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数学的对称美及其在中学数学解题中的应用广西钦州市第二中学数学组 韦莹莹 摘 要：对称美是数学美的重要组成部分，它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支之中在数学解题过程中注重对称美并恰当地利用对称性，可以为我们提供解题思路，提高解题效率，达到事半功倍的效果本文首先从对称美的概念入手，分析了对称美在数学中的几种表现形式，概述了对称美在数学研究、数学教学上作用，奠定了对称美的理论基础接着谈对称美在中学数学解题的运用，主要讲对称美在函数、几何图形、不等式、数列、概率和分解因式的应用最后，在学生认知对称美的基础之上，还探讨了如何培养学生的对称美意识，使得学生从真正意义上提高自身的解题能力关键词：对称美；中学数学；解题引 言在全面推选素质教育的今天，审美教育受到了人们的广泛重视如今语文、音乐、美术等学科开展了大量的美育活动，但是在数学方面的美育活动却很少在中学数学教学中，人们重视基础知识和基本技能的传授与训练，而忽视了美育的渗透不善于发掘数学本身所特有的美，不注意用数学美来感染诱发学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣；不重视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，更谈不上引导学生创造数学美，以致使一些学生感到数学抽象枯燥，失去学好的信心对称反映了数学的形式美，它可以锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象，给学生以美的感受对称是值得重视的课题，它涉及数理化、文史哲、体音美，上通科学殿堂，下达教学实践，兼及素质教育与应考对称思想对中学生很有帮助和益处，它有别与其它数学思想方法，有自己的优势和独特之处，对学生的思想品质、数学能力的培养有很大帮助和作用对称可以锻炼学生的思维、拓展学生的视野、丰富学生的想象、造就学生强大的数学头脑合理运用数学的对称美，能指导学生加深对数学基础知识的理解，加强数学思想方法的掌握，帮助学生寻求解题思路，较好地促进学生数学思维的发展，使得学生的数学解题能力得到提高，培养学生数学学习的兴趣1 对称的概述对称意味着均势、对等、平衡、稳定、和谐、自然、美好【1】对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，而且它成为各种学科，如数学、物理、化学、生物、医学、建筑、美学、绘画等的基本理论和表现形式之一著名物理学家李政道认为：“对称就是平衡，它是指世界上一切事物，都处在它该处的位置上”为什么对称会产生美，传统的解释是，对称代表和谐、舒适、端庄，因而给人以美感对称在现代汉语词典中解释为：图形或事物对某点、某直线或某平面而言，在大小、形状或排列上具有一一对应关系数学中的对称美，是指数学中的部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间的和谐一致及“对等性”【2】几何图形中的对称是数学对称美的最通俗直观的解释但从更广泛的意义上讲，数学中的对称不仅仅在几何图形上，从运算的角度看，加与减、乘与除、乘幂与开方、指数与对数、微分与积分、收敛与发散、矩阵与逆矩阵等这些互逆运算都可以看作一种“对称”关系；从函数角度看，函数与反函数，也可以视为一种“对称”；从命题的角度看，正定理与逆定理，否命题与逆否命题也可以看成一种对称；对偶关系也是一种对称广义对称的思想从七年级到高三，时时处处，耳濡目染2 数学的对称美的表现形式对称是宇宙万物存在的一种和谐状态数学中的对象往往也呈对称形式，比如公式的对称、图形对称、数学概念对称、数学思想的对称、对称的数学方法等等2.1 数学公式的对称性很多数学公式中的字母是对称的，地位是平等的3，如数的加法与乘法通过运算律而形成对称，幂运算中，；二项式的展开式中 