高考数学一轮复习 第5单元 数列听课学案 理.doc

第五单元 数列第28讲数列的概念与简单表示法课前双击巩固1.数列的有关概念有关概念定义数列按照排列的一列数数列的项数列中的数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与之间的关系式前n项和数列an中,sn =2.数列的表示法表示法定义列表法通过表格表示n与an的对应关系图像法用平面直角坐标系内的y轴一系列孤立的点表示公式法通项公式an= 递推公式an+1= f(an) ;an+1=f(an, an-1)3.数列的分类 分类原则类型满足条件单调性递增数列nn*递减数列常数列an+1=an周期性周期数列对nn*,存在正整数常数k, 使an+k =其他标准有界数列存在正数m,使摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项4. an 与sn 的关系已知数列an的前n项和sn ,则an=s1,n=1,sn-sn-1,n2. 常用结论求数列的最大(小)项,一般可以利用数列的单调性,即用anan-1,anan+1(n2,nn*)或anan-1,anan+1(n2,nn*)求解,也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解.题组一常识题1.教材改编 已知数列的前几项为1,-322,532,-742,则该数列的一个通项公式是.2.教材改编 已知数列an满足an=(n-)2n(nn*),若an是递增数列,则实数的取值范围是.3.教材改编 在数列an中,若a1=1,an=1+1an-1(n2),则a3=.题组二常错题索引:忽视数列是特殊的函数,其自变量为正整数集n*或其子集1,2,n;求数列前n项和sn的最值时忽视项为零的情况;根据sn求an时忽视对n=1的验证.4.在数列-1,0,19,18,n-2n2中,0.08是它的第项.5.在数列an中,an=-n2+6n+7,当其前n项和sn取最大值时,n= .6.已知sn=2n+3,则an=.课堂考点探究探究点一根据数列的前几项求数列的通项公式1 (1)数列an的前几项为12,3,112,8,212,则此数列的通项公式可能是()a.an=5n-42 b.an=3n-22c.an=6n-52d.an=10n-92(2)数列32,-54,78,-916,的一个通项公式为()a.an=(-1)n2n+12nb.an=(-1)n2n+12nc.an=(-1)n+12n+12nd.an=(-1)n+12n+12n(3)数列an的前几项为7,77,777,7777,则此数列的通项公式可能是. 总结反思 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略:(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.(2)具体策略:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n,3n等形式递增;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值的特征;化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,nn*来处理.式题 (1)数列152,245,3510,4817,6326,的一个通项公式为.(2)数列13,-45,97,-169,的一个通项公式可以为.探究点二由an与sn求通项公式an2 (1)已知数列an的前n项和sn=2n+n2+1(nn*),则通项公式为an=.(2)已知数列an的前n项和sn满足an+2snsn-1=0(n2,nn*),a1=12,则通项公式为an=. 总结反思 已知sn求an的常用方法是利用an=s1,n=1,sn-sn-1,n2转化为关于an的关系式,再求通项公式.主要分三个步骤完成:(1)先利用a1=s1,求得a1;(2)用n-1替换sn中的n得到一个新的关系式,利用an=sn-sn-1(n2)便可求出当n2,nn*时的通项;(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n2,nn*时an的表达式,如果符合则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n2两段来写.式题 (1)2017西宁五中月考 已知数列an的前n项和sn=13n2+23,则通项公式为an=.(2)已知数列an的前n项和为sn,且sn=2an-2,则数列an的通项公式为an=.探究点三数列的函数特征考向1求最大(小)项3 (1)2017临川实验中学月考 已知an=n-2017n-2016(nn*),则在数列an的前100项中最小项和最大项分别是()a.a1,a100b.a100,a44c.a45,a44d.a44,a45(2)已知数列an的通项公式为an=(n+1)1011n(nn*),则该数列的最大项是第项. 总结反思 求数列的最大项与最小项的常用方法:(1)将数列视为函数fx当xn*时所对应的一列函数值,根据fx的类型作出相应的函数图像,或利用求函数最值的方法,求出fx的最值,进而求出数列的最大(小)项;(2)通过通项公式an研究数列的单调性,利用anan-1,anan+1(n2)确定最大项,利用anan-1,anan+1(n2)确定最小项.