_算两次_的思想方法_解决数学问题的一把金钥匙.pdf.pdf

立 是具有性质 p 的映射 因此 具有性质 p 的映射的序号为 点评上述例题是在新定义下 考查学生的逻 辑推理能力 一般需要肯定一个结论就要通过演绎 推理的方法证明其正确性 在数学的推理中 我们 大量使用的就是这种演绎推理 而要否定一个结 论 只要能举出一个反例就可 演绎推理是推理证 明的主要途径 而 三段论 是演绎推理的一种重 要的推理形式 在高考中以证明题出现的频率较 高 5精题集萃 1 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第 n 个等式为 2 在平面几何里 有勾股定理 设 abc 的 2 条边 ab ac 互相垂直 则 ab2 ac2 bc2 拓展到 空间 类比平面几何的勾股定理 研究三棱锥的侧 面面积与底面面积间的关系 可以得出的正确结论 是 设三棱锥 a bcd 的3 个侧面 abc acd adb 两 两相互垂直 则 3 设等差数列 an 的前 n 项和为 sn 则 s4 s8 s4 s12 s8 s16 s12成等差数列 类比以上结 论有 设等比数列 bn 的前 n 项积为 tn 则 t4 t16 t12成等比数列 4 设 v 是已知平面 m 上所有向量的集合 对 于映射 f v v a v 记 a 的象为 f a 若映射 f v v 满足 对所有 a b v 及任意实数 都有 f a b f a f b 则 f 称为平面 m 上的 线性变换 现有下列命题 设 f 是平面 m 上的线性变换 a b v 则 f a b f a f b 若 e 是平面 m 上的单位向量 对 a v 设 f a a e 则 f 是平面 m 上的线性变换 对 a v 设 f a a 则 f 是平面 m 上的 线性变换 设 f 是平面 m 上的线性变换 a v 则对任 意实数 k 均有 f ka kf a 其中的真命题是 写出所有真命题 的编号 5 已知点 a x1 2x1 b x2 2x2 是函数 y 2x 的图像上任意 2 个不同的点 依据图像可知 线段 ab 总是位于点 a b 之间函数图像的上方 因此有 结论2 x1 2x2 2 2 x1 x2 2 成立 运用类比思想方法可知 若点 a x1 sinx1 b x2 sinx2 是函数 y sinx x 0 图 像 上 2 个 不 同 的 点 则 类 似 地 有 成立 参考答案 1 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 2 s2 abc s 2 acd s 2 adb s 2 bcd 3 t8 t4 t12 t8 4 5 sinx1 sinx2 2 sin x1 x2 2 算 两 次 的 思 想 方 法 解决数学问题的一把金钥匙 郑日锋 杭州学军中学浙江杭州310012 美国数学教育家波利亚说 为了得到一个方 程 我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出 来 即将一个量 算两次 从而建立相等关系 这 就是算两次原理 又称富比尼 g fubini 原理 单 墫教授在文献 1 中 将算两次原理形象地比喻成 三步舞曲 即从 2 个方面考虑一个适当量 一 方面 另一方面 综合起来可得 如 果一个数学研究对象具有 双重身份 或 两面 性 也就是说既满足条件 a 又满足条件 b 就可以 考虑使用这种方法 32 第 2 期郑日锋 算两次 的思想方法 算两次 是从不同角度看问题的另一种说 法 是一种常用的数学方法 它体现了数学的转化 思想 方程思想 本文阐述 算两次 思想在解题中 的作用 1建立方程 等式 通常的列方程其实就是一种 算两次 2 个方 面考虑的是同一个量 因此结果相等 这就产生了 方程 等式 许多数学公式的推导可以运用 算两 次 思想 如两角和的余弦公式的向量方法证明 图 1 例 1如 图 1 在 abc 中 d e 分别是边 ab ac 上 的 点 db 1 3 ab ce 1 4 ca cd 与 be 交于点 f 设 ab a ac b af xa yb 