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硕士论文 抛物线方程在电磁散射分析中的应用 摘要 电磁计算的数值方法如矩量法( m o m ) ，有限元法( f e m ) ，时域有限差分方法( f d t d ) 可以很好地解决电小尺寸物体的散射，但在计算电大物体的散射时，对计算机的配置要 求过高。而射线跟踪、物理光学等高频近似方法则只能求解电大物体的散射，对中等尺 寸的目标其计算结果误差较大。抛物线方程( p e ：p a r a b o l i ce q u a t i o n ) 方法则是联系这些 方法的一座桥梁，它是波动方程的一种近似形式，假设电磁波能量在沿着抛物线轴向的 锥形区域内传播。 本文对抛物线方程方法进行了初步的研究和计算应用，主要工作包括以下几个方 面： 首先介绍了p e 方法的原理，如二维前向抛物线方程，二维后向抛物线方程，柱坐 标系下的抛物线方程，三维抛物线方程以及矢量抛物线方程。 然后对上述的方法进行数值求解，因为方程是微分形式的，所以我们采用差分方法， 在二维方面，介绍了自由空间的c r a n k - n i c o l s o n 差分格式和p a d 6 ( 1 ，o ) 差分格式。接着介 绍了完全匹配层( p m l ) 的原理，并且推导了在p m l 中的c r a n k - n i c o l s o n 差分格式和 p a d 6 ( 1 ，0 ) 差分格式。对于抛物线方程只在近轴方向小角度范围内准确的特点，我们引入 了旋转抛物线方程方法，利用旋转抛物线轴向，并对入射方向和物体边界条件进行重新 设置，可以计算出各个方向的r c s 。 在三维物体的散射问题上，也推导了其差分格式的公式，主要是p a d 6 ( 1 ，o ) 差分格 式，还给出了p m l 中的差分公式。三维问题的一个显著特点就是未知量很大，在求解 时有一定困难，对此，我们介绍了该大型稀疏矩阵的解法。最后，介绍了d o u b l ep a s s 方法。 在本文的最后，我们还给出了一种将描述目标表面形状的三角面元数据转换为适用 于抛物线方程的立方网格生成技术，利用这种技术，可以很方便地将a n s y s 生成的三角 面元转化为立方网格，不用通过设计图、制造图手工或半手工地去构造模型，减少了工 作量；建模方法和程序均具有通用性，一次编程可完成相应情况的任何建模。 抛物线方程方法是散射目标分析和雷达设计的重要理论依据，对于目标雷达探测和 目标识别都有重要意义。 关键词：抛物线方程方法，电磁散射，完全匹配层，c r a n k - n i c o l s o n ，p a d 6 ( 1 ，o ) ， 旋转抛物线方程方法 硕士论文抛物线方程在电磁散射分析中的应用 a b s t r a c t t h er i g o r o u st e c h n i q u e sl i k et h em e t h o do fm o m e m s ( m o m ) ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) o rt h ef i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( f d t d ) m e t h o dw o r kw e l lf o rs m a l lo b j e c t s ，b u t b e c o m ep r o h i b i t i v e l ye x p e n s i v ei nc o m p u t e rr e s o u r c e s a p p r o x i m a t em e t h o d sb a s e do n r a y - t r a c i n go rp h y s i c a lo p t i c s ( p o ) w h i c ha r eo f t e nu s e df o rl a r g eo b j e c t s ，a r eo n l ye f f e c t i v e f o rr e g u l a r l ys h a p e db o d i e s ，a n dt h ee r r o ri sb i gr e l a t i v e l y t h ep a r a b o l i ce q u a t i o n ( p e ) m e t h o dp r o v i d e sab r i d g eb e t w e e nt h e s et e c h n i q u e s p ei sa l la p p r o x i m a t i o no ft h ew a v e e q u a t i o nw h i c hm o d e l se n e r