够长 轨道上A处有电荷量为Q1的正点电荷 B处有电荷量为Q2的负点电荷 Q2 Q1 一个质量为m电荷量为 q的小环套在轨道上 环与轨道间的动摩擦因数为 已知点电荷产生电场时 若以无穷远为零势面 其电势可表示为 kQ r Q为场源电荷 r为与电荷的距离 1 若小环初始位置在O处 受到轻微扰动后沿半圆轨道加速运动 求小环运动至D处的速度大小v0 二 微元法在静电场中的应用 解 1 根据点电荷产生的电势公式可知 Q2在O D两处产生的电势相等 小环从O运动到D只有点电荷Q1对环做功 由动能定理可得WOD q O D mv02 2即kQ1q l kQ1q 3l mv02 2解得 例2 2 若小环到达D点后沿直轨道DE运动 设小环在两个点电荷Q1 Q2共同作用下所受库仑力与速度大小成正比 比例系数为k 经过时间t0静止 求小环在直轨道上运动的距离x 解析 设某时刻t小环运动速度为v时加速度为a mg kv m 取一段时间微元 t a v t有 v g t kv t m g t k x m v g t k m x v0 gt0 kx mx m v0 gt0 k 练习2 电量Q均匀分布在半径为R的圆环上 如图3所示 求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度和电势 图3 解析 选电荷元 空间元 注意矢量和标量不同的叠加方法 它在P点产生的电场的场强的x分量为 根据对称性 电荷元在P点的电势为 三 微元法在电磁感应中的应用 例3 如图4 两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成 角 导轨间距为d 两导体棒a和b与导轨垂直放置 两根导体棒的质量都为m 电阻都为R 回路中其余电阻不计 整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中 磁感应强度的大小为B 在t 0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动 同时将b由静止释放 b经过一段时间后也作匀速运动 已知d 1m m 0 5kg R 0 5 B 0 5T 30 g取10m s2 不计两导棒间的相互作用力 三 微元法在电磁感应中的应用 为使导体棒b能沿导轨向下运动 a的速度v不能超过多大 解析 设a的速度为v1 由于b初态速度为零 则I E1 2R Bdv1 2R 对b FA BId B2d2v1 2R b要下滑FA mgsin 将 式代入 式得 v1 10m s 三 微元法在电磁感应中的应用 例3 如图4 两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成 角 导轨间距为d 两导体棒a和b与导轨垂直放置 两根导体棒的质量都为m 电阻都为R 回路中其余电阻不计 整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中 磁感应强度的大小为B 在t 0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动 同时将b由静止释放 b经过一段时间后也作匀速运动 已知d 1m m 0 5kg R 0 5 B 0 5T 30 g取10m s2 不计两导棒间的相互作用力 若a在平行于导轨向上的力F作用下 以v1 2m s的速度沿导轨向上运动 试导出F与b的速率v2的函数关系式并求出v2的最大值 解析 设a的速度为v1 b的速度为v2 回路电流为I 则 I E1 E2 2R Bd v1 v2 2R 对a mgsin FA Fmgsin B2d2 v1 v2 2R F 代入数据得 F 3 v2 4 N 设b的最大速度为vm 则有 B2d2 v1 vm 2R mgsin 代入数据得 vm 8m s 三 微元法在电磁感应中的应用 在 中 当t 2s时 b的速度达到5 06m s 2s内回路中产生的焦耳热为13 2J 求该2s内力F做的功 结果保留三位有效数字 解析 对b mgsin FA ma即mgsin B2d2 v1 v2 2R ma取一段时间微元 t a v t mgsin B2d2 v1 v2i 2R m v2i t代入数据并整理得 8 v2i 2 v2i t 等式求和得 8 t v2i t 2 v2i8t x2 2v2将t 2s v2 5 06m s代入上式得 x2 5 88m 解法1 a的位移 x1 v1t 2 2 4m由动能定理知 mv22 2 0 WF mgx1sin mgx2sin WAWA