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清华大学理论力学第七版答案 理论力学习题七答案 解：1、取AB部分讨论 ?M?F?0 B 10?2?1?20?FA?2?0FA?20kN ?0FBy?0 2、取DE部分讨论?MD(F)?0 y ?F?40?2?FEx?4?0FEx?20kN 3、取BCDE部分讨论 ?F x ?0 10?FCx?FEx?40?0FCx?10kN ?M C (F)?0 ?10?4?2?40?2?FEy?4?0 FEy? 50 ?12.5kN4 ?F y ?0 FCy?FEy?4?10?0 FEy?27.5kN 二、求解下列各题（20分） 1、如图2所示立方箱体重为G，放置于水平面上。箱体与水平面间的摩擦因数为 0FN?G?0 Ff及FN作用于B处， hT?02 2bbb (G?Ff?h)?G?2f?G?G(2f?)h2hh 2、正方体各边长均为a，作用有F1、F2，如图3所示，且二力大小均为F，求此力 FT? 解： F1x?F2x? F3F3 F1y? 3F33F3 F1Z?F2Z? 3F33F3 F2y? Mx(F1)?My(F1)?MZ(F1)?0 aF3 Mx(F2)? aF3Fk? My(F2)?02Fi3 MZ(F2)? ?得： 3aFi?aFk33 三、如图4所示，半径为r的圆盘绕过盘缘的O轴以角速度?转动，从而带动靠 M0? ，图示瞬时，OCOO1，若选盘心C点为动。（8分） ?a?r?,有已知几何尺寸关系，r，a，e之间的夹角均为60，可求得： 2r2 r?r?2方向如图示?e ? ? O1A?O2B?r，AB?4r。 ?0绕O1轴转动，某瞬时O1AO2B杆和AB杆的角速度及 ?B?A?r?0 ?O2B? ?B r ?0?AB?0 2、求加速度aA?aAn?r? 选A为基点，则： aBn?aB?aA?aBA?aBAn 而 22 aBn?r?O?r?n02 20 ?0 将上等式两端分别在y轴上投影得： aBn?aA?aBA? aBA ?AB?AB?4r?AB 2342 ?aBA?(aBn?aAn)?r?0 233 ?AB? aBA?32 ?04r3 将等式两端分别X轴上投影，得： ?aB?aBA? 122 aB?r?0 2即3 aB?22?0 2 r3而 五、均质圆轮O可绕O轴转动，轮外绕一绳。绳另一端系于均质圆轮A的轮心，A轮沿倾角为?的斜面做纯滚动。两轮质量均为m，半径均为r。开始系统静止。求当A轮沿斜面滚下S后，轮心的速度和加速度以及两轮间绳的拉力和斜面对A轮的摩擦力。（15 ?OB? 解：只有A轮重力作功，由动能定理T2?T1?W1,2 得 T1?0T2?T0?TA? 111222J0?0?m?A?JA?A222 r由于 2 ?T2?m?A ?0?A? ?A J0?JA? 12mr2 ?W 1,2 ?mgs?sin? 2 即m?A?mgs?sin?（*） ?A?gs?sin?（*）式两端对t求导，得：2m?AaA?mg?Asin? g ?aA?sin? 2 又取A轮讨论 由JA?A?MA(F)得12aAmr?Ff?r2r 11 ?Ff?maA?mgsin? 24 再由maA?Fx?mgsin?FT?Ff 1 FT?mgsin?Ff?maA?mgsin? 4 六、求解下列各题（14分） 1、均质杆OC，质量为m1，长为2r。在C处用铰与均质圆轮的圆心相连，圆轮质量为m2，半径为r。杆以角速度?绕O轴转动，从而带动圆轮在半径为3r的固定圆 2r?Jc?c 2r2?(2?) ? 44 m1r2?3m2r2?(m1?3m2)r2?233 理论力学思考题答案 1-1（1）若F1=F2表示力，则一般只说明两个力大小相等，方向相同。 （2）若F1=F2表示力，则一般只说明两个力大小相等，方向是否相同，难以判定。 （3）说明两个力大小、方向、作用效果均相同。 1-2前者为两个矢量相加，后者为两个代数量相加。 1-3（1）B处应为拉力，A处力的方向不对。 （2）C、B处力方向不对，A处力的指向反了。 （3）A处力的方向不对，本题不属于三力汇交问题。 （4）A、B处力的方向不对。 1-4不能。因为在B点加和力F等值反向的力会形成力偶。 1-5不能平衡。沿着AB的方向。 1-7提示：单独画销钉受力图，力F作用在销钉上；若销钉属于AC，则力F作用在AC上。受力图略。 2-1根据电线所受力的三角形可得结论。 2-2不同。 2-3（a）图和（b）图中B处约束力相同，其余不同。 2-4（a）力偶由螺杆上的摩擦力和法向力的水平分力形成的力偶平衡，螺杆上的摩擦力与法向力的铅直方向的分力与FN平衡。 （b）重力P与O处的约束力构成力偶与M平衡。 2-5可能是一个力和平衡。 2-6可能是一个力；不可能是一个力偶；可能是一个力和一个力偶。2-7一个力偶或平衡。 2-8（1）不可能；（2）可能；（3）可能；（4）可能；（5）不可能；（6）不可能。2-9主矢：FRC?FRA，平行于BO ；主矩： 2-10正确：B；不正确：A，C，D。 2-11提示：OA部分相当一个二力构件，A处约束力应沿OA，从右段可以判别B处约束力应平行于DE。 3-1 MC?aFRA2，顺时针。 3-2（1）能；（2）不能；（3）不能；（4）不能；（5）不能；（6）能。 3-3（1）不等；（2）相等。 3-4（1）MB?Fa(j?k)；（2）FRC?Fi，MC?Fak。 3-5各为5个。 3-6为超静定问题。 3-7空间任意力系简化的最终结果为合力、合力偶、力螺旋、平衡四种情况，分别考虑两个力能否与一个力、一个力偶、力螺旋（力螺旋可以看成空间不确定的两个力）、平衡四种情况平衡。 3-8一定平衡。 3-9（2）（4）可能；（1）（3）不可能。 3-10在杆正中间。改变。 4-1摩擦力为100N。 4-2三角带传递的拉力大。取平胶带与三角带横截面分析正压力，可见三角带的正压力大于平胶带的正压力。 4-3在相同外力（力偶或轴向力）作用下，参看上题可知，方牙螺纹产生的摩擦力较小，而三角螺纹产生的摩擦力较大，这正符合传动与锁紧的要求。 4-4 4-5物块不动。主动力合力的作用线在摩擦角内且向下。4-6 4-7都达到最大值。不相等。若A，B两处均未达到临界状态，则不能分别求出A， B两处的静滑动摩擦力；若A处已达到临界状态，且力F为已知，则可以分别求出A， B两处的静滑动摩擦力。 4-8设地面光滑，考虑汽车前轮（被动轮）、后轮（主动轮）在力与力偶作用下相对地面运动的情况，可知汽车前后轮摩擦力的方向不同。自行车也一样。需根据平衡条件或动力学条件求其滑动摩擦力。一般不等于动滑动摩擦力。一般不等于最大静滑动摩擦力。?4-9R 5-1?fs，F?P?R表示的是点的全加速度，表示的是点的加速度的大小；表示的是点的速度，表示的是速度在柱坐标或球坐标中沿矢径方向的投影。 5-2图示各点的速度均为可能，在速度可能的情况下，点C，E，F，G的加速度为不可能，点A，B，D的加速度为可能。 5-3根据点M运动的弧坐标表达式，对时间求导可知其速度大小为常数，切向加速度为零，法向加速度为。由此可知点M的加速度越来越大，点M跑得既不快，也不慢，即点M作匀速曲线运动。 5-4点作曲线运动时，点的加速度是恒矢量，但点的切向加速度的大小不一定不变，所以点不一定作匀变速运动。 5-5既然作曲线运动的两个动点的初速度相同、运动轨迹相同、法向加速度也相同，则曲线的曲率半径也相同，可知上述结论均正确。 若两点作直线运动，法向加速度均为零，任一瞬时的切向加速度不一定相同，从而速度和运动方程也不相同。 5-6因为y=f(x)，则vy?dydyvxdx，因为vx已知，且vx?0及dx存在的情况下，可求出vy，?vyvx?dvdv22cos?at?a?cos?v?vx?vydtdt则 可确v，v，可求出，从而由， 定。在vx?0的情况下，点可沿与y轴平行的直线运动，这时点的速度不能完全确定。dy ?x可以确定。若dx不存在，则vy也不能确定。在 已知且有时间函数的情况下，ax?v 5-7（1）点沿曲线作匀速运动，其切向加速度为零，点的法向加速度即为全加速度。（2）点沿曲线运动，在该瞬时其速度为零，则点的法向加速度为零，点的切向加速度即为全加速度。 （3）点沿直线作变速运动，法向加速度为零，点的切向加速度即为点的全加速度。 ?a?a?ant。（4）点沿曲线作变速运动，三种加速度的关系为 5-8（1）不正确； （2）正确； （3）不正确。 5-9用极坐标描述点的运动，是把点的运动视为绕极径的转动和沿极径运动的叠加， ?2a?a?出现的原因是这两种运动相互影响的结果。和中的? 6-1不对。应该考虑角加速度的方向。 6-2不一定。如各点轨迹都为圆周的刚体平移。 6-3（1）（3）（4）为平移。 6-4刚体作匀速转动时，角加速度?=0，由此积分得转动方程为 匀加速转动，角加速度?=C，由此积分得转动方程为 。；刚体作 6-5图a中与两杆相连的物体为刚体平移；图b中的物体为定轴转动。 6-6不对。物块不是鼓轮上的点，这样度量角的方法不正确。 6-7（1）条件充分。点A到转轴的距离R与点A的速度v已知，则刚体的角速度 tan?a 已知。该点的全加速度已知，则其与法线间的夹角已知，设为，则?2已知，则角加速度也已知，从而可求出刚体上任意点的速度和加速度的大小。 （2）条件充分。点A的法向、切向加速度与R已知，从而刚体的角速度和角加速度也已知。 （3）条件充分。点A的切向加速度与R已知，则刚体的角加速度已知，而全加速度的方向已知，从而刚体的角速度已知。 （4）条件不充分。点A的法向加速度及该点的速度已知，而刚体的角加速度难以确定，所以条件不充分。 （5）条件充分。已知点A的法向加速度与R，可确定刚体的角速度，而已知该点的全加速度方向，则刚体的角加速度也可以确定。 71在选择动点和动系时，应遵循两条原则：一是动点和动系不能选在同一刚体上；二是应使动点的相对轨迹易于确定，否则将给计算带来不变。对于图示机构，若以曲柄为动系，滑块为动点，若不计滑块的尺寸，则动点相对动系无运动。 若以B上的点A为动点，以曲柄为动参考系，可以求出 B的角速度，但实际上由于相对轨迹不清楚，相对法向加速度难以确定，所以难以求出 B的角加速度。 72均有错误。图a中的绝对速度 应在牵连速度 和相对速度 的对角线上；图b中的错误为牵连速度 的错误，从而引起相对速度 的错误。 73均有错误。（a）中的速度四边形不对，相对速度不沿水平方向，应沿杆OC方向；（b）中虽然常量，但不能认为 应为 。 。在动常量， 不等于零；（c）中的投影式不对，74速度表达式、求导表达式都对，求绝对导数（相对定系求导），则 系为平移的情况下， 。 75正确。 。在动系为转动情况下， 不正确，因为有相对运动，导致牵连点的位置不断变化，使 是动系上在该瞬时与动点重合那一点的切向加速度。 正产生新的增量，而 确，因为只有变矢量才有绝对导数和相对导数之分，而 是标量， 无论是绝对导数还是相对导数，其意义是相同的，都代表相对切向加速度的大小。 均正确。 76图a正确，图b不正确。原因是相对轨迹分析有误，相对加速度分析的不正确。77若定参考系是不动的，则按速度合成定理和加速度合成定理求出的速度和加速度为绝对速度和绝对加速度。若定参考系在运动，按速度合成定理和加速度合成定理求出的速度和加速度应理解为相对速度和相对加速度。 78设定系为直角坐标系Oxy，动系为极坐标系，其相对于定系绕O轴转动，动点沿极径作相对运动，则 求出绝对加速度沿极径、极角方向的投影即可。 81均不可能。利用速度投影定理考虑。 82不对。，不是同一刚体的速度，不能这样确定速度瞬心。 83不对。杆 与干 ，按公式 和三角板ABC不是同一刚体，且两物体角速度不同，三角板的瞬心的转轴不重合。 第6章刚体的平面运动分析 61图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度?绕轴O转动，当运动开始时，角速度?0=0，转角?0=0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。s解：xA?(R?r)co? yA?(R?r)sin? ?为常数，当t=0时，?0=?0=0 （1）（2） ? 12?t2 （3） 起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记?OAP?，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过 ?A? 因动齿轮纯滚，故有CP0?CP，即R?r? RR?r?，?A?rr ? ? 习题6-1图 （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为： ?2? ?xA?(R?r)cos2t? ?2 ?yA?(R?r)sint 2? ?1R?r2?A?2r?t? 62杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角?表示杆的角速度。 解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为 ?AB vvcos?v0cos?0?0?APACh 2 习题62图 习题62解图 63图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度?A与?B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。 ?A?解： vAv ?RR vv?B?B? 2R2R?A?2?B vB?A 习题6-3图 习题6-3解图 =v 64直径为mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度?12rad/s，?30?，?60?，BC270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。 