第五章 第三节 等比数列.ppt

第三节等比数列 1 等比数列及其相关概念 前一项 同一个 常数 2 等比数列的通项公式若等比数列 an 的首项是a1 公比是q 则其通项公式为 3 等比数列的前n项和公式 1 当公比q 1时 Sn 2 当公比q 1时 Sn an a1qn 1 a1 0 q 0 na1 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 满足an 1 qan n N q为常数 的数列 an 为等比数列 2 G为a b的等比中项 G2 ab 3 如果 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 4 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 解析 1 错误 q 0时 an 不是等比数列 2 错误 G为a b的等比中项 G2 ab 反之不真 如a 0 b 0 G 0 3 错误 如数列1 1 1 1 4 错误 数列 an 中可能有小于零的项 答案 1 2 3 4 1 在等比数列 an 中 a1 8 a4 64 则公比q为 A 2 B 3 C 4 D 8 解析 选A 由可得q 2 2 在等比数列 an 中 a1 1 公比 q 1 若am a1a2a3a4a5 则m A 9 B 10 C 11 D 12 解析 选C am qm 1 a1a2a3a4a5 q10 所以qm 1 q10 所以m 11 3 已知 an 是首项为1的等比数列 Sn是 an 的前n项和 且9S3 S6 则数列的前5项和为 A 或5 B 或5 C D 解析 选C 9S3 S6 q 1 即1 q3 9 解得q 2 由等比数列的性质知是以为首项 为公比的等比数列 则其前5项和为故选C 4 已知 an 是等比数列 则a1a2 a2a3 anan 1 A 16 1 4 n B 16 1 2 n C D 解析 选C 由解得数列 anan 1 仍是等比数列 其首项是a1a2 8 公比为所以 故选C 5 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若则 A 2 B C D 3 解析 选B 设数列 an 的公比为q 则 1 q3 3 q3 2 于是 考向1等比数列的基本运算 典例1 1 2012 新课标全国卷 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 A 7 B 5 C 5 D 7 2 2012 辽宁高考 已知等比数列 an 为递增数列 且a52 a10 2 an an 2 5an 1 则数列 an 的通项公式an 思路点拨 1 根据a4 a7 2 a5a6 8 列方程组求出首项和公比的三次方 根据通项公式计算即可 或者根据等比数列的性质求解 2 根据a52 a10 2 an an 2 5an 1列方程求出首项和公比 再代入等比数列通项公式得出结果 规范解答 1 选D 方法一 设数列 an 的公比为q 由题意 得或解得或当时 a1 a10 a1 1 q9 1 2 3 7 当时 a1 a10 a1 1 q9 8 综上 a1 a10 7 故选D 方法二 因为 an 为等比数列 所以a5a6 a4a7 8 又a4 a7 2 所以a4 4 a7 2或a4 2 a7 4 根据等比数列性质 a1 a4 a7 a10也成等比数列 若a4 4 a7 2 得a1 8 a10 1 a1 a10 7 若a4 2 a7 4 得a10 8 a1 1 仍有a1 a10 7 综上选D 2 a1 q an qn 2 an an 2 5an 1 2an 1 q2 5anq 2 1 q2 5q 解得q 2或 舍去 an 2n 答案 2n 拓展提升 1 等比数列基本运算方法 1 使用两个公式 即通项公式和前n项和公式 2 使用通项公式的变形 an amqn m m n N 2 等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列前n项和公式时 应首先判断公比q能否为1 若能 应分q 1与q 1两种情况求解 变式训练 1 2013 朝阳模拟 已知数列 an 是各项均为正数的等比数列 若a2 2 2a3 a4 16 则an等于 A 2n 2 B 23 n C 2n 1 D 2n 解析 选C 