其，在指数与对数中，;以上可以互换，公式仍然成立三角函数公式，集合运算中的对称: 与 等2.2 图形的对称性几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆”平面图形的轴对称，如线段、角、等腰三角形、正方形、抛物线、圆形等；平面图形与空间图形的中心对称，如平行四边形、正方体、球形等；空间图形的面对称，如平行平面、圆锥、圆柱等正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界。小到一些汽车的标志：如图1：图1大到北京故宫的建筑群-明显的轴对称，如图2：图2生活中时时处处，无不展示着工程师运用对称美的杰作2.3 数学概念和定理的对称性前面已经说过，数学中的对称美，是指数学中的部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间存在的“对等性” 关于对称性的考虑在一定程度上促进了数学概念的发展从有理数到无理数，从正数到负数，从实数到虚数，从求幂到开方，从函数到反函数，从积分到微分，从线性相关到线性无关等等【4】数学的对称美也表现为定理间的对称性如正弦定理:( 是三角形外接圆半径) 简洁地概括了三角形边、角及与外接圆半径之间的关系，结构精巧、对称又如平行线的性质定理:“两直线平行，同位角相等;两角直线平行，内错角相等;两直线平行，同旁内角互补”与平行线的判定定理:“同位角相等，两直线平行:内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行”就是数学定理间存在对称关系的最好例子在高中数学中的四种命题中：原定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着对称关系在射影几何中的对偶命题也是一种很巧妙的对称2.4对称的数学思想数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想【5】比如:化归思想、极限思想、公理化思想、方程思想、对称思想等等对称思想具有重要的意义，首先，我们通过引用大科学家的名言来体会：杨振宁：“对称，非常重要，非常基本，哲学家、科学家很自然会广泛应用”李政道：“艺术与科学，都是对称与不对称的巧妙组合” “对称的世界是美妙的，而世界的丰富多彩又常在于它不那么对称”两位正是对对称性的青睐，获取了弱相互作用和宇称守恒问题的研究成果对称思想的重要性与应用性是显而易见的例如，解方程和不等式，如果利用平衡对称的美学思想，就会变得简单、巧妙七年级教材解方程一课时：等式(方程)的两边同时加上、减去或乘以、除以(0除外)相同的数，等式(方程)的解不变对于不等式，只需在等式的基础上加一条:乘以(或除以)负数时，不等号要改变方向这样学生不必再记一些算理、不必再套用一些法则，就可以大大减轻计算量，减少运算过程，提高效率2.5对称的数学方法数学方法是指研究数学问题过程中所采取的手段、途径、方式等比如解析法、配方法、换元法等等对称方法在数学研究和数学教学中很有启发性:如由中国古代数学家杨辉利用对称性原理构造了新方法这种方法说明，和这列数首末两端距离相等的每两个数的和(对称性)都等于首末两数的和这种思想方法正适合于中学数学中的等差数列，运用对称性原理，我们可以轻易地得出等差数列前项和的公式在文献5中指出方程计算中的对称方法:九章算术中方程术讲到:“所谓方程实际上相当于现在所说的适定的线性方程组的增广矩阵”而矩阵是数学美学方法的最典型的表现形式之一这些都是数学美的对称性特征的典型实例算法的对称性:九章算术中有关分数的四则运算、比例计算、乘方、开方等计算中很自然地用到了对称方法虽然这些算法都是从生产实践中概括、归纳出来的，但都具有一般性，而且蕴含着对称美学方法3 数学的对称美的作用在数学教育中重视数学美的教育是素质教育的要求，而对对称美的深刻理解和运用，更有助于数学的发展和研究数学中的许多重大发现或突破得益于数学中的美学方法下面简单从数学研究和数学教学上两方面介绍数学的对称美的作用，通过了解对称美这几方面的作用，再进一步体会对称美在数学解题中的应用3.1 