g yp r o p a g a t i o ni na c o n ec e n t e r e do n ap r e f e r r e dd i r e c t i o n ，w h i c h i sn a m e dt h ep a r a b o l i cd i r e c t i o n t h ea r t i c l em a i n l yf o c u s e so nt h eb a s i cd e r i v a t i o na n da p p l i c a t i o no ft h ep a r a b o l i c e q u a t i o nm e t h o d t h em a i ns t u d i e sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t ，t h ep a r a b o l i ce q u a t i o nt h e o r e t i c sa r ed e d u c e d ，i n c l u d i n g ：t w o d i m e n s i o nf o r w a r d p a r a b o l i ce q u a t i o n ，t w o - d i m e n s i o nb a c k w a r dp a r a b o l i ce q u a t i o n ，t h ep a r a b o l i ce q u a t i o ni nt h e c y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e s ，t h r e e d i m e n s i o ns t a n d a r dp a r a b o l i ce q u a t i o na n dv e c t o rp a r a b o l i c e q u a t i o n f o rs o l v i n gt h ep a r a b o l i ce q u a t i o n ，w eu s et h ed i f f e r e n c em e t h o db e c a u s et h ep a r a b o l i c e q u a t i o ni sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n a sf o rt h es c a t t i n gp r o b l e mo ft h et w o d i m e n s i o no b j e c t ，w e i n t r o d u c et h ec r a n k - n i c o l s o nf o r m u l aa n dt h ep a d d - ( 1 ，0 ) f o r m u l ai nt h ef r e es p a c e t h e nw e g i v et h et h e o r yo fp e r f e c t l ym a t c hl a y e r ( p m l ) ，a n dd e d u c et h ec r a n k n i c o l s o nf o r m u l aa n d t h ep a d d 一( 1 ，o ) f o r m u l ai nt h ep m l w ea l s oi n t r o d u c et h er o t a t i n gp ea l g o r i t h mb e c a u s et h e r e g u l a rp ei se x a c ti nt h es m a l la n g l ea r e a w ec a ng e tt h ea c c u r a t er e s u l ti n t h ew h o l ea r e ab y r o t a t i n gt h ei n c i d e n td i r e c t i o na n dr e s e t t i n gt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so nt h eo b j e c t a sf o rt h et h r e e d i m e n s i o no b j e c t ，t h ep a d d 一( 1 ，o ) f o r m u l a si nt h ef r e es p a c ea n di nt h e p m la r ed e d u c e d ap r o b l e mi nt h et h r e e d i m e n s i o ns c a t t i n gi