(3)比较法:若有an+1-an=f(n+1)-f(n)0或an0时,an+1an1,则an+1an,则数列an是递增数列,所以数列an的最小项为a1=f(1);若有an+1-an=f(n+1)-f(n)0时,an+1an1,则an+1an,则数列an是递减数列,所以数列an的最大项为a1=f(1).考向2单调性的应用4 2017永州二模 已知数列an的前n项和sn=3n(-n)-6,若an为递减数列,则的取值范围是()a.-,2b.-,3c.-,4d.-,5 总结反思 数列的单调性是数列最重要的性质之一,它在求参数的取值范围、证明不等式及恒成立等问题中有着广泛应用.应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的常用方法有两个:(1)利用数列对应的函数的单调性判断;(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断.强化演练1.【考向1】已知数列an的通项公式为an=-23n,则数列an的最大项为()a.a1b.a2c.a3d.a42.【考向1】已知数列an的通项公式为an=49n-1-23n-1,则数列an()a.有最大项,没有最小项b.有最小项,没有最大项c.既有最大项又有最小项d.既没有最大项又没有最小项3.【考向2】设函数fx=12x-1,x2,(k-2)x,x2,数列an的通项公式为an=fn(nn*),若数列an是递减数列,则实数k的取值范围为()a.-,2b.-,138c.-,74d.138,24.【考向1】数列an的通项公式为an=(2n+1)12n-1,则数列an的最大项为.5.【考向2】若an=2n2+n+3(其中为实常数),nn*,且数列an为递增数列,则实数的取值范围为.探究点四由数列的递推关系式求通项公式考向1形如an+1=an+fn,求an5 2017衡水中学六调 若数列an满足a1=1,且对于任意的nn*都有an+1=an+n+1,则1a1+1a2+1a2017等于()a.20172018b.20162017c.40322017d.21071009 总结反思 形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时,常用累加法求出an-a1与n的关系式,进而得到an的通项公式.考向2形如an+1=anfn,求an6 2017成都二诊 在数列an中,a1=1,an=n2n2-1an-1(n2,nn*),则数列ann2的前n项和tn=. 总结反思 形如an+1=anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时,常用累乘法求出ana1与n的关系式,进而得到an的通项公式.考向3形如an+1=pan+q,求an7 2017黄冈中学三模 已知数列an满足an+1=3an+2,且a1=2.(1)求证:数列an+1是等比数列;(2)求数列an的通项公式. 总结反思 形如an+1=pan+q的递推关系式求通项公式时,一般先构造公比为p的等比数列an+x,即将原递推关系式化为an+1+x=p(an+x)的形式,再求出数列an+x的通项公式,最后求an的通项公式.考向4形如an+1=aanban+c(a,b,c为常数),求an8 2017湖北六校联合体联考 已知数列an满足a1=1,an+1=anan+2(nn*),若bn+1=(n-2)1an+1(nn*),b1=-32,且数列bn是递增数列,则实数的取值范围是()a.45b.1c.32d.0时,an是数列;当d0,d0,则sn存在最值;若a10,则sn存在最值.常用结论等差数列的性质1.已知an,bn是公差分别为d1,d2的等差数列,sn是an的前n项和,则有以下结论:(1)a2n是等差数列,公差为 2d1.(2)pan+qbn是等差数列(p,q都是常数),且公差为pd1+qd2.(3)ak,ak+m,ak+2m,(k,mn*)是公差为 md1 的等差数列.(4)snn成等差数列,其首项与an的首项相同,公差是an的公差的12 .(5)数列pan,an+p都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别为pd1,d1.2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为2n,则s偶-s奇= nd ,s奇s偶=anan+1.(2)若项数为2n-1,则s偶=(n-1)an,s奇= nan,s奇-s偶= an ,s奇s偶=nn-1 .3.两个等差数列an,bn的前n项和分别为sn,tn,它们之间的关系为anbn=s2n-1t2n-1.题组一常识题1.教材改编 在等差数列an中,a5=9,且2a3=a2+6,则a1=.2.教材改编 在等差数列an中,a2=-1,a6=-5,则s7=.3.教材改编 在等差数列an中,s4=4,s8=12,则s12=.4.教材改编 已知等差数列an的公差为d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m=.题组二常错题索引:忽视等差数列中项为0的情况,考虑不全而忽视相邻项的符号,等差数列各项的符号判断不正确5.在等差数列an中,a1=-28,公差d=4,则前n项和sn取得最小值时n的值为.6.首项为-20的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是.7.已知等差数列an的通项公式为an=11-n,则|a1|+|a2|+|a20|=.