设该等比数列的公比为q 则a3 2q a4 2q2 由此得4q 2q2 16 即q2 2q 8 0 解得q 2或者q 4 舍去 所以an a2qn 2 2n 1 2 在公比为整数的等比数列 an 中 若a1 a4 18 a2 a3 12 则该数列的前8项和等于 A 510 B 540 C 570 D 630 解析 选A 设公比为q 即即2q2 5q 2 0 由于q为整数 故得q 2 代入a1 a4 18 解得a1 2 故 考向2等比数列的判定与证明 典例2 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn n 5an 85 证明数列 an 1 为等比数列 并求出数列 an 的通项公式 思路点拨 通过已知关系式建立an an 1之间的关系式 然后利用定义法证明 再求出数列 an 1 的通项公式 可得 an 的通项公式 规范解答 由Sn n 5an 85 n N 可得 a1 S1 1 5a1 85 即a1 14 同时Sn 1 n 1 5an 1 85 从而由 可得 an 1 1 5 an 1 an 即从而 an 1 为等比数列 首项为a1 1 15 公比为通项公式为从而 互动探究 把本例中 Sn n 5an 85 改为 Sn 2an 2n 试证明 an 1 2an 是等比数列 证明 因为a1 S1 2a1 S1 2 所以a1 2 由a1 a2 2a2 4得a2 6 由于Sn 2an 2n 故Sn 1 2an 1 2n 1 后式减去前式得an 1 2an 1 2an 2n 即an 1 2an 2n 所以an 2 2an 1 2an 1 2n 1 2 2an 2n 2 an 1 2an 因为a2 2a1 2 所以数列 an 1 2an 是首项为2 公比为2的等比数列 拓展提升 等比数列的判断方法 提醒 只满足an 1 qan q 0 的数列未必是等比数列 要使其成为等比数列还需要a1 0 变式备选 已知数列 an 的首项n 1 2 3 证明数列是等比数列 并求 an 的通项公式 解析 又 数列是以为首项 为公比的等比数列 此时即 考向3等比数列的性质及应用 典例3 1 设 an 是任意等比数列 它的前n项和 前2n项和与前3n项和分别为X Y Z 则下列等式中恒成立的是 A X Z 2Y B Y Y X Z Z X C Y2 XZ D Y Y X X Z X 2 设 an 是公比为q的等比数列 其前n项积为Tn 并满足条件给出下列结论 00及数列的其他性质 逐个分析判断四个结论的对错 规范解答 1 选D 方法一 由于等比数列 an 中Sn X S2n Y S3n Z 根据等比数列的概念 当公比不等于 1时 对应的Sn S2n Sn S3n S2n也成等比数列 即X Y X Z Y成等比数列 则有 Y X 2 X Z Y 即Y2 XY XZ X2 即Y Y X X Z X 当q 1时 若Sn 0 Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比数列 下解同q 1时 若Sn 0 则S2n Sn 0 S3n S2n 0 即X Y Z 0 D中等式成立 方法二 取特殊数列的方法 如取等比数列1 2 4 则X 1 Y 3 Z 7 显然X Z 2Y不成立 代入Y Y X Z Z X 得6 42 不成立 代入Y2 XZ得9 7 也不成立 故选D 2 根据等比数列的概念 如果等比数列的公比是负值 则其连续两项的乘积是负值 根据a99a100 1 0 可知该等比数列的公比是正值 再根据可知 a99 a100一个大于1 一个小于1 而a1 1 所以数列不会是递增的 只能递减 所以01 a1001 故 不正确 T199 a1a2 a100 a198a199 a100 199 1 故 正确 答案 拓展提升 等比数列的主要性质公比为q的等比数列 an 具有下列基本性质 1 单调性 2 项的性质 am kam k am2 m k m k N aman akal m n k l aman ak2 m n 2k m n k l为正整数 公比q 1 3 和的性质 若其前n项和为Sn 则在q 1时 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n 成等比数列 4 其他性质 如果 an 为等比数列 根据等比数列的定义可知数列 a2k 1 