Q代入数据得 WF 14 9J 解法2 棒a有一很小位移 x1时 力F做的功为Wi Fi x1 mgsin30 x1 B2d2 v1 v2i x 2R代人数据得Wi 3 x1 0 25v2i x1式中v2i可由 式求得 v2i 8 2 v2i t得 Wi 3 x1 8 2 v2i t 0 25 x1 5 x1 0 5 v2i x1 t式中 v2i为棒b在 t时间内的速度增量 x1为棒a在 t时间的位移 所以 x1 t v1 2m s 代入 式并求和得WF 5 x1 0 5v1 v2i 5x1 0 5v1v2 5 4J 1 5 06J 14 9J 两种解法 其中第二种解法并未使用 2s内回路中产生的焦耳热为13 2J 这一条件 所以 这是一个有多余已知条件的高考模拟题 在条件充分的情况下 微元法并不是唯一选择 不要形成遇到电磁感应必用微元这样的先入为主的印象 练习3 1如图5所示 两平行光滑的金属导轨AD CE相距L 1 0m 导轨平面与水平面的夹角 30 下端用导线连接R 0 40 的电阻 导轨电阻不计 PQGH范围内存在方向垂直导轨平面的磁场 磁场的宽度d 0 40m 边界PQ HG均与导轨垂直 质量m 0 10kg 电阻r 0 10 的金属棒MN垂直放置在导轨上 且两端始终与导轨电接触良好 从与磁场上边界GH距离也为d的位置由静止释放 取g 10m s2 1 若PQGH范围内存在着磁感应强度随高度变化的磁场 在同一水平线上各处磁感应强度相同 金属棒进入磁场后 以a 2 5m s2的加速度做匀加速运动 求磁场上边缘 紧靠GH 的磁感应强度 2 在 1 的情况下 金属棒在磁场区域运动的过程中 电阻R上产生的热量是多少 3 若PQGH范围内存在着磁感应强度B 0 50T的匀强磁场 金属棒在磁场中运动过程受到F 0 75v 0 5 N v为金属棒运动速度 沿导轨向下的力作用 求金属棒离开磁场时的速度 解析 1 设磁场上边缘的磁感应强度为B0 金属棒刚进入磁场时的速度为v0 产生的感应电流为I0 受到的安培力为F0 则有I0 B0Lv0 R r F0 B0I0Lmv02 2 mgdsin mgsin F0 ma代入数据解得v0 2m s B0 0 25T 2 设电阻R上产生的热量为Q 金属棒到达磁场下边界时的速度为v 则v2 v02 2admv2 2 0 mg 2dsin WAWA Q总Q总 mg 2dsin mv2 2QR RQ总 R r 代入数据解得QR 0 080J 3 设金属棒离开磁场时的速度为v 则mgsin F F安 m v t其中F安 t BIL t B2L2v t R r B2L2 x R r 则 m v mg t 2 F t B2L2 x R r 0 25 x即m v v0 0 25d代入数据解得v 3 0m s 练习3 2如图6所示 两根足够长的平行金属导轨由倾斜和水平两部分平滑连接组成 导轨间距L 1m 倾角 45 水平部分处于磁感应强度B 1T的匀强磁场中 磁场方向竖直向上 磁场左边界MN与导轨垂直 金属棒ab质量m1 0 2kg 电阻R1 1 金属棒cd质量m2 0 2kg 电阻R2 3 导轨电阻不计 两棒与导轨间动摩擦因数 0 2 开始时 棒ab放在斜导轨上 与水平导轨高度差h 1m 棒cd放在水平轨上 距MN距离为s0 两棒均与导轨垂直 现将ab棒由静止释放 取g 10m s2 求 1 棒ab运动到MN处的速度大小 2 棒cd运动的最大加速度 3 若导轨水平部分光滑 要使两棒不相碰 棒cd距离MN的最小距离s0 解析 1 对ab运用动能定理得m1gh m1gcos45 h sin45 m1v02 2v0 4m s 2 棒ab运动到MN处 cd加速度最大Em BLv0Im Em R1 R2 Fm B2L2v0 R1 R2 1NFm m2g m2aa 3m s2 3 在光滑不相碰的情况下 两棒最终速度必相等 设为vm对ab棒有vm v0 a1 t F1 t m对cd棒有vm 0 a2 t F2 t m任一时刻有F1 F2 故得vm v0 vm 0 即vm v0 2设某时刻ab的速度为v1 cd的速度为v2 在时间微元内 ab速度变化为 v1E BL v1 v2 I E R1 R2 由牛顿运动定律对ab有F1 m1 v1 t B2L2 v1 v2 R1 R2 得v1 v2 R1 R2 m1 v B2L2 t两棒在水平导轨运动的相对位移 即为两棒不相碰的最小距离 故有S0 v1 v2 t R1 R2 m1 B2L2 v1 R1 R2 m1 B2L2 v0 v0 2 1 6m 牛顿定律微分形式与动量定律 动量守恒定律的关系 