（应用数学专业论文）倒向随机微分方程解的性质及应用.pdf

摘要 倒向随机微分方程( b s d e ) 的研究源于随机控制和金融等问题的 研究：反过来方程理论的研究成果在控制、金融领域，偏微分方程 等数学领域有着重要的应用。相对于正向随机微分方程，b s d e 的研 究起步晚，研究成果还不太丰富，同时由于倒向随机微分方程的特 点，停时和局部化等正向s d e 的研究技术难以盔接应用。所以，b s d e 的研究有着自身的特点。 目前，b s d e 的研究分成两类，第一类是由b r o w n 驱动的i t 6 型倒向随机微分方程，直接源自于随机控制的研究，后来被应用于 金融问题的研究；第二类是带有条件期望的倒向随机微分方程，它 直接源自于金融问题的研究。由于两类方程在滤波及参系数的可积 性不尽相同，所以般情况两类互不包含。 相对于正向随机微分方程，非l i p s e h i t z 条件下倒向随机微分方 程解的性质的研究尚不够丰富，特别是条件不能保证方程解唯一时， 倒向随机微分方程最大最小解的存在性尚未见有成果。 本文研究倒向随机微分方程解的性质及其应用，主要结果有： 针对第二类方程，讨论了在非l i p s c h i t z 条件下倒向随机微分方程解 的存在唯一性，比较定理及稳定性等，在更弱条件下，得到了倒向 随机微分方程的最大解和最小解的存在性，在此基础之上，给出了 在随机控制及效用函数方面的应用；针对第一类方程，同样在较弱 条件下，证明了方程最大、最小解的存在性、稳定性、比较定理及 其在效用函数的应用。 首先，第二章在非l i p s c h i t z 条件下，研究了第二类方程的解的 存在唯一性问题，在此基础上，又证明了解的稳定性；第三章在非 l i p s c h i t z 条件下，证明了第二类b s d e 解的比较定理，并在此基础 上，利用单调迭代的方法，构造性证明了最大、最小解的存在性； 第四章在以上的一些理论基础之上，得到了相应的与第二类倒向随 机微分方程耦合的正倒向随机微分方程系统的一些结果，主要包括 倒向随机微分方程的解关于正向随机微分方程的初值是具有连续性 的，得到了最优控制和动态规划的一些结果，在这章的最后还讨 论了相应的效用函数的性质，如，效用函数的单调性、凹性以及风 险规避性等；第五章，针对第一类倒向随机微分方程，运用单调迭 代方法，证明了最大和最小解的存在性，并研究了解的其它性质及 在效用函数上的应用。 关键字：倒向随机微分方程 比较定理；最大解 正倒向随机微分方程；条件期望 最小解；效用函数 o nt h ec h a r a c t e r sa n d a p p l i c a t i o n so f t h es o l u t i o no fb s d e a b s t r a c t t h es t u d yo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( b s d e ) c o m ef r o mt h e r e s e a r c ho fs t o c h a s t i cc o n t r o la n df i n a n c ee t c ；o nt h ec o n t r a r y , t h er e s u l t so ft h e e q u a t i o nt h e o r ya p p l i e d t ot h ec o n t r o l ，f i n a n c ea n dp d ee t c f i e l d so f m a t h r e l a t i v e t os t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s d e ) ，t h er e s e a r c ho fb s d es t a r t e dl a t e ra n dt h e r e s u l t sa r en o ts or i c h a tt h es a m et i m e ，o w i n gt ot h ec h a r a c t e ro fb s d e ，i ti s d i f f i c u l tt h a t s t o p p i n gt i m ea n dl o c a l i z a t i o ne t c t e c h n i q u e b e a p p l i e dt o b s d e d i r e c t l y s ot h es t u d yo f b s d e h a si t so w nc h a r a c t e r s of a r , b s d e sh a v e2t y p e s ：o n ei si t 6i n t e g r a lt y p eb s d ed r i v e nb yb r o w n m o t i o nw h i c hc o m ed i