求实 数 x y 的值 解因为点 b f e 共线 所以存在实数 m 使 af m ab 1 m ae ma 3 4 1 m b 因为点 d f c 共线 所以存在实数 n 使 af n ad 1 n ac 2 3 na 1 n b 因此ma 3 4 1 m b 2 3 na 1 n b 由平面向量基本定理 得 m 2 3 n 3 4 1 m 1 n 解得m 1 3 n 1 2 因此 af 1 3 a 1 2 b 即x 1 3 y 1 2 评注本题利用了共起点的向量终点共线定 理 通过 2 次计算 af 从而建立向量方程 使问题 得到解决 例 2设函数 f x x3 3 ax2 bx c 在 1 2 内有 2 个极值点 求证 0 a b 2 证明由题意得 f x x2 2ax b 设 f x 的2 个极值点为 x1 x2 则 x1 x2 1 2 且 x1 x2是方程 f x 0 的 2 个根 于是 f x x x1 x x2 得f 1 2 1 4 a b 1 2 x 1 1 2 x 2 即a b x1 1 2 x2 1 2 1 4 由 1 x1 2 得 1 2 x 1 1 2 3 2 同理可得 1 2 x 2 1 2 3 2 于是 1 4 x 1 1 2 x2 1 2 9 4 即0 a b 2 评注本题利用 算两次 思想 通过二次函 数的一般式与双根式 得到 f 1 2 的 2 种不同的 表达式 从而建立起 a b 关于 x1 x2的函数 2建立不等式 如果在考虑一个量时 一方面得到了精确的结 果 而另一方面采用了估计 放缩 或者 2 个方面 都采用了估计 一放大 一缩小 那就产生了不等 式 例 3对于某些正整数 n 存在 a 1 a2 an 为集合 1 2 n 的 n 个不同的子集 满足下列 条件 对任意不大于 n 的正整数 i j i ai 且每 个 ai中至少含3 个元素 i a j的充要条件是 j ai 其中 i j 为了表示这些子集 作 n 行 n 列的 数表 规定第 i 行第 j 列的数为 aij 0 i aj 1 i aj 1 求该数表中每列至少有多少个 1 2 用 n 表示该数表中 1 的个数 证明 n 7 3 请构造出集合 1 2 3 4 5 6 7 的 7 个不 同子集 a1 a2 a7 使得 a1 a2 a7 满足题设 条件 写出 1 种答案即可 解 1 由 知数表中每列至少有 3 个 1 2 i ai 表明数表的对角线上的数字都是 0 表明除这条对角线以外 aij和 aji恰好一个为 1 而另一个为 0 故数表中共有n 2 n 2 个 1 又数表每 42 中学教研 数学 2012 年 列至少有 3 个 1 整个数表至少有 3n 个 1 因此 n2 n 2 3n 解得 n 7 3 可以构造 a1 2 3 4 a2 3 4 5 a3 4 5 6 a4 5 6 7 a5 6 7 1 a6 7 1 2 a7 1 2 3 评注第 2 小题 利用算两次思想 一方面 得到数表中 1 的个数为n 2 n 2 另一方面又得到数 表中 1 的个数至少为 3n 得到不等式n 2 n 2 3n 例4已知 f x 是定义在 r 上的函数 且对任 意 x r 满足 f x 4 f x 2x 3 f x 20 f x 10 x 95 且 f 0 0 则 f 24 解f 24 f 0 f 4 f 0 f 8 f 4 f 24 f 20 2 0 4 20 3 6 2 6 20 2 18 138 f 24 f 4 f 24 f 4 f 4 135 同理可得f 20 95 f 20 95 因此f 20 95 由于 f 20 95 是将 5 个同向不等式相加而得到 的 因此这 5 个同向不等式同时取等号 故 f 4 f 0 3 即 f 4 3 从而 f 24 138 综上所述f 24 138 评注本题 2 次利用了算两次思想 均实现了 以不等促相等 例 5已知等差数列 an 的首项为 a 公差为 b 等比数列 bn 的首项为 b 公比为 a 其中 a b 都 是大于 1 的正整数 且 a1 b1 a3 b2 对于任意的 n n 使得 am 3 bn成立 则 an a 2n 1b 3n 1 c 