当我们通过一定数量 微元求和法 习题的练习后 切忌逢电磁感应综合题就先入为主的要采用 微元求和法 解题 请看练习3 3 练习3 3 如图7所示 光滑绝缘水平面上放置一均匀导体制成的正方形线框abcd 线框质量为m 电阻为R 边长为L 有一方向竖直向下的有界磁场 磁场的磁感应强度为B 磁场区宽度大于L 左边界与ab边平行 线框在水平向右的拉力作用下垂直于边界线穿过磁场区 1 若线框以速度v匀速穿过磁场区 求线框在离开磁场时ab两点间的电势差 2 若线框从静止开始以恒定的加速度a运动 经过t1时间ab边开始进入磁场 求cd边将要进入磁场时刻回路的电功率 3 若线框以初速度v0进入磁场 且拉力的功率恒为P0 经过时间T cd边进入磁场 此过程中回路产生的电热为Q 后来ab边刚穿出磁场时 线框速度也为v0 求线框穿过磁场所用的时间t 解析 1 线框在离开磁场时 cd边产生的感应电动势E BLv回路中的电流I E R则ab两点间的电势差U IRab BLv 4 2 t1时刻线框速度v1 at1设cd边将要进入磁场时刻速度为v2 则v22 v12 2aL此时回路中电动势E2 BLv2回路的电功率P E22 R解得P B2L2 a2t12 2aL R 3 设cd边进入磁场时的速度为v 进入磁场过程中 P0T WA mv2 2 mv02 2 P0T Q设线框从cd边进入到ab边离开磁场的时间为 t 则P0 t mv02 2 mv2 2解得 t Q P0 T线框离开磁场时与进入过程相同 时间还是T 所以线框穿过磁场总时间tt 2T t Q P0 T 巩固1 如图8所示 两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上 导轨间距为l 导轨足够长且电阻忽略不计 导轨平面的倾角为 条形匀强磁场的宽度为d 磁感应强度大小为B 方向与导轨平面垂直 长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成 型装置 总质量为m 置于导轨上 导体棒中通以大小恒为I的电流 由外接恒流源产生 图中未图出 线框的边长为d d l 电阻为R 下边与磁场区域上边界重合 将装置由静止释放 导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回 导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直 重力加速度为g 求 1 装置从释放到开始返回的过程中 线框中产生的焦耳热Q 2 线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 3 经过足够长时间后 线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm 图8 解析 1 设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中 作用在线框上的安培力做功为W由动能定理mgsin 4d W BIld 0且Q W解得Q 4mgdsin BIld 2 设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1 则线框共向下运动2d 由动能定理mgsin 2d W mv12 2 0有装置在磁场中运动时收到的合力F mgsin FA感应电动势E感 Bdv感应电流I感 E感 R安培力FA BI d由牛顿第二定律 取时间微元 t 有a v t F m则 v gsin B2d2v mR t有v1 gt1sin 2B2d3 mR解得 3 经过足够长时间后 线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动由动能定理mgsin xm BIl xm d 0解得xm BIld BIl mgsin 巩固2 如图9所示 两根相距为d足够长的光滑平行金属导轨位于水平的xOy平面内 导轨与x轴平行 左端接有阻值为R的电阻 在x 0的一侧存在竖直向下的磁场 金属棒质量为m 电阻为r 与金属导轨垂直放置 且接触良好 开始时 金属棒位于x 0处 现给金属棒一大小为v0 方向沿x轴正方向的初速度 金属棒沿导轨滑动 金属导轨电阻可忽略不计 问 金属棒滑行过程中安培力对金属棒做的功和电阻R上产生的焦耳热 若导轨间的磁场是匀强磁场 磁感应强度为B 导体棒最终在导轨上静止时的坐标x1 若导轨间的磁场是非匀强磁场 磁感应强度B沿x轴正方向增加 且大小满足 导体棒最终在导轨上静止时的坐标x2 图9