r e c t l yf r o ms t o c h a s t i cc o n t r o la n di ti s a p p l i e dt of i n a n c i a l p r o b l e ml a t e r ；t h eo t h e ri sb s d e w i t hc o n d i t i o n a le x p e c t a t i o nw h i c hc o m e d i r e c t l y f r o mf i n a n c i a lp r o b l e m t h ec o n d i t i o n so ft w o t y p e s o f b s p e s a l en o ts a m e ，s u c ha s t h ei n t e g r a b i l i t yo fp a r a m e t e ra n dc o e f f i c i e n t ，t h ef i l t r a t i o ne t c ，t h et w ot y p e so f b s d e sa r en o tc o v e r e db ye a c ho t h e r r e l a t i v et o s d e ，t h es t u d yf o rt h es o l u t i o no fb s d eu n d e rn o n l i p s c h i t z c o n d i t i o ni s a b s e n c e ，e s p e c i a l l yw h e nt h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nc a nn o tb e g u a r a n t e e d ，t h ee x i s t e n c eo fm i n i m a la n dm a x i m a ls o l u t i o no fb s d ea r en o tb e s t u d i e d ， t h i sp a p e rs t u d yt h ec h a r a c t e ra n d a p p l i c a t i o no f t h es o l u t i o no f b s d e ，t h em a i n r e s u l t si n c l u d e ：f o rt h es e c o n dk i n do fb s d e 。t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e s o l u t i o nu n d e r n o n - l i p s c h i t zc o n d i t i o n ，c o m p a r i s o n t h e o r e ma n d s t a b i l i t y a r e e s t a b l i s h e d ，u n d e rw e a k e rc o n d i t i o n ，t h ee 】【i s t e n c e o ft h em i n i m a la n dm a x i m a l s o l u t i o ni sp r o v e da n dt h ea p p l i c a t i o ni ns t o c h a s t i cc o n t r o la n du t i l i t yf u n c t i o ni s g i v e n ；f o rt h ef i r s tk i n do fb s d e ，u n d e r w e a k e rc o n d i t i o n ，t h ee x i s t e n c eo fm i n i m a l a n dm a x i m a l s o l u t i o n ，s t a b i l i t y , c o m p a r i s o n t h e o r e ma n d a p p l i c a t i o n t o u t i l i t y f u n c t i o na r ep r o v e d i nc h a p t e rt w o ，u n d e rn o n l i p s c h i t zc o n d i t i o n ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h es o l u t i o no f t h es e c o n dk i n do f b s d ei sr e s e a r c h e d ，b a s e do ni t ，t h es t a b i l i t yo f t h e s o l u t i o ni sp r o v e d ；i nc h a p t