st h en u m b e ro ft h eu n k n o w n s i sv e r yl a r g e ，w h i c hl e a d st h ed i f f i c u l t yw h e n s o l v i n gt h em a t r i xe q u a t i o n i nt h ed i s s e r t a t i o n ， w ei n t r o d u c et h em e t h o do fs o l v i n gt h el a r g es p a r s em a r x a tt h ee n do ft h ec h a p t e r ，w ea l s o g i v et h ed o u b l ep a s sm e t h o d a tt h ee n do ft h ed i s s e r t a t i o n ，w ei n t r o d u c eam e t h o dw h i c hc a nt r a n s f o r mt h ed a t ao nt h e t r i a n g l eg r i d d i n gt ot h ed a t ao nt h ec u b eg r i d d i n g u s i n gt h em e t h o d ，w ec a ns o l v et h e p r o b l e me x p e d i e n t l y , b e c a u s ew ec a ng e tt h ed a t aw h i c hu s i n gi nt h ep em e t h o da u t o m a t i c a l l y , h a v en ou s eo fh a n d c r a f to rh a l f - h a n d c r a f tc o n s t r u c t i n gt h em o d e l ，a n dw ec a i lr e d u c et h e w o r k l o a da n dc o n s t r u c tt h eu n i v e r s a lm o d e i i i a b s t r a e t 硕士论文 t h ep em e t h o di st h ei m p o r t a n tt h e o r yo ft h ee l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n ga n dt h ed e s i g n o ft h er a d a r , w h i c hh a v et h em a g n i t u d es e n s ei nt h er a d a re x p l o r ea n dt h eo b j e c ti d e n t i f y k e yw o r d ：p a r a b o l i ce q u a t i o nm e t h o d ，e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g ，p m l ， c r a n k - n i c o l s o n ，p a d d - ( 1 ，0 ) ，r o t a t i n gp ea l g o r i t h m i v 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：年月日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：年月日 硕士论文抛物线方程在电磁散射分析中的应用 1 绪论 1 1 研究背景 使用计算机数值仿真来解决科学及工程问题是在二战后随着电子计算机的发展而 开始出现的。计算机仿真技术，就是首先根据所研究问题的控制方程建立相应的数学模 型，在模型确定之后，选择相应的算法并在计算机上实现。计算机仿真最早的应用见于 1 9 5 2 年，当时被用于天气预报并取得了很大的成功。从此以后，计算机数值算法得到了 迅猛的发展，出现了越来越多的数值仿真方法并涉及到各种不同的领域，例如流体动力 学、物理、化学、天文、电磁学等等。伴随着数值仿真技术的发展产生了许多新的学科 方向。计算电磁学就是以电磁理论为基础，以高性能计算机为辅助工具，结合高效的数 值算法而诞生的一门解决复杂电磁场与微波工程问题的新学科。随着科学的发展，数值 仿真技术在工程应用中占有越来越重要的地位，并且不断有新的数值算法产生。现代科 学研究的基本模式是“科学实验、理论分析、高性能计算 三位一体。在当今社会，数 值算法已经成为开发新产品、新设备，解决工程问题、推动科学发展与社会进步的重要 手段，它同理论与实验共同构成了当代科学研究的支柱。 