课堂考点探究探究点一等差数列的基本运算1 (1)2017蚌埠质检 已知等差数列an的前n项和为sn,且s6=24,s9=63,则a4=() a.4b.5c.6d.7(2)公差不为0的等差数列an的前n项和为sn,若a6=3a4,且s10=a4,则的值为()a.15b.21c.23d.25 总结反思 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,sn,知道其中三个就能求出另外两个.(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.式题 (1)2017鹰潭二模 等差数列an的前n项和是sn,且a3=1,a5=4,则s13=()a.39b.91c.48d.51(2)已知等差数列an的前n项和为sn,且3a3=a6+4,若s510,则a2的取值范围是()a.-,2b.-,0c.1,+d.0,2探究点二等差数列的性质及应用2 (1)2017沈阳东北育才学校模拟 在等差数列an中,a5+a6=4,则log2(2a12a22a10)=()a.10b.20c.40d.2+log25(2)在等差数列an中,a1=-2017,其前n项的和为sn,若s20132013-s20112011=2,则s2017=.(3)设sn是等差数列an的前n项和,若s672=2,s1344=12,则s2016=()a.22b.26c.30d.34 总结反思 利用等差数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,qn*),则有am+an=ap+aq”,或者“常用结论”中的有关公式可以有效地简化计算.式题 (1)在等差数列an中,若a3+a5+a7+a9+a11=45,s3=-3,那么a5=()a.4b.5c.9d.18(2)两等差数列an和bn的前n项和分别为sn,tn,且sntn=7n+2n+3,则a2+a20b7+b15=.(3)一个正项等差数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则前2n项的和为()a.18b.12c.10d.6探究点三等差数列的判定与证明3 已知数列an满足a1=-23,an+1=-2an-33an+4(nn*).(1)证明:数列1an+1是等差数列;(2)求an的通项公式. 总结反思 判断数列an是否为等差数列,通常有两种方法:定义法,证明an-an-1=d(n2,d为常数),用定义法证明等差数列时,常选用两个式子an+1-an=d或an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n2”;等差中项法,证明2an=an-1+an+1(n2).式题 2018齐齐哈尔八中月考 已知数列an是等差数列,且a1,a2(a1a2)分别为方程x2-6x+5=0的两个根.(1)求数列an的前n项和sn;(2)在(1)中,设bn=snn+c,求证:当c=-12时,数列bn是等差数列.探究点四等差数列前n项和的最值问题4 (1)2017福州期末 设等差数列an的前n项和为sn,若公差d=-2,s3=21,则当sn取得最大值时,n的值为()a.10b.9c.6 d.5(2)在等差数列an中,a10,d0时,满足an0,an+10的项数n,使sn取最大值;当a10时,满足an0,an+10的项数n,使sn取最小值.即正项变负项处最大,负项变正项处最小.若有零项,则使sn取最值的n有两个.式题 (1)2017大庆实验中学月考 设等差数列an的前n项和为sn,a10且a6a5=811,则当sn取最小值时,n的值为()a.11b.10c.9d.8(2)2018湖北长阳一中月考 已知数列an为等差数列,若a11a100的n的最大值为()a.11b.19c.20d.21第30讲等比数列及其前n项和课前双击巩固1.等比数列中的有关公式已知等比数列an的首项为a1,公比是q,前n项和为sn,则等比数列定义式(n2,q0且q为常数)等比中项ga=bg(g是a与b的等比中项)通项公式或前n项和公式当q=1时,sn=;当q1时,sn= 2.等比数列的性质已知an是等比数列,sn是an的前n项和.(1)若m+n=p+q(m,n,p,qn*),则有aman=.(2)若q-1,或q=-1且m为奇数,则数列sm,s2m-sm,s3m-s2m,成数列,其公比为.3.等比数列与函数的关系(1)等比数列的通项公式可以写成an=a1qqn(q1),前n项和公式可以写成sn=a1q-1qn-a1q-1 (q1).(2) 满足a10,q1 或a10,0q0,0q1 或a11 时,an是递减数列; 当q=1时,数列an是常数列; 当q0,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=.课堂考点探究探究点一等比数列的基本运算1 (1)2017揭阳二模 已知等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5=()a.1b.12c.14d.4(2)2017山西三区八校二模 设等比数列an的前n项和为sn, 若a3=3,且a2016+a2017=0,则s101等于()a.3b.303c.-3d.-303 总结反思 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,sn,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时,注意对q=1和q1的分类讨论.式题 (1)在等比数列an中,公比q=2,若a2与2a3的等差中项为5,则a1=()a.3b.2c.1d.-1(2)2017洛阳三模 已知等比数列an满足a1=12,a2a8=2a5+3,则a9=()a.