e rt h r e e ，u n d e rn o n l i p s c h i t zc o n d i t i o n ，t h ec o m p a r i s o n t h e o r e mo ft h es o l u t i o no ft h es e c o n dk i n do fb s d ei s p r o v e da n du s i n g t h e m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，t h ee x i s t e n c eo fm i n i m a la n dm a x i m a ls o l u t i o ni s c o n s t r u c t i v e l yp r o v e d ；i nc h a p t e rf o u r ，o nt h eb a s eo fa b o v er e s u l t s ，w eg e ts o m e r e s u l t so f t h es e c o n dk i n do f b s d ew h i c h p a r t l yd e c o u p l ew i ms d e ( f b s d e ) w h i c h i n c l u d et h a tt h es o l u t i o no ft h eb s d ei sc o n t i n u o u si nt h ei n i t i a lv a l u eo fs d ea n d t h ea p p l i c a t i o nt o o p t i m a lc o n t r o la n dd y n a m i cp r o g r a m m i n g a tt h e e n do ft h i s s e c t i o n ，t h ec h a r a c t e ro ft h ec o r r e s p o n d i n gu t i l i t yf u n c t i o nh a sb e e nd i s c u s s e d ，e g m o n o t o n i c i t y , c o n c a v i t y a n dr i s k a v e r s i o n ；i nc h a p t e r5 ，f o r t h ef i r s tk i n do f b s d e ，u s i n gt h em o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，t h e e x i s t e n c eo fm i n i m a la n d m a x i m a ls o l u t i o ni sp r o v e da n do t h e rc h a r a c t e r sa n da p p l i c a t i o n st ou t i l i t yf u n c t i o n a r es t l l d i e d w u y u e ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) s u p e r v i s e db y s u n x i a o j u n k e y w o r d ：( f o r w a r d ) b a c k w a r d s t o c h a s t i cd i f f e m n t i a l e q u a t i o n ，；c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n ；c o m p a r i s o nt h e o r e m ；m a x i m a ls o l u t i o n ；m i n i m a l s o l u t i o n ；u t i l i t yf u n c t i o n 附件一： 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师的 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已明确注明和引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，我对 所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：吴羽 日期：知聊争年二月1 日 附件二： 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权东华大学可 以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密口。 