在国际高技术竞争日益激烈的今天，高性能计算技术已经成为体现一个国家经济、 科学和国防实力的重要标志，成为解决挑战性课题的一个根本途径。目前，在全球范围 展开的高性能计算技术的竞争已呈白热化态势。高性能计算技术由硬件和软件两个部分 组成。 在硬件方面，以计算技术开发领先的美国为例，为了保持其在世界上的领先地位， 它早在1 9 9 1 年就由国会通过了高性能计算和通信( h p c c ) ，而后，美国国家科学基金会、 能源部、国防部、教育部、卫生部、航空航天管理局、国家安全局、环境保护局、海洋 大气管理局陆续参与了这一计划。追求更快的运算速度、更大容量的内存是高性能计算 机努力追求的方向。随着单处理机的速度越来越趋近物理极限，高性能计算机必须走大 规模并行处理之路，大规模并行处理的突破口是并行计算机模型。此外，基于一些新材 料、新工艺的新型计算机，如光互连技术、超导体计算机、量子计算机和分子计算机等 的研究也在持续升温。 在软件方面，其核心是算法，这是计算机的灵魂。对于一个给定的计算机系统而言， 其解决问题的能力和工作效率是由算法来决定的。目前计算机所做的信息处理大致分为 一般问题和难解问题。对于一般问题，人们可以找到有效算法使计算机在能够为人接受 的时间和空间内解决这些问题；对于难解问题，人们就很难找到快速有效算法。当问题 规模增大时，计算机的计算量有可能呈指数型地成百倍、成千倍增长，最终在时间和空 间上超出计算机的实际计算能力。几十年来，计算机理论学者和算法专家一直在致力于 l 1 绪论硕士论文 寻找针对一般问题的实时高性能算法和针对大规模难解问题的快速算法。 然而对于提高计算能力来说，数值算法的计算效率的提高比硬件性能的提高更为重 要。因此自从上世纪5 0 年代以来一直到目前为止，计算方法的研究都非常活跃，并出 现了一系列的数值仿真方法。主要包括偏微分类方法如有限元法、有限差分法；积分类 方法如矩量法、边界元法；以及其它如模匹配方法、射线类方法等等。各种方法都具有 自身的特点和局限性【l j 。 电磁计算的数值方法如矩量法( m o m ) ，有限元法( f e m ) ，时域有限差分方法( f d t d ) 可以很好地解决电小尺寸物体的散射，但在计算电大物体的散射时，对计算机的配置要 求过高。近似方法如射线跟踪、物理光学等高频方法则只能求解规则形状的电大物体的 散射。迭代推进方法是用于求解目标散射问题的一种比较新型的方法，世界上许多国家 主要在空间场的迭代递推、电流的迭代递推和时域场的迭代递推等方面做了大量的研究 并取得一定的研究成果。抛物线方程( p e ：p a r a b o l i ce q u a t i o n ) 方法属于迭代推进方法， 它是波动方程的一种近似形式，假设电磁波能量在沿着抛物线轴向的锥形区域内传播。 抛物线方程方法为求解电磁散射提供了一种准确、高效的计算方法，它的主要缺陷是只 能对抛物线方向近轴区域内的电磁散射进行快速、准确地计算，不过这种限制可以通过 旋转抛物线轴向来克服，主要思想是抛物线的轴向不受入射场方向的限制，使抛物线的 轴向围绕散射目标旋转来计算目标任意方向的散射场。抛物线方程方法已成功用于计算 大型建筑物的散射和空中、海洋中大型目标的电磁计算，但是该方法对于计算电小尺寸 目标的散射时还存在着缺陷，同时不适合用于计算腔体或凹面体的散射，主要因为在这 些目标表面散射场在传播方向上有大的变化。 1 2 研究的发展状况 抛物线方程方法初期主要用来处理比较复杂的声波的传播问题和光学等方面的问 题。该方法首先是由l e n o n t o v i c h 在1 9 4 6 年提出。随后，m a l y u z h i n e r s 将p e 方法和几何光 学法结合，提出了一种关于障碍物绕射的理论；h a r d i n 提出了分裂步傅立叶方法，用来 解决水下声波的传播问题；c l a e r b o u t 引入了有限差分，将p e 方法应用于地球物理学，它 对长距离声波在海洋中的传播和地震波传播的计算和研究提供了一种有效、准确的方 法。近年来，国内外学者开始将抛物线方程方法应用于处理电磁散射问题该算法把波 动方程简化为抛物线方程，将散射目标等效为一系列的面元或线元，然后通过散射体上 的边界条件和场的空间递推方式求解抛物线方程，把三维问题转化为一系列的二维问题 来计算，通过近场远场转换得到远区散射场，进而计算目标的双站r c s 。p e 方法在 数值方法和解析方法之间架起了一座桥梁。数值方法如矩量法( m o m ) ，f d t d 给出了 m x a w e l l 方程的精确解；解析方法则基于射线理论或物理光学理论。 2 硕士论文抛物线方程在电磁散射分析中的应用 1 3 本文的结构和安排 本论文正文分为六章，具体安排如下： 第二章详细介绍了p e 方法的原理，如二维前向抛物线方程，二维后向抛物线方程， 柱坐标系下的抛物线方程，三维抛物线方程以及矢量抛物线方程。 