（应用数学专业论文）倒向随机微分方程的性质及其应用.pdf

u 东利技火学碗上学位论文摘要 摘要 本硕士论文主要由三部分内容组成。 第一部分中，主要讨论了非五堙聒曲f z 条件下倒向随机微分方程( b e ) 的 重要性质。本部分内容主要得益于彭实戈教授相关结果的启发。 在内容的前半部分利用，面公式和d b g ( t h ed a v i s b u r k h o l d e r - g u n d y i n e q u a l i t i e s ) j l q 等式等数学工具，首先证明了两个重要的命题；后半部分我们在 上述研究的基础上得到了非三垂动砌条件下b s d e 解的逆比较定理； 第二部分中，我们利用g 一期望的相关性质研究在不考虑g ( f ，y ，0 ) ；0 的情 况下b s d e 生成元的唯一性，最终得到非l i p s c h i t z 条件下生成元g 存在唯一的两 个结果。 第三部分首先详细讨论了3 g 牌照的实物期权特性，然后对构成3 g 牌照实 物期权的各个参量进行了敏感性分析。 关键词：倒向随机微分方程，条件期望，生成元，g 一期望，实物期权，3 g 牌 照，敏感性 山糸科技人学硕士学位论文摘要 i n t r o d u c t i o n t h e r ea r et h r e ep a r t sc o n s t i t u t et h i sf i n a lr e p o r to f p o s t g r a d u a t es t u d y i np a r to n e ，b r i e f l yd i s c u s s e dt h ec h a r a c t e ro fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( b s d e ) u n d e rt h ec o n d i t i o n so fn o n l i p s c h i t z ，w h i c hb a s i c a l l ys t e m m e d f r o mt h es m d yo f p r o f e s s o rs h i g ep e n g i nt h ef i r s th a l f o f p a r to n e ，w ep r o v e dt w oi m p o r t a n tp r o p o s i t i o n sb yu s i n gt h e f o r m u l a t i o no fi t oa n dt h ei n e q u a t i o nd b g ，i nt h es e c o n dh a l f , b yu s i n gt h e r e s u l to f p r o p o s i t i o n2 2 ，f o u n do u tt h et h e o r e mo f t h er e v e r s ec o m p a r i s o no f b s d e u n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo f n o n l i p s c h i t z t h er e s u l ti np a r tt w oi sb a s e do nt h eg r o u n d w o r ko fp a r to n e i nt h i sp a r t s t i l lb yu s i n gt h ep r o p o s i t i o n2 2d i s c u s s e dt h et m i q u e n e s so f t h e g e n e r a t o ro f b s d e u n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo f n o n l i p s c h i t z i np a r tt h r e e ，t h ed i s c u s s i o nc o m e st ot h ea p p l i c a t i o no fo p t i o np r i c i n gs y s t e m a s3 g l i c e n s ei sn o wt h eh o t - t a l ki nt h et e l e c o m m u n i c a t i o ni n d u s t r y , t h ed i s c u s s i o ni n t h i sp a r tt h e r e f o r ef i r s tc o m et ot h ec h a r a c t e ro fr e a lo p t i o no f3 g l i c e n s e ，t h e nc o m e t ot h ea n a l y s i so fe a c hp a r a m e t e rt h a tc o m p o s et h er e a lo p t i o nv e r s u st h es e n s i t i v i t yo f 3 g l i c e n s ep r i c i n g k e yw o r d s ：b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( b s d e ) ，c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n ， g e n e r a t o r , g - e x p e c t a t i o n ，r e a lo p t i o n ，3 gl i c e n s e ，s e n s i t i v i t y 声明 本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公 认的文献外，全部是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有里交于 其它任何学术机关作鉴定。 硕士生签名： 割数拘 日期：伽。舌、f a f f i r m a t i o n id e c l a r et h a tt h i sd i s s e r t a t i o n ，s u b m i t t e di nf u l l a l i m e n to ft h er e q u i r e m e n t s f o rt h ea w a r do fd o c t o ro fp h i l o s o p h yi ns h a n d o n gu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , i sw h o l l ym yo w nw o r ku n l e s sr e f e r e n c e do fa c k n o w l e d g e t h e d o c u m e n th a sn o tb e e ns u b m i t t e df o rq u a l i f i c a t i o na ta n yo t h e ra c a d e m i c i n s t i t u t e 阮n a t 剀数蠲 d a t e ：俐、莎。j ：且衣科技人学硕士学位埝文绪论 1 绪论 1 1 倒向随机微分方程理论的提出、发展和应用 随机微分方程的研究已有近半个世纪的历史，它不仅有赢接的应用背景，并且与其 他的数学分支发生了非常自然而且是意想不到的联系，五：相促进，相映生辉。国际上许 多著名的数学家投身于这一领域的研究并且获得了辉煌的成果。在其研究过程中，科学 家首先考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程，也就是我们所称的正向随机微分方 程。 然而，在实际中还存在另一类同样重要的问题，即在随机干扰的环境中如何使系统 达到预期的目标? 为达到此目标需要具备什么样的条件? 采取什么相应策略? 倒向随机 微分方程就是适合解决此类问题的方程。 相对于正向随机微分方程，倒向随机微分方程的研究起步较晚。1 9 7 3 年，法国数学 家j m b i s m u t 在研究随机最优控制时就研究了一类特殊的倒向随机微分方程( 【3 6 】) ，倒 向随机微分方程的提出却滞后了近二十年。