学位论文作者签名 关硐 e l 期：) 卯 年2 - 月f 日 指导教师签名：易椰 日期：d 苹年上月i目 第一章绪论 1 1 倒向随机微分方程概述 正向随机微分方程( s d e ) 的研究有近半个世纪的历史，取得了 辉煌的成就，它不仅有着直接的应用背景，并且有完善的理论框架， 与其他数学分支建立了自然的而且非常深刻的联系 1 。与这一进展 ， 形成鲜明的对照，关于倒向随机微分方程( b s d e ) 的研究，滞后了 很长一段时间才开始：倒向随机微分方程是相对于正向随机微分方 程而言的，线性情况开始于【2 】，而一般非线性的情况的基本框架在 【3 中给出，并证明其解的存在唯一性。著名经济学家d u f f l e 和 e p s t e i n 4 也于1 9 9 2 提出了这个方程的特别典型的情况。 倒向随机微分方程( b s d e ) 主要关心在有随机干扰的环境中如何 使一个系统到达预期的目标，倒向微分方程的存在性意味着能够计 算出应该具备怎样的起点才能到达预定的目标，因此，倒向随机微 分方程有着重要的应用前景：可以用它来描述不确定经济环境下的 消费偏好( 即效用函数理论) ；通过倒向随机微分方程来获得非线性 f e y n m a n k a c 公式，从而可以用来处理诸如反应扩散过程方程和 n a v i e r s t o k e s 等重要非线性偏微分方程； 1 9 7 8 年，法国数学家b i s m u t 2 研究了线性b s d e 的适应解，而 一般形式的非线性倒向随机微分方程 i d x ( t ) = b ( t ，x ( t ) ) d t 一盯( f ，x ( t ) ) d w ( t ) ， 、 1 x ( r ) ：x ( 1 1 ) 往往没有适应解，为此，众多学者作了不懈努力，如利用样本广义解 法，黄志远【5 】把中值问题转化为初值问题求解；利用随机流产生盯一代 数，如 6 ，但其口一流是倒向的。 1 9 9 0 年，法国学者p a r d o u x 和我国学者彭实戈 3 】受控制问题的启 发，发现了下面形式的有限维倒向随机微分方程是可解的，并在系数 厂满足l i p s c h i t z 条件下方程的解存在唯一： d y ( t ) - - f ( t , y o ) ，砸) ) 虮“幻椰( f )( 1 2 ) 【y ( d y ” ( 12 ) 和( 1 1 ) 最大的不同在于它中间除了对w ( t ) 适应的未知过程 求解以外，还有一个适应过程z ( f ) 也同时要求解，这个z ( f ) 是d w 的系 数，也就是布朗运动对y 的运动的干扰强度，即使d ，前的系数， 中不含z ( f ) ，一旦，确定后，根据y 的最终状态，这个于扰强度z o ) t 乜 就完全确定，这也正体现了随机方程的特点。 彭实戈【7 i , v 明了方程( 1 2 ) 在。满足局部l i p s c h i t z 条件下，解的局 部和整体唯一性； 8 证明了方程( 1 2 ) 在f 关于_ y 满足某种单调性条件， 关于满足l i p s e h i t z 条件下，解的存在唯一性。 1 9 9 2 年，著名经济学家d u f f i e 和e p s t e i n 4 】提出，不确定环境下 的效用函数应当由一种新的“随机微分效用”来递归解出，独立地获 得如下特殊情况的倒向随机微分方程： ja y ( f ) = - f ( t ，y ( r ) ，z ( t ) ) a t + z ( t ) d w ( t ) 【y ( r ) = 0 毛学荣【9 】研究r 以下形式的倒向随机微分方程： _ y ( r ) + j ff ( s ，y ( 5 ) ，z ( s ) ) a s + j ， g ( j ，y ( s ) ) + z ( s ) 】咖( j ) = y ( ) 在以下的非l i p s c h i t z 条件下： 黔，y l 护八擘, y 2z 2 ) l - p ( i y ：t - y 2 1 2 m + c l 一吃 ( 1 4 ) 陋f ，y o - g ( t ，y 2 ) i p ( i y l - y 2 2 ) 、。 其中p ：r + 斗r + 是非减凹函数，满足p ( o ) = 0 ，及 p 一( u ) d u = o o ，得到 方程( 1 3 ) 的适应解的存在唯一性：曹志刚和严加安【1 0 在毛学荣条件 ( 1 4 ) 1 f ，证明了方程( 1 2 ) 适应解y ( f ) 的比较定理。 19 9 2 年，d u f f i e 和e p s t e i n 4 】出予金融理论和应用中效用函数的研 究，提出并研究了以下一类倒向随机微分方程： r y ( f ) 2e ( y r + j 厂( s ，y ( s ) ) d sl 萝，) lr ( d 2 y f 1 5 1 正是由于控制理论和经济研究的需求，1 9 9 3 年，a n t o n e l l i 1 1 1 总 结分析前人研究结果，并将正向随机微分方程与倒向随机微分方程完 全耦合，首先提出了如下形式的正倒向随机微分方程( f b s d e ) u = + j ：，( s ，饥，k ) 必 巧= e ( y + r g ( 只虬，v , ) d z , l 箩，) 0 t t k = y ( 1 6 ) 其中z 。