解直角三角形知识点.doc

ACBD1、 直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 C=90A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 C=90A=30 BC=AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACB=90 D为AB的中点 CD=AB=BD=AD 4、勾股定理： ：还可以变形为，5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项ACB=90CDAB 6、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC二、锐角三角函数1、锐角三角函数定义：在中，C=90，、分别是A、B、C的对边，则： 常用变形：；等，由同学们自行归纳2、锐角三角函数的有关性质：（1）当0A90时，；（2）在090之间，正弦、正切（、）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（、）的值，随角度的增大而减小。3、同角三角函数的关系： 常用变形： （用定义证明，易得，同学自行完成）4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：如图1，由定义可得： 同理可得： 5、特殊角的三角函数值：三角函数030456090-二、有关三角函数计算（计算器、特殊角）三、解直角三角形 已知的一些边、角 求 另一些边、角1、解直角三角形的基本类型及其解法总结：类型已知条件解法两边两直角边、，直角边 ，斜边，一边一锐角直角边，锐角A，斜边，锐角A，例1：在RtABC中,C=Rt,a,b,c是ABC的三边,a=6,B=30求A,b,c.在RtABC中,C=Rt,a,b,c是A,B,C的对边,a=5,b=,求c,A,B.例2:在RtABC中,C=Rt,a,b,c是三边,且,a=6.求c.在RtABC中,C=Rt,B=30,a-b=2.求c.在RtABC中,B=45,C=60,BC=.求SABC及ABC的周长.在RtABC中,C=Rt,A的平分线AD的长是解直角三角形.在RtABC中,C=90,.D是AC上一点DBC=30.求BC,AD.2、解直角三角形的实际运用 (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。(3)从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45、135、225。(4)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30（东北方向） ， 南偏东45（东南方向），南偏西60（西南方向）， 北偏西60（西北方向）。 补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。有关公式（1）=（2）Rt面积公式：（3）结论：直角三角形斜边上的高（4）测底部不可到达物体的高度如右图，a在RtABP中，BP=xcot在RtAQB中，BQ=xcotBQBP=a，即xcot-xcot=a解直角三角形的知识的应用，可以解决：(1)测量物体高度(2)有关航行问题(3)计算坝体或边路的坡度等问题3、三角形的面积公式：已知中，A、B、C的对应边分别是、，如图2，过点A作ADBC于点D。在中，即：（）（其中：B为、的夹角）同理可得：（三角形的面积公式）由面积公式可得：两边同时除于 得： 同理可得，正弦公式：余弦定理如图2：， ，在直角三角形ABD中，由勾股定理得： 整理得： 整理得到余弦定理：（C为、的夹角） 同理可得：（余弦定理及其变形） 四、三角函数与相似：如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解： 如图6， 备注