对称美在数学研究上的作用从数学发展的历史来看，对称性的考虑，在一定程度上促进了数学的发展例如，加法与减法，乘法与除法微分与积分等逆运算的建立，甚至黎曼积分与勒贝格积分、黄金分割点，这些都是数学家追求对称美的产物据数学美学初探记载：因为常用对数的真数与其对数不是对称性的增长，即当真数均匀的增长时，常用对数的增长是不均匀的数学家从对数的对称美考虑，而导致自然对数的产生又比如，在射影平面内，两点就能确定一条直线，反之，两直线未必有一交点为解除这个不对称关系，法国数学家笛沙格大胆猜想：两条平行线相交于一个理想点（无穷远点）这样就创立了对偶原理，以至射影几何学总之，无论是古代欧几里德在几何原本中所研究的几何图形的对称，还是近代数学创立的关于对称性的数学理论一群论都表明了对称美为数学发现和实践提供了线索和方便3.2 对称美在数学教学上的作用3.2.1 运用对称美，理解基础知识数学基础知识是贯穿数学教学内容的一条主线，直接以文字形式写在教材里，反映着知识的纵向联系数学基础知识主要包括概念、公式、定理等，是数学学习的根基，是进行数学活动的“基石”，是培养学生数学思维的“土壤”引导学生认识、利用对称思想，可以在基础知识教学中以不同层次、形态和不同交接点揭示知识间的联系，从多方位将知识系统化如平方根是初中数学既抽象又重要的概念，定义是：若，则叫做的平方根，怎么理解？一个数的平方是，那这个数是多少？而这个数就是的平方根具体联系是：平方与平方根是互逆运算，呈现对称思想，将平方根直观的表示出来利用对称性，很轻松地把新知识，新概念同化到已有的概念和知识结构中去，加深理解而且利用对称性可以让“枯燥抽象”的数学式子变得容易记忆，如三角函数有很多公式需要记忆,等，但是无论怎么样的三角公式，只要记住关于对称， 关于对称， 关于对称，关于对称，我们就可以将这些诱导公式牢固的记住了3.2.2运用对称美，寻求解题思路如果能用对称的观点去处理问题，往往可以从问题的一部分自然想起与此对称的另一部分，于是通过构造，使问题补充为完美的对称问题，或者用解决问题某一部分的方法去解决与此对称的另一部分，用对称美的思想指导解题，可找到简洁、漂亮的解法如：例 1：已知是方程的两根，求的值分析:因为不是关于的对称式，无法直接用韦达定理，但是我们只需添加因式，则两式是关于的对称式，由此可得不仅如此在解题过程中构造对偶命题也可以获得对称美解题的思路只要我们充分挖掘题目中的对称关系，解题过程便有可能得到大大的简化3.2.3运用对称美，发展逆向思维人们的思维按照思维过程的指向性来划分，可分为正向思维(常规思维)和逆向思维两种形式，逆向思维是对称性的特殊形式数学中的逆向思维具体体现在逆概念、逆定理、逆命题、分析法、反证法和公式的逆用等一些数学问题通过逆向思维的方式来解决，能收到事半功倍的效果，如(1)若 (二项式定理的逆用)(2)化简_(两角差的余弦公式的逆用)我们在数学课的教学中，既要重视顺向思维训练，又要加强对学生逆向思维能力的培养，这样不仅可以大大提高学生解题的灵活性，调动学生内在的学习的积极性，而且还会促进他们创造性思维能力的发展4 对称美在中学数学解题中的应用美国数学家哈尔莫斯指出：数学真正的组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏教育家舍菲尔得，在问题的解决的研究中指出：“借助对称性或其他不失一般性的考虑使问题得到简化6”可见对称性的考虑在解题中的重要性因此巧妙地利用数学问题的对称性，有助于找到简洁优美的解法，应用对称思想指导我们的解题实践，往往能出奇制胜，达到事半功倍的效果以下我主要从函数、几何图形、不等式、数列、概率和分解因式上的具体应用来阐述对称美在中学数学解题中的应用4.1 对称在函数中的应用函数是中学数学教学的主线是中学数学的核心内容函数的对称性是函数的一个基本性质如利用我们已知的：是奇函数的图像关于原点对称；是偶函数的图像关于y轴对称；若，则图像关于直线对称；，等结论解决相关函数问题例 