第三章详细介绍了二维抛物线方程数值解法，包括自由空间的c r a n k - n i c o l s o n 差分 格式和p a d 6 ( 1 ，o ) 差分格式。还有完全匹配层( p m l ) 的原理，推导了在p m l 中的 c r a n k - n i c o l s o n 差分格式和p a d 6 ( 1 ，0 ) 差分格式。对于抛物线方程只在近轴方向小角度范 围内准确的特点，我们引入了旋转抛物线方程方法，利用旋转抛物线轴向，并对入射方 向和物体边界条件进行重新设置，可以计算出各个方向的r c s ，后面给出了算例。 第四章研究三维物体的散射问题，也推导了其差分格式的公式，主要是p a d 6 ( 1 ，0 ) 差分格式，还给出了p m l 中的差分公式。由于三维问题中未知量的个数很多，在此介 绍了该大型稀疏矩阵的解法，以及d o u b l ep a s s 方法。 第五章给出了一种由三角面元数据转换为抛物线方程所需要的立方网格数据的方 法，利用这种技术，可以很方便地将a n s y s 生成的三角面元转化为立方网格，不用通过 设计图、制造图手工或半手工地去构造模型，减少了工作量；建模方法和程序均具有通 用性，一次编程可完成相应情况的任何建模。 第六章总结和回顾了本文的工作，指出了值得进一步研究的内容，提出了下一步努 力的方向。 2 抛物线方程的基本原理硕士论文 2 抛物线方程的基本原理 2 1 二阶线形方程的分类 仕傲分刀程甲，我1 j j 日j 以记一黝r 线肜7 = 5 程分力椭圆型万程，狱凹型刀程，琚匆线型 方程，超双曲型方程和广义抛物线型方程几类。 椭圆型方程：形女口鲁甜l l a 萨2 u + 雾+ 害) + 旭y 删，其中厂( x , y , z , t ) 为已知 函数，甜与边值条件和时间都无关，例如三维p 。i s s 。n 方程鲁+ 鲁+ 鲁：一掣 幽咖比a 和l a p l a c e 方程窘+ 窘+ 鲁= 。都属于椭圆型方程。 双曲型方程：我们常见的电磁场中的波动方程警+ 害+ 警一警= 。就是典 型的双曲型方程。 抛物线型方程物理学中的热传导方程鲁汤kl ( 酽a 2 u 芬+ 窘心就是一种抛 物线型方程，其中，k 为常数，c = c ( x ，y ，z ) 为物体的比热，p = p ( x ，y ，z ) 为物体的密度 f = f ( w ，z ，) 为热源强度。若设“= ( 窘+ 雾+ 窘) ，厂= 石f ，口2 = 万k ，则方程可化 简为詈= a 2 a u + 厂。 招如曲型责程和广鼙抛物烤型青程存赢田卜船柏罕丽，在i 不错介绍 2 2 抛物线方程方法概述 抛物线方程( p e ) 是一种沿指定方向即抛物线方向的波动方程的近似形式，假设能量 沿抛物线方向的锥形区域内传播，抛物线方程的近似形式最初由l e o n t o v i c h 和f o c k 在 1 9 4 0 年提出并用于处理围绕地球的电磁波的绕射问题，经过多年的发展和随着计算机的 出现，抛物线方程在电磁计算领域得到越来越广泛的应用。h a r d i n 和t a p p e r t 将快速迭代 方法( s p l i t s t e p ) 和傅立叶变换( f o u r i e r ) 引入到抛物线方程方法中，e l a e r b o u t 发展了有限差 分法与抛物线结合研究地球物理方面的应用，同时大量科研工作者在广泛用此方法研究 水中声波的传播问题中都取得了良好的结果【2 】。 4 碰论文抛物缱方程在电磁散射分折中的应用 抛物线方程方法初期主要用来处理比较复杂的声波的传播问题和光学等方面的问 题。p e 方法曾经广泛用于计算各种波的传播问题，它对长距离声波在海洋中的传播和地 震波传播的计算和研究提供了一种有效、准确的方法。近些年来，研究人员发现p e 方法 也可应用于散射问题。p e 方法在数值方法和解析方法之间架起了一座桥梁。数值方法如 矩量法( m o m ) ，f d t d 给出t m a x w e l l 方程的精确解；解析方法则基于射线理论或物理光 学理论。 本论文中用抛物线方程方法计算目标的电磁散射问题，特别用于计算电太尺寸目标 的散射时发现抛物线方程方法与以往的电磁计算方法相比具有快速、准确的特点。此方 法主要用于求解目标在二维和三维坐标下的抛物线形式的波动方程，利用散射体表面的 边界条件，通过旋转抛物线方程方法可以求得各个方向的散射场。 2 3 二维标量抛物线方程 在均匀的传播媒质中，假设有以e x p 一姒) 变化的时谐场，在坐标系( ，z ) 下，对 于二维问题，考虑场量矿与坐标y 无关，所有场都可以分解成水平极化和垂直极化波， 则有二维波动方程如f 所示口i ： 害+ 警“删 ( 2 1 ) 当入射波是水平极化时，矿取，当入射波是垂直极化时，p 取h ，t 为波数- 接下来选取适当的区域，并选取适当的边界条件作为此区域的截断边界。