1 9 9 0 年我翟数学家彭实戈和法国p a r d o u x 教 授一起发表了“倒向随机微分方程”一文，提出倒囱随机微分方程的基本结构并证明 了解的存在唯一性( 【4 】) ，这篇文章后来引起了一系列重要反应，被称为是倒向随机微分 方程的“f o u n d e rp a p e r ”现在倒向随机微分方程理论在随机分析、p d e 、金融数学、随 机最优控制等领域获得了广泛的应用，而b s d e ( 即倒向随机微分方程b a c k w a r d s t o c h a s t i cd i f fe r e n t i a le q u a t i o n ) 已经成为入耵j 所熟知的专用缩略语。b s d e 不仅 是金融数学研究的主要工具和内容，而且由这所提出的非线性数学期望一g 一期望在经济 理论中也具有重要的应用价值。 实际上，很长时间以来国际上经济学界就在寻找这样一种结构。1 9 9 2 年著名经济学 家达菲( d u f f l e ) 和爱泼斯坦( e g s t e i n ) 发表了“随机微分效用”一文，从经济学的观 点g 入了倒向随机微分方程，他们所引进的方程实际上是彭实戈和巴赫杜的结果的一个 特殊情况。 时至今日，倒向随机微分方程理论已经在国际上产生了重要的影响。许多国家的金 融数学、随机分析、随机控制等领域的著名学者，如法国的e 1k a r o u i 、美国的k a r a t z a s 、 坐垒盟蔓= ；苎堂t 些兰芏焦堡塞堕堡 p i o t t e l 等都发表了专门史章进彳j 二研究，推动了倒向随机微分方程理论与鹰川的研究。 l , 9 9 4 年，】f 在致力r 数学金融研究的著名随机分析号家、法国经济数学家埃尔卡岁 义( e 1k a r o a i ) 发现彭文戈和巴赫杜所引入的倒向随机微分方程正好可以应用于解决金 融征券市场中一大类派生证券( 如期权和期货等) 的定价问题。未定权益套期定价理论是 现代金融理论的核心。它的一个典型情况就是著名的”b l a c k & s c h o l e s 公式”。这个公式 的导；- l j 被认为是金融经济学的一次革命。向正如法国金融数学的学术带头人e lk a r o u i 教授存文章指出：”过去五年以来，人们怀着巨大的兴趣看待倒向随机微分方程理论，这 是由于它与非线性偏微分方程的联系，以及更一般地，与非线性半群、随机控制问题的 联系。与此同时，在金融数学中，未定权益的套期和定价理论被典型地表示为线性倒向 随机微分方程”。 彭实戈在随后的研究中发现了倒向随机微分方程和一人类非线性抛物型和扩散型偏 微分方挥的解之间的一一对应的关系，将著名费曼卡茨( f e y r t m a n - k a c ) 公式推广到了非 线性情况( 非线性费曼一k 莰公式) ，为这类偏微分方程解的随机计算方法找到了新途径。 倒向随机微分方程理论研究的历史较短，进展却非常迅速。除了本身所具有的有趣 数学忭质外，其重要的应用前景也是吸引众多学者的原因。现在，倒向随机微分方程渗 透1 ：偏微分方程、金融数学、随机控制、微分几何等领域，成为包含正倒向随机微分方 程( f b s d e ) ，反射型倒向随机微分方程( r b s d e ) ，非l i p s c h i t z 条件、带跳及p o s s i o n 鞅冽度的b s d e 适应解的存在唯一性以及解的性质等内容的一门具有强大发展潜力的数 学分支和应用工具。 1 2b s d e 解的比较定理 南倒向随机微分方程解的存在难一性的基本定理得到，投资者若想达到明天的财政 计划，那么他今天的决策不仅要决定今天的总投入y ，而且还必须将其中的z 元用柬作 j i i ( l 险投资。但是如果投资者明大的财政目标是非负的，且还有收益的可能，则他今天的 投入y 必须是正的，关于这一点可以由倒向方程的性质比较定理得到印证。 比较定理是p e n g 在研究倒向随机微分方程的过程中得到的一个重要的结论，即在倒 向随机微分方程( 2 1 ) 满足解存在唯一的条件下，若两个方程的终值条件及生成元窖可以 相互比较，则我们可以得到两方程在某一时刻解的比较结果。而以上这一点在金融学语 相互比较，则我们可以得到两方程在某一时刻解的比较结果。而以上这一点在金融学语 2 山东科技j 、学硕士学位论义绪论 点米诠释的话则被称为是无套利条件( ”d a r b i t r a g e ) 。在经济学中，按照d 聪历p 和e p s t e i n 的观点，倒向随机微分力程的生成元g 被认为是递归因子，若把终值条件看作是效用的 话，则如下所示的倒向随机微分方程 一d r , = f ( t ，c ，k ，z ，) d t z ：d 彬 = 舌 实际上是未来消费和未来效用的函数。