和z 。是半鞅，是循序可测过程，在方程系数满足适当条件下， a n t o n e l l i 证明了方程( 1 6 ) 解在小时间区间u j 二的存在唯一性，并举例说 明了即使在方程系数满足l i p s c h i t z 连续条件，方程( 1 6 ) 的解也不能保 证存在。由于方程的复杂性和研究困难性，还有很多更进一步的理论 值得研究。 1 9 9 4 年，m a ，p r o t t e r 和雍炯敏 1 2 】研究了有限维f b s d e 的更一 般的形式： j 置2 x + ：6 ( s ，五，r ，乏冲+ j ：盯置，e ，墨) d 彬 ( 1 7 ) l r = g ( 曷) + r 6 ( s ，置，r ，z d d s + t 毋( 5 ，置，i ，互) d 彬 当盯非退化时给出了求解的“四步方法”。 1 9 9 5 年，胡英和彭实戈【13 】讨论了下面特殊形式的f b s d e ，在系 数满足某种单调性条件下，证明解的存在唯一性定理： j 置= 。+ j 。“兄五成，五出+ j 。州岛置z 五形( 1 8 ) ir = g ( x ，) 一r ( j ，以，e ，z , ) d s rz ：d w , 倒向随机微分方程( b s d e ) 是相对于正向随机微分方程而言的， 到目前为止，已经提出了两类倒向随机微分方程，第一类是由 p a r a d o u x 和p e n g1 9 9 0 年提出带有i t 6 积分型的b s d e ，如方程( 1 2 ) ， 这犀称之为i 伯型倒向随机微分方程：第二类是由d u f f l e 和e p s t e i n 于1 9 9 2 年根据随机微分效用研究提出的带有条件期望的倒向随机微 分方程，如方程( 1 5 ) ，这里称之为d u f f l e e p s t e i n 型倒向随机微分方 程。这两类方稷的异同性，文【“】的引言中进行了比较说明，一般情 形下两类方程互不包含。第一类b s d e 主要是在布朗运动产生的匹一 代数流的环境下进行了研究，这类方程对参系数的可积性要求较高， 如2 次方可积等；第二类b s d e 则是在更一般的环境下，对滤波限 制较松，这类方程对参系数的可积性要求较松，如1 次方可积等。 到现在为止，有限维倒向随机微分方程的理论己趋完善，该理 论已被广泛应用到投资决策，期权定价，递归效用，随机微分效用 等经济理论和实践中 1 】。倒向随机微分方程的理论可以用来对不完 备的市场中的各种派生证券的定价及套期保值问题提出有利的分析 和近似计算方法。金融市场的许多重要的衍生证券( 如期权期货等) 的理论价格可以用倒向随机微分方程解出，最著名的是，1 9 7 3 年 f i s h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e 提出的期权定价模型( b s 模型) 。b - s 模型的出发点是随机微分方程，把股票价格看作可随时间连续变化 的量，根据今天的股价x ( 0 ) = x 。，可以用这个随机微分方程推出期权到 期日t = t 时的股价估计x ( d = x ，；也可以给定t = t 时的随机变量，来 j 确定现在时刻的股价x 。，这就是倒向随机微分方程。如果投资者明 天的目标是非负的则他今天的投入必须是正的这一点在金融工 程中被称作满足无套利条件，关于这一点在倒向随机微分方程中也 有对应的结果，就是比较定理。 1 2倒向随机微分方程研究的现状 正是由于倒向随机微分方程的广泛的应用性和相对的新颖性，出 现了大量的关于倒向随机微分方程的文章，初步得到了一些与正向随 机微分方程平行的内容，这方面的文章主要是做了以下几方面的工 作： ， l 、关于倒向随机微分方程的解的存在唯一性问题，前人已经做出 了许多的努力。对于i t 6 型倒向随机微分方程，针对一些特殊的随机 微分方程( 1 2 ) ，在系数满足l i p s c h i t z 条件下，得到了方程( 1 2 ) 适应解 的存在唯一性【1 4 ；彭实戈【7 】，在方程( 1 2 ) 的系数j r 关于y 满足某种 单调性条件，关于z 满足l i p s c h i t z 条件下，利用“压缩映像原理”证 明了解的存在唯一性；在非l i p s c h i t z 条件下，倒向随机微分方程解的 存在唯一性，也有很多人做了尝试，其中最有影响的是毛学荣 9 】的研 究结果，类似于正向i t 6 随机微分方程，在某种非l i ps c h i t z 条件l ? ， 证明了方程( 1 j 3 ) 解的存在唯一性；司徒荣 15 ，针对带有p o i s s o n 跳的 倒向随机微分方程，研究并证明 类似 9 】的结果。