27：定义在上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ）a 是偶函数，也是周期函数 b 是偶函数，但不是周期函数c 是奇函数，也是周期函数 d 是奇函数，但不是周期函数解：因为为偶函数，所以根据若，则图像关于直线对称所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数故选（a）此例子是利用函数自身的对称性解题的，以下看一个利用不同函数间的对称性的例子：例 3：设求分析：若先求反函数，再计算，显然繁琐，如果利用反函数与原来函数关于直线对称的性质，问题就容易多了解：设总之函数的对称性是函数的基本性质，利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决4.2 对称在几何图形中的应用几何图形的对称美中数学上的表现的普遍的几何对称是一种位置对称，在处理几何问题时，若能充分的利用图形的对称性，添加适当的辅助线或整体补形，能使解题过程大大的简化4.2.1对称在平面几何中的应用例 4：在的边上分别找点，使最短 图3分析：在平面图形中的在求最值问题时，充分利用“两点之间线段最短”公理 分别作关于的对称点， 关于的对称点，连接，交于，交于，则为所求作的点因为，又四点共线，故最短，即最短4.2.2 对称在立体几何中的应用例 5: 二面角为60，点分别在平面内， 到的距离分别为2、3，求的周长最小值 图4分析： 过点分别作关于平面的对称点连结分别交平面于 由对称性知: ， ，所以的周长等于又二面角的平面角为60，所以，所以故的周长的最小值为由此两个例子可以看出，对称在几何中运用相当广泛几何运算过程中用上对称的思维方式，就可以取得事半功倍的效果而且许多几何极值问题往往是在对称图形上取得最大值或最小值，如：等周的三角形中，正三角形的面积最大；等表面积的几何体中，球的体积最大；等积的几何体中，球的表面积最小等等4.3 对称在不等式中的应用不等式的证明，方法多种多样，选用什么样的方法应根据不等式的特点来确定，而利用对称性来证明不等式也是一种常用的方法例 6：已知为实数，且，求证：分析：由题目可知，直接求的做法是行不通的，我们可以对换元，构造对称关系证明：由则例 7：已知分析：由题意可知，三个元素的位置一样，这是关于的轮换对称式 如果一个代数式中的字母按照某种次序轮换，所得代数式和原代 数式恒等，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式。，因此可以采用均值代换法，即利用与它们的算术平均值的关系进行换元，从而快速得到了证明的思路4.4 对称在数列中的应用按照我们的解题经验，对称在数列中的应用主要在等差、等比数列的项，当时，有而由于对偶是对称的一种形式，所以在数列中构造对偶命题，可以获得解题思路例 88:已知，记记解:设利用对称思想构造一组对偶式:两式相减得: 从而本题的突破点在于，对对称性的熟悉运用关键就是学会构造出一组对偶式，把对称思维发挥得淋漓尽致4.5 对称在概率的应用概率中的对称思想在具有一般对称思想性质的同时，它所涉及的对称不同于通常情况下的对称，这种对称表现为由于基本事件发生的可能性相同，导致其发生的概率相等利用概率中的对称思想解题的依据是在样本空间的选取时，着眼于把样本点放在对称的地位上，即使得基本事件出现的可能性是相等的简而言之，这种对称是一种内部结构的对称更确切地说，它是一种形与式对称的兼容形对称表现为样本空间被均等的划分，即样本点在样本空间的地位相同;式对称表现为各样本点概率值相等故可视概率中的对称思想是通常对称思想的推广例 