因此我们可以利用比较定理来比较两个消费过程 的效用。 在对倒向随机微分方程研究的过程中，人们很自然的想到了一个问题：既然b s d e 解 的比较定理在理论研究和实际中有如此广泛的应用，那么与之相应的b s d e 解的逆比较 定理是否也成立呢? 这个问题心略在 1 中作了详细的回答；p e n g 在研究上述问题时考 虑的是生成元g 满足l i p s c h i t z 条件的情况；鉴于l i p s e h i t z 条件的特殊性，本文在第二部 分我们将考虑生成元g 满足非l i p s c h i t z 条件的情况。 1 3 非线性数学期望一譬期望 线性数学期望的概念是现代概率论中最基础的概念。在经济理论中，如何度量不确 定环境下的偏好问题是一个重要课题，最常用的方法是v o n n e u m a n n 提出的期望效用 ( e x p e c t e du t i l i t y ) 法。但是，自从著名的a l l a i s 悖论和e l l s b e r g 悖论提出以后，经 济学家已发现数学期望的线性性是导致两饽论的原因之一。因此v o n - n e u m a n n 的期望效 明：j 了法无法度量人们的不确定厌恶( u n c e r t a i n t ya v e r s j o n ) 。正是基于以上原因，经济 学家们匝在寻找一种既能保持经典数学期望的某些性质又能反映不确定厌恶的数学工具 来描述偏好问题( 1 4 一 1 6 ) 。 第一个一般意义下的动态相容的非线性期望是彭实戈通过倒向随机微分方程引入 的，彭称它为g 一期望。这种g 一期望保持了数学期望除线性以外的几乎一切性质。以g 一 期望为基础，可以相应的引入条件g 一期望和g 一鞅的概念( 3 ， 1 8 一 2 3 ) 。之后彭通过 独创的方法获得了与经典的d o o b - m e y e r 的著名结果相应的g 一上鞅分解定理( 2 4 ) 。最 近，彭和几个法国学者一起证明了一个非常深刻的结果：一个动态相容的数学期望，只 要满足一定的光滑条件，就一定是一个g 一期望。这些在非线性期望的研究结果不仅为非 线性随机分析的建立奠定了基础，而且也为经济理论的研究提供了强有力的工具。 3 山东科 大学硕十学位论文绪论 在研究b s d e 的过程中我们总是给出生成元g 来考虑解的存在唯一的问题，随着研究 的深入，学者们很自然的考虑到在不同的条件下，生成元g 是否也是唯一的呢? 陈增敬 在 3 中对以上问题给出了肯定的回答；然而g ( t ，y ，0 ) = 0 这一条件太强，大多数的生成 元g 都不满足，因此文 4 7 q e 龙在不考虑g ( t ，y ，0 1 ；0 的情况下探讨了l i p s c h i t z 条件下 生成元g 的唯一性问题；目前g 不满足i p s c h i t z 条件的相关研究还不多，本文第三部分 对不满足咖c h i t z 条件的生成元g 的唯一性问题进行了探讨。 1 43 g 牌照及其现状 所谓3 g ，就是英文3 r dg e n e r a t i o n 的缩写，指第三代移动通信技术。相对第一代 模拟制式手机( 1 g ) 和第二代g s m 、t d m a 等数字手机( 2 g ) ，第三代手机是指将无线通信 与国际互联网等多媒体通信结合的新一代移动遥信系统。由于3 g 手机结合高新技术以及 宽频段，凶此它诸多优势功能及广泛的用途，加之中国近年来移动电话业务迅速增长， 其发展潜力自是不可估量，因而3 g 一经产生便骤然升温，在近期内成为电信行业的投资 重点。不但已经取得2 g 移动通信业务运营资格的通信商虎视眈眈希望能够早日完成2 g 到3 g 的转移，抢占商机，就是对目前还没有提供2 g 服务的电信运营商来说，3 g 也是进 入战场的最后的机会。 由于3 g 牌照是进入3 g 战场的通行证，因此面对势在必行的3 g 牌照发放，一时间硝 烟四超，各电信运营商无不蓄势以待，只待合适的时机便杀入争夺3 g 牌照的战场。相对 与投资商，运营商的热火朝天，作为牌照发放方的中国信息产业部却比较安静。其实早 在2 0 0 0 年6 月，信息产业部就已经开始考虑3 g 牌照的发放问题了。借鉴于国外3 g 牌照 发放的教训，为了有效避免重蹈市场需求和商业化成熟度不理想而造成的严重损失，在 发展3 g 产业的关键问题上我国政府保持了清醒的头脑时至今日，随着3 g 市场的不断成 熟，中国大陆的3 g 牌照也呼之欲出。 