-12b.98c.648d.18(3)2017四川师范大学附属中学三模 已知数列an为各项均为正数的等比数列且满足a6-a2=30,a3-a1=3,则数列an的前5项和s5=()a.15b.31c.40d.121探究点二等比数列的性质及应用2 (1)在等比数列an中,a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为()a.2b.4c.8d.16(2)2017吉林大学附属中学摸底 等比数列an的前5项的和s5=10,前10项的和s10=50,则它的前20项的和s20=()a.160b.210c.640d.850 总结反思 (1)在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和公式,建立方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,qn*),则有aman=apaq”,则可减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质,例如在等比数列中,sk,s2k-sk,s3k-s2k,也成等比数列,公比为qk(q-1).式题 (1)在等比数列an中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则a1a17a9=()a.22b.2c.1d.-2(2)设正项等比数列an的前n项和为sn,若s3=3,s9-s6=12,则s6=.探究点三等比数列的判定与证明3 2017重庆调研 已知数列an的首项a1=35,an+1=3an4an+1,nn*.(1)求证:数列1an-2为等比数列;(2)记sn=1a1+1a2+1an,若sn100,求n的最大值. 总结反思 判定一个数列为等比数列的常见方法:(1)定义法:若an+1an=q(d是常数),则数列an是等比数列;(2)等比中项法:若an+12=anan+2(nn*),则数列an是等比数列;(3)通项公式法:若an=aqn (p,q为常数),则数列an是等比数列.式题 2017北京海淀区模拟 在数列an中,an+12+2an+1=anan+2+an+an+2,且a1=2,a2=5.(1)证明:数列an+1是等比数列;(2)求数列an的前n项和sn.第31讲数列求和课前双击巩固1.公式法(1) 公式法 等差数列的前n项和公式:sn=.(其中a1为首项,d为公差) 等比数列的前n项和公式:当q=1时,sn=;当q1时,sn=.(其中a1为首项,q为公比).(2)分组求和法一个数列的通项是由的数列的通项组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.2.倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列an中,到首末两端等“距离”的两项的和相等或等于,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.(2) 并项求和法数列an满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用求其前n项和.如通项公式形如an=(-1)nf(n)的数列.3.裂项相消法把数列的通项拆成,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.4.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之构成的,那么求这个数列的前n项和时即可用错位相减法.常用结论1.一些常见的前n项和公式(1)1+2+3+4+n=n(n+1)2.(2)1+3+5+7+2n-1=n2.(3)2+4+6+8+2n=n2+n.2.常用的裂项公式(1)1n(n+1)=1n-1n+1.(2)1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.(3)1n+n+1=n+1-n.题组一常识题1.教材改编 若数列an的通项公式为an=2n-1+n,则数列an的前n项和sn=.2.教材改编 若数列an的通项公式为an=13n-23n+1,则数列an的前20项和为.3.教材改编 若数列an的通项公式为an=(n-1)2n-1,则数列an的前n项和sn=.题组二常错题索引:用裂项相消法求和时不能准确裂项;用错位相减法求和时易出现符号错误、不能准确“错项对齐”等错误;并项求和时不能准确分组.4.设数列an的前n项和为sn,若sn=4n2-1(nn*),则数列1sn的前n项和为.5.32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n=.6.在数列an中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,nn*,则s60的值为.7.已知数列an满足an+1=12+an-an2,且a1=12,则该数列的前2018项的和等于.课堂考点探究探究点一分组求和法求和1 在公差不为零的等差数列an中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an+2an,求数列bn的前n项和tn. 总结反思 某些数列在求和时是将数列的通项转化为若干个等差或等比或可求和的数列通项的和或差,从而间接求得原数列的和.注意在含有字母的数列中要对字母进行讨论.