5n 3d 6n 2 解由 a3 b2得 a 2b ba 1 由 a1 b1得 a b 2 因为 a b 都是大于 1 的正整数 将式 1 的 2 边都 除以 ab 得 1 b 2 a 1 3 由式 2 得 1 b 2 a 3 a 4 由式 3 式 4 得 3 a 1 即a 3 又由 a 1 得a 2 等式 am 3 bn可化为 2 m 1 b 3 b 2n 1 即b 2n 1 m 1 5 因此 b 是 5 的约数 故 b 5 综合可得 an 2 n 1 5 5n 3 故选 c 评注利用 算两次 思想 对 1 b 2 a 进行 2 个方面的估计 缩小得到式 3 放大得到式 4 综合得到关于 a 的不等式 3 a 1 3归谬 在解决某些存在型探索性问题 或反证法证 明命题 时 首先假设满足条件 或假设结论不成 立 考虑某个量的性质 从 2 个不同的角度 也会 得到 2 个不同的关系 而这 2 个关系是互相矛盾 的 从而说明不存在 或假设错误 例 6已知函数 f x 1 2 x2 a 3 x lnx 1 若函数 f x 是定义域上的单调函数 求实 数 a 的最小值 2 在函数 f x 的图像上是否存在 2 个不同 的点 a x1 y1 b x2 y2 线段 ab 的中点的横坐 标为 x0 直线 ab 的斜率为 k 有 k f x0 成立 若存在 请求出 x0的值 若不存在 请说明理由 解 1 f x x a 3 1 x x 0 若函数 f x 在 0 上递增 则 f x 对 x 0 恒成立 即 a x 1 x 3 对 x 0 恒成 立 而当 x 0 时 x 1 x 3 2 3 1 得a 1 若函数 f x 在 0 上递减 则 f x 0 对 x 0 恒成立 即 a x 1 x 3 对 x 0 恒成 立 这是不可能的 52 第 2 期郑日锋 算两次 的思想方法 综上所述 a 1 a 的最小值为 1 2 假设存在 不妨设 0 x1 x2 则 k f x1 f x2 x1 x2 1 2 x2 1 a 3 x1 lnx1 1 2 x2 2 a 3 x2 lnx2 x1 x2 x0 a 3 ln x1 x2 x1 x2 从而f x0 x0 a 3 1 x0 若 k f x0 则 ln x1 x2 x1 x2 1 x0 即 ln x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 亦即ln x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 1 5 令 t x1 x2 u t lnt 2t 2 t 1 0 t 1 则 u t t 1 2 t t 1 2 0 可得 u t 在 0 t 1 上递增 从而 u t u 1 0 式 5 不成立 与假设矛盾 于是 k f x0 因此 满足条件的 x0不存在 评注在第 2 小题中 利用算两次思想 一 方面得到 lnt 2t 2 t 1 0 另一方面又得到 lnt 2t 2 t 1 0 从而达到归谬的目的 以上例举了利用 算两次 思想建立方程 等 式 建立不等式 归谬 算两次 思想还有其他方 面的应用 限于篇幅 本文不再赘述 下面的问题供 有兴趣的读者练习 4精题集萃 1 如图 2 已知圆 g x 2 2 y2 r2是椭圆 x2 16 y2 1 的内接 abc 的内切圆 其中 a 为椭圆 的左顶点 图 2 1 求圆 g 的半径 r 2 过点 m 0 1 作圆 g 的2 条切线交椭 圆于点 e f 证明 直 线 ef 与圆 g 相切 2009 年江西省数学高考文科试题 2 已知函数 f x x3 k2 k 1 x2 5x 2 g x k2x2 kx 1 其中 k r 1 设函数 p x f x g x 若 p x 在区 间 0 3 上不单调 求 k 的取值范围 2 设函数 q x g x x 0 f x x 0 是否存在 k 对任意给定的非零实数 x1 存在唯一的非零实数 x2 x2 x 1 使得 q x2 q x1 若存在 求 k 的 值 若不存在 请说明理由 2009 年浙江省数学高考理科试题 3 正实数 x y z 满足 x y z 3