3 g 牌照提供了进入3 g 业务的权利，其持有者可以通过投资3 g 基础设施行使期权， 因此3 g 牌照是实物期权；为给3 g 牌照的拍卖一个合理的投标价格，在文 3 9 中，谭跃， 何佳对3 g 牌照的实物期权价值进行了详细分析。然而，随着国内3 g 牌照发放的时间的 迫近，有关于3 g 项目投资的前期评估工作渐渐的提到了运营商的决策日程上了，从而构 4 奇：科技夫学硕士学位论文绪论 成， ( ；牌照实物划权的各个参量的敏感性成了评估工作首要考虑的问题。在本文的第四部 分我们将充分的讨论3 g 牌照的实物期权特性，并对其实物期权定价公式中的血个参量做 敏感性分析。 l 彖科技大学硕上学位论文 非l i p s c h i t z 条彳qfb s d e 解的逆比较定理 一一 2 非l i p s c h i t z 条件下的b s d e 解的逆比较定理 2 1引言 众所周知，p p 在f 4 】中证明了如f 所示的倒向随机微分方程存在唯一的对适应解： i2 毒+ r g ( s ，r ，互) 办一r 互d 彬o f 7 1 ( 2 1 ) 其中( r ，互) 是平方可积的适应过程；生成元g 关于( y ，z ) 满足三章坫c f f z 条件。即 v t 【o ，t 】，* ，y 2e r ，五，z 2 r 4 ，有 j g ( 舅，z - ，r ) 一g ( y 2 ，毛，t ) l 0 ( 7 1 ，亭) 被称为终值条件，而( ，g ，善) 则是b 甄哂( 2 1 ) 的标准参量。同时当g 满足如上所述 的条件时一我们还得到了嬲明的个重要性质：解的比较定理；即假设f ，) 是如下 b s d e 的解 f = 舌i + f 岛( 凡l ，掣) 出一r z ，i d 彬o f 丁 f ：l ，2 ( 2 2 ) 在如 1 】中所给定的条件下，若孝1 亭2 ，蜀( f ，r 2 ，哥) 29 2 ( f ，1 2 ，彳) ，则有f2 i z 成立。 由于比较定理在金融中的重要应用，之后，很多专家学者对其进行了深入研究 1 9 9 5 年，毛学荣f 3 3 】将工枷幽比条件改进为：对任意的( 毒，z ；) e r “ 扛1 ，2 及 v t 【o ，t 】，有 l g ( 咒，z ，f ) 一g ( y z ，z ：，f ) 1 2 p ( i m y ：1 2 ) + 足l l z , 一z , 1 1 2 其中k 是大于。的常数，p ：r 寸r 是连续的非降凹函数，户( o ) ：0 ，当“ o 时p ( “) 0 ， h j 南2 o o 。并在此条件下证明了下述方程： r = 孝+ f g ( s i ，z , ) a s r 五d 形o f r 存在唯一的适应解。 随后，在2 0 0 0 年，林青泉f 5 】中证明了在g 函数满足毛氏条件的情况f 的b s d e 6 山东科披夫学硕士学位论文非l i p s c h i t z 条件下b s d e 解的逆比较定理 的比较定理：即在毛氏条件下，若善1 毒2 ，g ( f ，y r 2 , 彳) g ：( f ，1 2 ，彳) ，则自r 1 y 2 成 电： 与比较定理相对应，个问题很自然的产生r ：在同一个终值条件下，对于所有的 终值条件，如果我们能够比较两个b s d e s 的解，那么是否可以对两个方程的生成元作比 较呢? p e n g 和c h e n 分别在 1 】和【3 】中对这个问题作了回答并证明： 陈增敬老师在【2 】中，利用“g - 期望”的定义，证明了若对每一个善r ，有 e 。【毒】= 吒【孝】，则必有g 。s g ：，相应的p e 增在【1 1 中将工作推进了一“步，证明了对于每 一个毒r ，若s 。k 薯】s 。睛互】，则g 。g ：。以上结果都是在l 咖幽汜条件下得到 的，本文我们将证明在毛氏条件下，b s d e 解的逆比较定理依然成立。 2 2预备知识 设( q ，于，p ) 是一个完备的概率空间，矽= 彬，o t t 是其上的标准d b r o w n 运 动，w o = 0 ，并且 互，0 f t 由w 生成的自然盯代数流 若z e ，则8 2 6 表示它的欧几里德范数，定义如下的一般空间上的过程： 岛= 甲循序可铡；枷1 1 2 _ 2 ：= e 郴s u 。p 孵1 2 ( o 。 = p 循序可测；缈睁= e r l 1 1 2 m 0 时， p ( “) 。，且0 j p d ( u 。) 1 j 来荆技人学硕士学位沧文 非l i p s c h i t z 条件fb s d e 解的逆比较定理 过程( g ( f ，0 ，o ) ) m ，】6 ( a 3 ) ：p n s ( 4 ) ：p 一口s v ( f ，y )g ( f ，y ，0 ) ；0 ， v ( y ，z )g ( f ，儿z ) 关于t 是连续的， 事实上，条件( 4 ) 是l i p s c h i t z 条件的推广。如果定义p ) = 砌，“ - 0 ，则户( “) 满 足条件( 4 ) ，因此l i p s c h i t z 条件是条件( 4 ) 的特殊情况。 o f 理2 1 如果g 是确定性的，则对于每一个考f ( 写) ，只要孝是独立于的，就有 毛( 毒互) = 占信) 成立。 2 3 有关结果及其证明 命题2 3 - 1 令告e f ( 辟) ，并且条件( 4 ) ( 4 ) 成立：则，若过程( ( i ，五) ) ，和卅是方程( 2 1 ) 的解，令p = 2 k + i ，则有 e k 扩吲2 小劁圳2 州卜h f + 胪双啪，o ) f 出川仁s ， 其中c 为一般常数，季( 只o o ) ：g ( j ，o ，o ) + 华 证明：对e 毋i i i2 在【“，】上应用肋公式，可得 e 肚j 艺i2 十f 扩0 互出= e 矿蚓2 + 2 i r e s * y g ( 兄r ，互) 蠡一r 声扩i f r 出2 r e 一5 r 互d 彬由于 g ( s ，互) 满足非l i p s c h i t z 条件，因而 扩阱+ p 2 出懈+ ：f 扩叫厕丽+ 阢o ，o ) 岫 一r 矽5 i 茸1 2 出一2 r 扩5 i 互d 形 e m i 艺 2 + r e 毋i i z , 1 1 2 出e 胛旧2 + 2 r e 肛k i ：可霹+ 2 i r e 加f r 五| | 凼 + 2 f e 鼬i r l l g ( b o ，o ) l a , 一r 卢e 母i 【i 2 凼一2 r e 廖誓互d 彬 刈尔科技 学硕l 学位论文 非l i p s c h i t z 条件下b s d e 解的逆比较定删 考虑fe 肛 l i p ( 乎) 凼，由于p ( z ) 为单调递增凹函数，冈而存在常数k t ，k 2 o ， 使得户( ) k 。+ k 2 x ，从而有 p 吲瓜珏f e 7 s 吲i i + k 2 y 2 d s - r 再加吲西十r 屉邱阱凼， 故而，钉 e 血| k 2 + f r e 毋| | 互f 凼_ 0 ，令 ( ( 5 f , x , y , p ，r 。，t “，) ) 州。】为曰t n e 在f o ，f + 占】上的解，则对于如下的曰犯匠 ( 2 6 ) 5 9 = y + p ( 麟一z ) + r g ( 地。驴”，8 华”p r 斧”d w ( 2 7 ) 则有如下命题： 命题2 3 2 令假设函数g 满足条件( 4 ) ，( 4 ) ，( 4 ) ，6 ，盯满足( 2 6 ) 的假设，且 e 恶悟( r ，o ，。) 门 。，则对于( 屯五弘p ) 【o r ) 彤r 掣，有 f 一。1 i m ，l 。 5 i t , x , y , p y = g ( f ，y ，d ( 工) p ) + p 6 ( 工) ( 2 8 ) 证明：由( 2 7 ) 式中y + p ( 戤：一x ) 的平方可积性以及给定条件知，b s d e ( 2 7 ) 在空自j 品，中存在唯一的解，简记( r ，z ) = ( 。巧”，4 “9 ) ，对于f s f + s ，令 则有 声= 野- ( y + p ( 霹一一z ) )露= 零一仃( 掣4 ) p ， 露= y + p ( 戤一z ) ) 一y + p ( 墨一z ) ) + f “g ( “，鬈，霉灿一f ”霉d 呒 墨。) + f ”g ( “，鬈，霉肌一f ”霉d 矾 1 0 l j 尔科技k 学硕十学位论文 非l i p s c h i t z 条件下b s d e 解的逆比较定埋 = f “p b ( x ：。胁+ f “p 盯( _ 1 1 p 睨+ f “占( “，鬈，z 灿一f 露d 睨， 根据假没条件 f = f ”g ( “，露+ y + p ( 墨一一x ) ，露+ p o 7 ( 雹。) p + f ”p b ( x ：4 灿一f “z 。 