对于带有条件期望 的d u f f i e e p s t e i n 型倒向随机微分力程( 1 5 ) ，a n t o n e l l i 1 1 、l6 】- 在系 数满足l i p s c h i t z 条件下，证明了解的存在唯一性，非l i p s c h i t z 条件 下方程解的存在唯一性尚未见类似练论。 2 、关于倒向随机微分方程的解的比较定理。对于方程i t 6 型倒向 随机微分方程( 1 2 ) ，在系数l i p s c h i t z 连续的条件f ，彭实戈褥到了一 个比较定理 1 4 ，蒋志刚和严加安在非l i p s c h i t z 条件证明了方程解的 比较定理 10 ，林清泉【】6 1 也进行了类似研究；对于带有条件期望的 d u f f i e e p s t e i n 型倒向随机微分方程，尚未见有解的比较定理结论，虽 然针对d u f f l e e p s t e i n 型正倒向随机微分方程已有解的比较定理【1 7 】， 但其t 扣对方程的系数要求较为苛刻，针对倒向方程进行专门的研究应 浚有更好的结果。 3 、正是由于有些情况下不能同时保证解的存在唯一性，所以在 较弱条件下，专门研究倒向随机微分方程的解的存在性，并且通过证 明最大、最小解的存在性，来确定方程解的存在范稠是有意义的。类 似情况的研究在正向随机微分方程已有研究【l8 】，但在倒向随机微分 方程却束见相关研究。 4 、关于倒向随机微分方程的解的稳定性，两类倒向随机微分方 程解的稳定性研究已有一些结果( 1 6 ，1 9 】等。由于方程解的稳定性大 ，多依赖予解的存在难一性，并且对应于正向随机微分方程，锯的稳定 性的形式和内容非常丰富，同时在随机控制中有大量应用，所以倒向 随机微分方程解的稳定性研究电应是很有意义的。 要指出的魁正向随机微分方程研究的方法和技巧似乎并不完全赢 接适用于倒向随机微分方程，如停时、局部化方法和局部时技术等f 9 】， 所以即使要得到与难向随机微分方程“，县存在网难 的。 1 3 本文解决的问题和结构 本文将针对两类倒向随机微分方程进行对比研究，熏点魁研究二 类型倒向随机微分方程。到目前为止，对于第二类b s d e 的研究相对 来说较为薄弱，而且，所进行的研究都是在较强的条件下进行的。因 为在实际的应用中，很多的时候，模型中的系数函数不能满足全局 l i p s c h i t z 条件和线性增长条件，所以对于放松系数的全局l i p s e h i t z 条件和线性增长条件，在更弱的条件下，研究解的性质也是很有必要 的。 基于如上背景和思考，本文首先研究d u f f i e e p s t e i n 型倒向随机 微分方程，在非l i p s c h i t z 条件下，得到了方程( 1 5 ) 解的存在唯一性定 理，以及相应条件下解的稳定性定理；接着，证明了方程解的比较定 理，在更弱的条件下，运用比较定理，给出了方程的最大和最小解的 存在性定理；运用以上结采，针对b s d e 和f b s d e 系统的关于初值 的连续性、时间的连续性、最优控制和动态规划理论以及相应的效用 函数性质做了应用研究；最后，本文研究了i t 6 型倒向随机微分方程 ( 1 2 ) 爵先，将系数放松到较弱条件，得到了最小和最大解的存在性 定理，然后针对部分耦合的证倒向随机微分方程中骶个方程解的比较 的关系进行了研究，得到了一些结果，运用这些结果对部分耦合的形 倒向随机微分方程相关的效用函数的性值进行了研究。 本文共分6 章，其框架结构如下： 1 、第一章：综合叙述了倒向随机微分方程发展的历史、研究的 现状和存在的问题，以及本文所做的主要工作。 2 、第二章：研究了d u f f l e e p s t e i n 型倒向随机微分方程( 1 5 ) 解 的存在唯一性问题，在非l i p s e h i t z 连续条件下，证明了方程解的存 在唯一性定理，并在同样的条件下证明了方程解的稳定性定理。这 一部分结果取自于本文作者已发表的论文。( 参见附页文 1 1 ) 3 、第三章：主要是研究了d u f f i e - e p s t e i n 型倒向随机微分方程 ( 1 5 1 最大和最小解的存在问题。本章中证明的比较定理也是新的。 - 6 - 运用比较定理，在相当弱的条件下，结合单调迭代方法构造性证明 了方程的最大和最小解的存在性。这一部分内容是在本文作者已投 稿的论文基础上改进得到的。( 参见附页文f 2 1 ) 4 、第四章：主要研究的是与正向随机微分方程部分耦合的 d u f f i e e ps t e i n 型倒向随机微分系统的一些性质及其在随机控制中的 应用，包括l i p s c h i t z 条件下，过程关于初值的连续性、关于时间的 连续性以及在该系统下的最优控制与动态规划理论。最后还研究了 相关| ! | 勺效用函数及其性质。 5 、第五章：主要研究了两个方面的内容：其一，在弱条件下， 研究了i t 5 型倒向随机微分方程( 1 2 ) 的最大和最小解的存在问题，利 用了单调迭代方法，构造了随机过程序列，结合比较定理，证明了 最大和最小解的存在性。