式题 已知数列an的前n项和sn=n2+n2(nn*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2n+(-1)nan,求数列bn的前2n项和.探究点二错位相减法求和2 在等差数列an中,a2=2,a3+a5=8,在数列bn中,b1=2,其前n项和sn满足bn+1=sn+2(nn*).(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和tn. 总结反思 错位相减法求和,主要用于求anbn的前n项和,其中an,bn分别为等差数列和等比数列. 式题 2017哈尔滨二模 设sn是数列an的前n项和,已知a1=3,an+1=2sn+3(nn*).(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=(2n-1)an,求数列bn的前n项和tn.探究点三裂项相消法求和考向1形如an=1n+n+k3 已知正项数列an满足a1=1,1an+1+1an1an+1-1an=4,数列bn满足1bn=1an+1+1an,记bn的前n项和为tn,则t20的值为. 总结反思 数列的通项公式形如an=1n+n+k时,可转化为an=1k(n+k-n),此类数列适合使用裂项相消法求和.考向2形如an=1n(n+k)4 2017青岛二模 在公差不为0的等差数列an中,a22=a3+a6,且a3为a1与a11的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=-1nnan-12an+1-12,求数列bn的前n项和tn. 总结反思 (1)数列的通项公式形如an=1n(n+k)时,可转化为an=1k1n-1n+k,此类数列适合使用裂项相消法求和.(2)裂项相消法求和的基本思路是变换通项,把每一项分裂为两项,裂项的目的是产生可以相互抵消的项.强化演练1.【考向1】数列an的通项公式为an=1n+n+1,若该数列的前k项之和等于9,则k=()a.98b.99c.96d.972.【考向1】数列an的通项公式为an=1n+n+2(nn*),若该数列的前n项和为sn,则sn=()a.n+2-1b.n+2+n+1-2-1c.12n+2-1d.12n+2+n+1-2-13.【考向2】若数列an满足a1=1,且对任意的m,nn*都有am+n=am+an+mn,则1a1+1a2+1a20= ()a.4021b.2021c.1910d.20194.【考向2】2017成都九校联考 已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=log2(16an),求证:数列1bnbn+1的前n项和sn100且该数列的前n项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()a.440b.330c.220d.110 总结反思 (1)数列的周期性是数列的函数性质之一,解题时往往依题意列出数列的前若干项,从而发现规律找到周期;(2)解答创新型问题时,首先需要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,将其转化为我们熟悉的问题,然后确定解题策略,根据题目条件进行求解.式题 (1)在数列an中,若存在正整数t,使得am+t=am对于任意的正整数m均成立,那么称数列an为周期数列,其中t叫作数列an的周期,若周期数列xn满足xn+1=|xn-xn-1|(n2,nn),且x1=1,x2=a(ar,a0),则当数列xn的周期最小时,该数列的前2016项的和是()a.672b.673c.1342d.1344(2)在数列an中,如果对任意nn*,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫作等积数列,k叫作这个数列的公积.已知数列an是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a12=()a.24b.28c.32d.36探究点四数列与函数、不等式的综合问题考向1数列与不等式的综合4 2017成都九校联考 设数列xn满足xn=3xn-1+2 (n2且nn*),x1=2.(1)求证:xn+1是等比数列,并求出数列xn的通项公式;(2)对任意的正整数n,当m-1,1时,不等式3t2-6mt+121xn恒成立,求实数t的取值范围. 总结反思 解决数列与不等式的综合问题时,若是证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;若是含参数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化为研究最值问题来解决.考向2数列与函数的综合5 方程fx=x的解称为函数f(x)的不动点,若fx=axx+1有唯一的不动点,且数列an满足a1=1,1an+1=f1an,则a2017=. 总结反思 (1)数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识点交汇处命题的特点.(2)数列与函数的综合问题主要有以下两类:已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像来解决;已知数列条件,解决函数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对所给条件进行化简变形.强化演练1.【考向2】设sn是数列an(nn*)的前n项和,n2时点(an-1,2an)在直线y=