d w 。( 2 ，) 由2 3 ) 式可得 zjt(su、，p，。|，l 2 1：!“；i|d。，i!；c。(2女+。i)ff+5季“，少+ p ：x - x ) , p c r ， ) ( + p bx 爿：1 ) d “ 2 ，f陋。)j 由f g 满足条件( 4 ) ，6 ，盯满足非l i p s e h i t z 条件，从而 z ! ，蛩。l i ? j 2 rr + 8 l i 互擘1 1 2d。，i!；c一2t+。i)5fr+5 压似1 师丽+ 压l 叫掣i 州i 蛐o ) h 竹4 料，( 幽h 协”厨丽+ p 厩阱i 刮州i 郎，o ，o ) | 妇) 2 ，0 剑2 “压卜 ( f 4 5 ( 压+ 压卜p ( f 舛。，s 2 e 1 + 。s u 。p ；( 眇i + 阢o ，o ) | 2 ) d 由j 二 从而 z ) 卜( p 4 i c , + p c 2 ) 1 z 1 i + 旧( s ，。，。) i ) 幽) 2 ，一l 。恕。( 2 + 阢o 0 ) | 2 ) c ( - + i 工1 2 ) e 。s u ；p 。i 霉j 2 + + f + i j 霉1 1 2 凼f 2 ，( 其中c 为一般常数，并且依赖于，p ) 。 考虑到 ( i 。一y ) = 三矛，由此我们令( 2 6 ) 式中s = f ，且对等式两端取关于f 的条件期 望，则 ；( r 。y ) = 吉j ：5 = e f ” g ( “，露+ y + p ( ”一z ) ，乏p o t ( 墨，。) ) + 加( 墨1 1 ) 汪，c 东羊；控大学碗士学位沦文 非l i p s c h i t z 条件下b s d e 解的逆比较定理 ( r 一y ) = ；1 r 5 g ( “，y + p ( 曩。一z , p e r ( e 。) ) + 加( 以。) ) ，只 + 暇， 孵。= 吉e f + 5 g “ 露+ y 譬q _ 五：y x ：r , x p 。x 三。= - ：ej + j ：j t i 矗1 t , x 2 j j _ 咖，f 陶向我们可以得到，当s 叶0 + 时，在f 意义下辨。收敛到o ：事实上，由于g 满足条件( 4 ) 则自 啦。冲”厮丽，e 降嗣+ 振矧2d u ，f ， 对上述不等式两端平方，取期望得 驯2 纠兀嗣+ 拓矧w 纠丌啦”咿届2d u 考虑到e ( f “1 1 霉1 1 2 如) c 占2 ，因此我们只需要说明三e f + 。p ( i j ：“1 2 卜 在f 意义下收 敛到0 即可。 事实h ，由于p 函数是非降连续函数，赦有如下不等式成立： 料n ( 妒f 2 p - e s u p ( p 酬2 ) 0 ，使得对于任何个 妒e ( 蛾) “，有 毒e ( f h | 2 出) ； e s u p f ：，招，1 9 勺e ( f 阮 2 广 其中( m ：。) 4 表示满足如下条件的循序可测过程伊所构成的空间， 破d f ( m a 。 山糸科技夫学硕士学位论文 非l i p s c h i t z 条件下b s d e 生成元的唯悄 3 非l i p s c h i t z 条件下b s d e 生成元的唯一性 3 1引言 倒向随机微分方程( b 匠) 的起步较晚t 从最先应用的背景来看，作为生成元的g 总 是被放在一个确定的位置上进行讨论。 1 9 9 7 年p e n g 提出了一。个问题：若两个生成元蜀，g ：满足( t , y ，0 ) ；g ：( ，”0 ) ；0 ， 且。【专】_ 毛，【孝】对每一个平方可积的毒都成立，那么是否成立晶= 9 27 对于这个问题，陈增敬老师在1 9 9 9 年发表的文 3 】中对其作了肯定的回答。 之后，考虑到蹴在经济领域的现实应用中，g ( t ，y ，0 1 ；o 这个条件太强，江龙在 舍弃以上条件并作了一些合理的假设后证明了生成元g 能被与所有终值条件的相应的 b s d e 的初值条件唯一确定。 然而上述结果的取得都是在g 满足l i p s c h i t z 条件下得到的，本部分将证明g 在满足 非l i p s c h i t z 条件( 4 ) 时存在唯一。 首先假定函数g ：q 【o ，r 】r x r 叶r 是麟( 2 ，1 ) 的生成元，对每一对( y ，z ) ， 过程( g ( f ，y ，z ) ) ，。