1 解：杆BC的瞬心在点P，滚子O的瞬心在点DvB?BD ?BC? vB?BD?BPBP 12?603cos30? 270sin30?8rad/s vC?BC?PC ?8?0.27cos30?1.87m/s 习题6-4图 习题6-4解图 65在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。 习题6-5图 解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。 图（b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。 习题6-5解图 (a) 66图示的四连杆机械OABO1中，OA=O1B= 1 AB，曲柄OA的角速度?=3rad/s。试求当示。?=902 而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。 解：杆AB的瞬心在O ?AB v ?A?3rad/sOA v ?B?3? ?5.2rad/sl 习题6-6图 vB?l?O1B 习题6-6解图 2 67绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA=0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？ 解：如图 vA0.8 ?1.333rad/s 0.9?0.30.6 8 vO?0.9?O?0.9?1.2m/s 6 ?O? 卷轴向右滚动。 习题6-7图 68图示两齿条以速度v1和v2作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。 解：如图，以O为基点：v1?vO?Or v2?vO?Or 解得： v1?v2 2v?v?O?12 2rvO? 习题68图 习题68解图 69曲柄滑块机构中，如曲柄角速度?=20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA=400mm，AC=CB=xx7mm。 v 习题69图 解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。1当?=90，270时，OA处于铅垂位置，图（a）表示?=90情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂，D为CD之瞬心vDE=0 同理，?=270时，vDE=0 2?=180，0时，杆AB的瞬心在B?=0时，图（b），vC?vA（） 此时CD杆瞬时平移 vDE?vD?vC?vA?4m/s（）同理?=180时，vDE=4m/s（） 12 (a) 12 (b) 习题69解图 610杆AB长为l=1.5m，一端铰接在半径为r=0.5m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心 O速度的大小为vO=20m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。 3 解：轮O的速度瞬心为点C，杆AB的速度瞬心为点P?O? vO20?40rad/sr0.5 AvA?O2r?2m/s?AB? vA2sin45? ?AP1.5cos?102=14.1rad/s 习题610图 vBcos?vAcos(45?) vB?2(cos45?sin45?tan?)?12.9m/s 611图示滑轮组中，绳索以速度vC=0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。 解：轮B瞬心在F点vE=vC?B? vE 60?2?10?3 11 vD?vB?vE?vC?0.06m/s 22 ? 0.12 ?1rad/s0.12 F 习题611图 612链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CADE。曲柄OA=200mm，CO=CE=250mm，曲柄转速n=70r/min，CO=xxmm。试求当?=90时（这时OA与CA成60角）F、G两点的速度的大小和方向。 E 习题612图 习题612解图 解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。 vA?OA?0.2? ?e? n1.410.7 m/s ve?vA?m/s? 30323 ve0.777 ?r