常用的方法是 把空气和大地的分界面作为底部边界条件而将项部边界扩展到无限远处。问题的焦点 取在能量沿一定方向传播的根小的角度上称为抛物线近轴方向。通常情况下选取j 轴 正方向为抛物线的近轴方向。如图2 1 所示： 图2 】能量沿抛物线轴向传播示意圈 2 抛物线方程的基本原理硕士论文 定义辅助函数： u ( x ，z ) = 2 一v ( x ，z )( 2 2 ) 假设与水平面以口角方向传播的场量在二维坐标系中表示如下： y ( x ，z ) = e x p ( i k x c o s a + i k z s i n a ) ( 2 3 ) 对应的辅助函数为： u ( x ，z ) = e x p ( i k x ( c o s a 一1 ) + i k z s i n a )( 2 4 ) 则标量波动方程可表示为： 石0 2 u + 2 i ka 刍u + 石0 2 u ：0 (25)a 舐2知 z 2 、7 定义微分算子q ： q = 古等+ ( 2 6 ) 可将式( 2 5 ) 分解为： ( 丢撇。一压司( 昙撇o + 拒牡。 ， 所以，波动方程分解为前向和后向的两个抛物线方程： o ? u = - i k ( 1 - ( 2 8 ) 罢= 一腩d + 拒y 对于波动方程( 2 5 ) 此即相当于将其变化为下式，其中u + 为前向波函数分量，u 一为后 向波函数分鼍： 甜= u + 甜一 警= 一砘d 一压只 ( 2 9 ) 芸= 一谤d + 厄y 一 2 3 1 前向抛物线方程算法 对于只考虑前向的散射问题，只用到前向的抛物线形式的波动方程： 罢= 一珐l 一压：材 ( 2 1 0 ) o x 其解用下式给出： 6 硕士论文 抛物线方程在电磁敏射分析中的应用 甜( x + a x ，z ) = p 髓缸t 如“o ，z )( 2 1 1 ) 我们可以得出一个结论：任何一个面上的散射场可以由前一个面上的散射场的值递 推得到，如图2 2 所示： z ( a ) 图2 2 步进迭代计算示意图 下面处理虿，当( q 一1 ) 专。时，采用泰勒级数，有： 压= 历小譬一业8 + 薹卜广等纠 ；l 小譬 ( 2 1 2 ) 将式( 2 1 2 ) ，式( 2 6 ) 代x a ( 2 。1 0 ) 得标准抛物线方程( s p e ) ： 塑+ 2 i ka u ：0 玉2苏 注意到式( 2 1 2 触略的第三项华为 而 所以， 一1 ) 2 1f ，1 a 2 “、2 一= ：一_ 一一l 8s l , k ：8 1 軎= e x p ( i 缸( e o s a - 1 ) 吡s i n 口y ( f k s i n a ) 2 业8 ：丽1 ( e x p ( f 叔( c o s a - 1 肭s i n 口方嗽灿口 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 2 抛物线方程的基本原理硕士论文 图2 3s i n 4 口与角度的关系 因为根式的泰勒级数展开中忽略的项与s i n 4 口成正比，如图2 3 所示，这样由此产 生的误差由1 度时的l o 7 ，到达l o 度时的1 0 - 3 ，到2 0 度时误差到达1 0 - 2 ，所以标准抛 物线方程方法只是一种沿传播方向的小角度近似方法，这种方法只有在抛物线方向1 5 度范围内近似比较准确，但在计算凹面体或腔体目标时此种方法误差较大，主要原因是 凹面体或腔体内的每一点散射场的多重散射的相互影响，致使用抛物线方程的迭代递推 方法失效【4 】。 另外，需要注意的是，用该方法求解电小尺寸目标的散射结果误差较大，主要原因 是抛物线方程方法没有考虑散射体表面上爬行波的影响，所以此方法比较适合于计算电 大尺寸目标的散射，并不适合于电小尺寸目标，如图2 4 所示，当一个导体圆柱的直径 与入射波波长相比很小时，在圆柱表面会出现爬行波，在这种情况下，抛物线方程得出 的结果是不精确的。 硕士论文 抛物线方程在电磁散射分析中的应用 表面爬行波 一- - - - - - d 旯 图2 4 当圆柱直径小于波长时存在表画爬行波 2 3 2 后向抛物线方程算法 对于后向的散射问题，要用到后向的抛物线形式的波动方程： 罢= 一讯1 + 压：“ ( 2 1 7 ) o 。 与前向抛物线方程推导方法类似，可得后i 甸s p e ： 粤一2 i ko ，u + 4 忌2 u = o ( 2 1 8 ) a z 2缸 、 2 3 3 柱坐标系下的标量p e 算法 对于某些电磁散射和电波传播问题，在圆柱坐标系( p ，0 ，z ) 下进行计算则更为方便。 设电磁场量为y ，则y 满足柱坐标系下的标量波动方程5 1 ： 害+ 土篓+ 孚棵y ：o ( 2 1 9 ) 8 矿pa p 8zz| 、 定义波函数为： u ( p ，z ) = 雁- k p v ( p ，z ) ( 2 2 0 ) 则函数u ( p ，z ) 满足下式： 害秘七嚣+ 等一古甜 亿2 ， 8 p 1a pa p l 4 p 。 