m 循序可测。对于函数g ，除了满足条件( 4 ) 斗( 以) 外，还做如下假设： ( 4 ) ：p - 6 1 7v ( f ，y ) r x r 。g ( t ，0 ，0 ) = 0 ( 以) ：p 一v ( y ，z ) r x r 。t j 占( f ，y ，z ) 在f 【o ，r 】上是连续的，并且在r 处左 连续。 注：假设条件( 4 ) 包含于( 4 ) ，( 4 ) 又包含于( 以) ，而假设( 以) 又包含于( 4 ) 。 假设条件( 4 ) 还等价于如下条件： ( 4 ) g ( ，y ，z l ) = g ( yz l ) = i a g ( yz )v ( y ，z ) r “4 及v a e 掌r 1 6 i u 东科技大学硕士学位论文非l i p s c h i t z 条件下b s d e 生成元的唯一眭 一一 3 2 定义和推论 存接下来的过程中，我们总是假定生成元g 满足( 4 ) 和( 4 ) 。 考虑方程 = 亭+ r e s ，i ，z ，) 出一r 五d 彬o s f 丁 ( 3 1 ) 知道，当终端”= 考给定后，方程在【o ，r 1 上的解( 只) 是唯一确定的，特别的，y 。是一个 确定的值。若生成元g 还满足( 4 ) ，则我们可以给出如下g - 期望定义： 定义3 1 对每一个善e 2 ( q ，辱，p ) ，设( 只) 是【o ，t 】上对应终端所= 毒的解，称儿是r ，v 的g - 期望，记作毛 孝】：= 。 注：条件( 4 ) 保证了上述s 。【毒】的定义不会产生歧义a 事实上，善是日一可测的，对v l r ， 善也是可测的，因此毛 善】也可以定义为“，其中( ) 是【o ，互】对应终端2 眚的解。 但是，根据条件( 4 ) ，当f 【r ，墨】时，= 毒，( z ：= o ) ；当t 【o ，r 】时，只= ( z ，2z ：) 。 特别，y 。= “，所以毛【告】是唯一的。 类似于g 一期望的定义，我们也可以给出条件g - 期望的定义。 定义3 2 任意给定善r ( q ，e ，p ) ，设( 咒) 是【o ，】上对应终端蚪= 孝的解，对每个f t ， 称y ，是善在( 一下的条件g 一期望，记作【 | e 】：= 只。 通过文献【3 8 】知，g 一期望和条件g 一期望在l i p s c h i t z 条件下所具有的性质在非 l i p s c h i t z 条件下依然成立。下面我们将给出b s d e ( 3 1 ) 的几个基本的牲质： 引理3 1 1 8 令g 满足( ) 和( 4 ) ，f 兰t 是一个停时，o f s t 令掌f ( q ，p ) ， 则 ( f ) 毛，； ， 毒5 互 = e g ，【 互】 ( 哪 ， 毛，k 互】 o c g , t 【善互】 。4f te o ，r 】 引理3 2 t ” 令g 满足( 4 ) 和( 4 ) ，且点，岛f ( q ，p ) ， 彖科技太学硕士学位论文 非l i p s c h i t z 条件下b s d e 生成元的唯一心 t ) o i ；。g ：，n s ，则，【茧】， 邑】 ( i i ) 若舌乞，n s ，且尸( 眚 邑) 0 ，则e 盯f 专】 毛， 邑】 3 3生成元唯一性的结果 命题3 3 1 令g ，g ：满足条件( 4 ) ，( 4 ) 和( 文) ，更进一步，我们假设g l , g ：满足假定( i i ，) ： ( h ，) 气，【螽】_ ，f 岛】 v 善f ( q ，鬈，p ) 贝q 对于v ( y ，z 1 r r 。，有 j p 一口j ，v t 【0 ，丁】，g ，( t , y ，z ) = 9 2 ( f ，y ，z ) 定理3 3 1 令两个生成元g ，g ：满足假设条件( 4 ) ，( 4 ) 和( 以) ，贝j j ( h ：) ：对每一个停时 r t ，使得气，【纠= 。，括】，v 善f ( q ，写，p ) 成立的充分必要条件是：对于每一组 ( f ，y ，= ) 【o ，t x r x r 4 ，p d j ，g l ( f ，y ，z ) = g ：( t , y ，z ) 证明：充分性是本文定理的直接推论，故显然成立； 下面我们只需要来证明必要性。 对于艿 o 君l j ( y ，z 1 r x r 。，我们定义如下停时： r a ( x ，y ) ：= i n f t o ；g ，(