99：对夫妇任意地排成一列，求每位丈夫都排在他的妻子后面的概率解法1：排列的总数是为了计算有利场合的个数，可以这样考虑首先把个丈夫进行排列，共有种可能然后让排在第一的那位丈夫的妻子插入队伍，她显然只有1种可能，即排在最前面，接着让排在第二位的丈夫的妻子进入队伍现在她的丈夫之前已有两人，因此她有3种位置可选择排在第三位的丈夫的妻子进入队伍有5种位置可选择依次下去，最后一位丈夫的妻子有个位置可选择因此有利场合总数是: 从而，所以要求的概率是解法2：以记事件“第对夫妇丈夫排在妻子的后面”，即就是要求首先由对称性， 因为对每一对夫妇来说，或丈夫在前或妻子在前，两者是等可能的由对称性还可进一步断定是相互独立的，因为不可能有任何理由可断定某对夫妇丈夫与妻子位置的先后会影响别对夫妇丈夫与妻子位置的先后所以有两种解法相比，其结果完全一致然而第一种解法的构思很难被想到，计算又复杂第二种解法则充分利用了对称性，从而使计算过程变得简单明了可见，对称思想解决某些概率问题独具其巧妙的一面，将问题解决得干净利落4.6 对称在分解因式中的应用代数中的分解因式、计算求值、解方程（组）等方面常常应用和的轮换对称式的变换，神奇巧妙地体现了数式结构的对称美特别是对于对称多项式一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。的因式分解，如果我们知道了某一多项式是对称多项式的一个因式，根据对称性，便可找出与这个因式结构形成相同的另外一些因式，从而使问题获解 例 10: 分解因式 分析: 这是一个二元对称式，二元对称式的基本对称式是，任何二元对称多项式都可用，表示，如，二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用，表示，再行分解由以上例子可以得出：对称是数学中的常见现象，解题过程中抓住对称关系可优化问题结构，在解题过程中要注重一题多解，善于从题目的对称方面思考，通过自己的不断摸索与实践，逐步掌握对称的思想方法，以便提高自己的解题能力5 培养学生的对称思想方法长期以来，中学数学课堂教学往往采用从定义、定理到公式、法则，然后运用公式、法则去解决间题，学生在思考问题时深受传统数学方法的约束，习惯于从正向运用定义、定理、公式和法则，按固定方法解题由于缺少从问题对称性的方面去观察、思考和论证问题，造成了解题方法的死板，形成了单向思维定势现行教材中提供了大量的可逆命题如互逆定理、互逆运算、互逆公式等，因此我们在数学教学中， 要充分发掘教材中的这些因素， 渗透审美教育， 让学生体会到对称美如:互为反函数的图像对称性， 奇函数、偶函数的对称性， 圆锥曲线上的点的对称性等帮助学生领会定义的实质和记忆， 打破机械记忆的呆板模式， 从而激发学生对数学的喜爱， 陶冶美好的情操而逆向思维也是对称性的特殊形式，所以除了利用已有的可逆的教材外，还要不失时机的有意识加强对学生逆向思维能力方面的训练5.1从定义教学中培养学生对称思想方法定义是重要内容之一，其逆命题总是成立的，所以应注意让学生记住定义内容，并用它去正确判定和解题，还应善用其逆命题去解题我们必须从七年级开始就要逐步训练学生养成对称思维的习惯经常训练学生能容纳相对的或两种互不相容的观点，一旦两种相对立的思想能在学生头脑中结合，就会创造出一种新的思维所以在教学中我们应精心设计教案，启发引导学生从知识的正用转向知识的逆用，教会学生从正反面去考虑问题，培养学生思维的灵活性和变通性5.2 从定理、公式、法则的教学中培养学生对称思想方法平时教学中，我们都很注意顺向运用定理、公式和法则，而忽略逆向的运用，其实现行教材中已有不少可逆的素材，如整式的乘法公式和因式分解，平行线的性质定理和判定定理，乘方和开方等，我们既要熟练地顺向运用还要加强逆向的运用，以此达到顺逆两方面灵活的运用定理、公式和法则来解题如几何中的多边形内角和定理讲完后，应让学生练习已知多边形的内角和，求多边形边数等问题5.3 从解题中培养学生对称思想方法 数学题浩如烟海，如果单纯用一种思维方法去思考，有时会陷入困境教师应启发学生善于从不同角度，不同方向思考问题在几何证明方法上，分析法是一种对学生对称思维能力培养的较好的方法，因此我们在几何的教学中必须注意对学生的分析法思想的渗透如：公理“同位角相等，