针对部分耦合的难倒向随机微分方程解的 比较定理进行研究，同列研究解的稳定性等问题，以及相荧的效用 函数的一些性质进行了研究。 6 、第六章：对本文的研究进行了总结，i 司时沿着本文研究的线 路和方向提出了倒向随机微分方程领域研究现存的些问题和展 掣。 第二章d u f f l e e p s t e i n 型倒向随机微分方程解的存 在唯一性和稳定性 2 1 引言 倒向随机微分方程源于随机控制的研究：线性倒向随机微分方程 研究开始于b i s m u t 2 的文章，p a r d o u xa n dp e n g 【3 1 奠定了非线性倒 向随机微分方程研究的基础。d u f f l e a n de p s t e i n 【4 】从金融学中随机微 分效用研究的角度出发，研究了一类不同的倒向随机微分方程。近年 来，随着倒向随机微分方程在数学的相关问题、控制及金融理论中应 用范围的不断扩大【1 】、 1 4 】，使得其本身的研究价值越来越重要，并 引起许多学者的兴趣 1 】、【9 】、【1 1 】、 1 4 】a p a r d o u xa n dp e n g 3 】研究了下面形式的倒向随机微分方程，并在 系数，满足l i p s c h i t z 条件下，在m 2 ( o ，t ；r ”) 上证明了其关于穸哆适 应解的存在唯一性： 吵( f ) = 一巾，y ( ) ，2 ( ) ) 8 + 。( ) d 矿( f 2 1 、 b ( 丁) 2 y 其中( r ) 是b r o w n 运动，( 穸7 ) 创表示( ) 啪的自然盯代数流， m 。( o ，r ；r 4 ) = ( v ，) 脚lv ，是【0 ，】上适应的d 维实值过程，满足 e ( 1 v f1 2d t 0 。 如果 “( f ) “。+ r v ( s ) h 似( s ) ) 出，ku o = o ，o + 蔷2 o 。，则杆( f ) = o 。 证明：设 ( r ) = u ( t r ) ，vj ( r ) = v ( 7 t f ) ，f 【o ，r 】贝u ( f ) + e ，v ( j ) h ( “( j ) ) 由= + d ( r s ) 1 - 1 “口一s ”出 = u o + 【v ( 7 一班( h ( 劝曲= + r v 1 ( 渊h ( 劝b ， 则由b i h a r i 不等式 9 】，可得 ( f ) = 0 ，所以“( f ) ；0 证毕。 注：仿引理2 1 证明方法可得g r o n w a l l 不等式的倒向形式：设 t 0 ，实函数g ( ) 2 0 ， ( ) 是【o ，t a ：可积函数。若存在常数k 0 ，有 g ( f ) & ( f ) + kfg ( s ) d s ，f ( o ，f 】，则有 g ( r ) ( r ) + kfe l s - o ( s ) 山 ( 2 4 ) 为了得到主要结果，首先构造迭代 r a t ) 2 e ( y + lf ( s ，y 一( j ) ) d sl 穸r ) ， y o ( f ) 2 0 ( 2 5 ) 引理2 2 假设条件( a ) 和( b ) 成立，那么对于0 ，t ，”1 ，有 e ( 1 匕( f ) i ) c 。，其中c 。是正常数。 证明：设鼻( f ) = 】，+ f 厂( s ，一。( s ) ) 血，对协( f ) j 用广义的i t 6 公式有 皖( 叫= y i + fs g n ( g ( j ) ) ，( 岛e 一( s ) ) 出茎l y i + f i f ( j ，k 一。( j ) ) l d s 。 对于凹函数p ( “) ，存在常数a 和b 使得p ( “) d + 6 “，结合条件( a ) 和( b ) 便有 i 厂( s ，( e 一( s ) ) 1 i f ( s ，o ) l + 1 ，o ，e 。( s ) ) 一，o ，o ) l i f ( s ，o ) i + p g 一( s ) 1 ) l 厂( s ，o ) + 口+ 6 艺一。( s ) i ， 因而可得 溉( ，) - l r l + r 。( ，( s ，o ) + 口+ 务 k 一，( s ) i ) 出，e 阮( 叫c 2 + q 7 e z _ 。( s 出， 其中c 2 = e l j ，l + a f l ： ，o ) l 山) + 口r 。 而结合等式( 2 5 ) 可知( r ) = e ( 六( r ) l 穸，) ，于是有 e l r 。( r ) l e l * 。( f ) l c 2 + 6 r e i 一( s ) 阻s c 2 + 6 f 7 罂e 慷( s ) 阻， 则对v 蜥 。有 s u p e ( f ) l c 2 + b is u p e 陬( s ) i 出， 1 s s m “ l g i j m 结合g r o w n w a l l 不等式( 2 4 ) 可得s u pe 峨( f ) i c 2