a2k a3k 2 a3k 1 a3k 等都是等比数列 其中k N 变式训练 1 2013 合肥模拟 等差数列 an 的公差为3 若a2 a4 a8成等比数列 则a4 A 8 B 10 C 12 D 16 解析 选C 设数列 an 的首项为a 则a2 a4 a8成等比数列 有即 a 9 2 a 3 a 21 a 3 a4 3 12 故选C 2 设 an 是首项大于零的等比数列 则 a11 又a1 0 所以数列 an 是递增数列 反之 若数列 an 是递增数列且a1 0 则公比q 1 所以a1 a1q 即a1 a2 所以a1 a2是数列 an 是递增数列的充分必要条件 创新体验 数列与函数交汇创新题 典例 2013 中山模拟 已知 函数f x 在 1 1 上有定义 且对任意的x y 1 1 有 1 试判断函数f x 的奇偶性 2 对于数列 xn 有试证明数列 f xn 成等比数列 3 求证 思路点拨 规范解答 1 在中 令y x得f x f x f 0 再令x y 0得f 0 f 0 f 0 f 0 0 f x f x 即函数f x 为奇函数 2 由得 等号当且仅当 xn 1 1时成立 当xn 1 1时 根据得xn 1 进而xn 1 xn 2 x1 1 与已知矛盾 故xn 1 1 同理xn 1 1 故 函数f x 为奇函数 f xn 1 f xn f xn 1 2f xn 1 f xn 或 f xn 1 f xn 1 2f xn 1 xn 0否则与矛盾 f xn f 0 0 f xn 是以 1为首项 为公比的等比数列 3 根据 2 可得又 n N 思考点评 1 方法感悟 特殊值法的使用 在第一问中给定已知函数定义域内的特殊值f 0 是解题的关键环节之一 再在得出函数f x 是奇函数的情况下 在第二问中使用这个性质和已知的函数方程是本题的第二个关键环节 第三问使用第二问的结果 只要简单比较即得 这种环环相扣的解题过程在综合解答题中非常普遍 通过本题要体会这种解题过程 本题中还要注意证明一个数列是等比数列时一定不要忽视证明其首项不等于零 2 技巧提升 只给出函数满足的某些性质而没有给出解析式的函数问题 我们通常称为抽象函数问题 解决抽象函数问题的基本技巧之一就是特殊值法 通过取特殊值找到关键的函数值 实现问题的突破 1 2012 安徽高考 公比为的等比数列 an 的各项都是正数 且a3a11 16 则log2a16 A 4 B 5 C 6 D 7 解析 选B 由a3a11 a72 16 解得a7 4 a16 a7q9 32 所以log2a16 log232 5 2 2013 南昌模拟 数列 an 是公差不为0的等差数列 且a1 a3 a7为等比数列 bn 的连续三项 则数列 bn 的公比为 A B 4 C 2 D 解析 选C 设 an 的公差为d 则 a1 2d 2 a1 a1 6d 即a1 2d 所以 3 2013 宝鸡模拟 在各项为负数的数列 an 中 已知2an 3an 1 且则是数列 an 的 A 第3项 B 第4项 C 第5项 D 第6项 解析 选C 2an 3an 1 故 an 是等比数列 且其公比为又得即所以 令得由指数函数性质知3 n 2 即n 5 为正整数 则是数列 an 的第5项 故选C 4 2012 北京高考 已知 an 为等比数列 下面结论中正确的是 A a1 a3 2a2 B a12 a32 2a22 C 若a1 a3 则a1 a2 D 若a3 a1 则a4 a2 解析 选B 选项A的结论不正确 a1 a3不一定都是正数 所以不能使用基本不等式 选项B的结论正确 因为a12 0 a32 0 所以由基本不等式可得a12 a32 2a1a3 2a22 选项C中的结论不正确 由a1 a3可得q 1 当q 1时 a1 a2 当q 1时 a2 a1 选项D中的结论不正确 因为a4 a3q a2 a1q 所以当q 0时 a4 a2 当q 0时 a4 a2 5 2012 浙江高考 设公比为q q 0 的等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 3a2 2 S4 3a4 2 则q 解析 由S2 3a2 2 S4 3a4 2相减可得a3 a4 3a4 3a2 同除以a2可得2q2 q 3 0 解得或q 1 因为q 0 所以答案 1 已知定义在R上的函数f x g x 满足 a 0 且a 1 且f x g x