、 一 对上式进行坐标变化，令善= k p ，f = k z ，上式变为： 骞秘嘉+ 等一专缸 2 ， a 盖ia 量a 24 善2 、 在远场近似的条件下( k p 1 ) ，我们得到与c a n e s i a l l 坐标系下相同的方程式( 2 5 ) ， 9 2 抛物线方程的基本原理 硕士论文 强卜采明工作与丽向的推导过程荚似。 2 4 三维标量抛物线方程 首先，我们给出三维标量波动方程： 害+ 雾+ 鲁榭5 c ，：o ( 2 2 3 ) 苏2 。加2 。瑟2 一。y 。 卜“。7 取x 轴方向为抛物线的轴方向，定义沿x 方向传播的波函数： u ( x ，y ，z ) = p 一触y ( x ，y ，z )( 2 2 4 ) 将式( 2 2 4 ) 带入式( 2 2 3 ) ，可得： 窘铋露罢+ 矿0 2 u + 百0 2 u 0 z = 。 ( 2 2 5 ) 缸2苏西2 27 可将其分解为： ( 昙州一扼 ) ( 昙枞d + 扼归。 亿2 6 ， 其中微分算子q 为： q = 乒1 萨0 2 + 万1 万0 2 + 1 ( 2 2 7 ) 我们只取前向抛物线形式，并利用q 的泰勒展开式，可得小角度抛物线方程： 罢竺2 以等专沣 缸 l 七2l 砂2 。如2 j “ 一7 在真空中，方程( 2 2 8 ) 臣p 标准的抛物线方程( s p e ) ： 罢( 导- 4 - 2 k卦 一= 一l 一一l ， i ，v l 舐 砂2 如2 厂 p 7 2 5 矢量抛物线方程 标量抛物线方程只能反映电磁场的某一个分量在空间中的传播特性，矢量抛物线则 是一个方程组，电场的3 个分量的标量抛物线方程就构成一个电场的矢量抛物线方程， 磁场也是如此【6 l 。 电磁场的电场和磁场矢量可以表示为： 层2 ( t 岛，丘： ( 2 3 0 ) h 2 蝉。，h ，h2 ) 1 0 硕士论文 抛物线方程在电磁散射分析中的应用 根据时谐麦克斯韦方程： v e = i ( o l z o h v h = 一i o ) 占o e v e = 0 v h = 0 又根据矢量波动方程 v 2 + 孟2 e = 0 2h + k 2h = 0 入射场冒，散射场五和总场岔之间满足关系 e s = e e t h | = h h 这里我们假设沙= e ( 水平极化) ，定义对应场量沿x 轴方向传播波函数 l i s ：e 一触e s 可得任意分量的标量抛物线方程： ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 波警力= o 腩等力= 。 ( 2 3 5 ) 汝等力= o 对于三维情况下散射场的边界条件 旷( 尸) = 一e 一妇e ( p )( 2 3 6 ) 其中p 为散射体表面上的点，矗= 以，i z ，、为p 点的法线方向，在完全纯导体的表面 上切向的电场分量为0 ，电场平行于法线方向，由刀e = 0 ，即 n ( p ) xe 5 ( 尸) = 一n ( p ) xe ( p )( 2 3 7 ) i 仇e ，( p ) 一刀，e x ( p ) = 0 馋e zp ) 一他eo ) = 0( 2 3 8 ) l n y e zq ) 一吃bq ) = 0 弘 弘 弘 o o o 翻可塑劳啦可 y y 少 o o o 杈一妒杈一驴啦一矿 2 抛物线方程的基本原理硕士论文 以上3 个方程不是独立的，要想求解还必须加上散度方程 v e 5 = 0 堡+ 笪+ 笙：o ( 2 4 0 ) 瓠 耐 a z 将对应的抛物线方程代入上式后三维坐标下的散度方程变为： 去( 等+ 等 + 州+ 等+ 警= 。 叫， 对于边界上的p 点，有 去( 等盼等p ) 州盼- - 等c ) + 警阶。 亿4 2 ， 矢量抛物线方法充分考虑了极化的影响，将对波动方程的求解转换成对抛物线形式 的波动方程的求解，结合适当的边界条件，利用小角度矢量抛物线的形式，每个矢量抛 物线方程计算出沿抛物线方向轴向大小不超过1 5 度的锥形的范围内的散射场，通过旋 转抛物线的方向来计算任意方向的散射场，然后通过近场远场转换求得远区的散射场。 用抛物线方程可以将麦克斯韦方程中对抛物线方向距离的偏导转化为横截面内对 y 轴向和z 轴向距离的偏导，从而对散射场三维问题的求解转化为对二维问题的求解， 简化了波动方程的同时使矩阵的计算简化从而大大提高了计算的速度。 功 3 q 骖汾 p p印 p e e 髟 b 吃 一 一 一 p p p q p p罡e 以 m。吩。 o o o 触 觑 船 一 一 一 = = = p p pp p 矿。 驴。矿， b 吃 办q 驴p 驴， 妒； 驴； 即 致 b 硕士论文抛物线方程在电磁散射分析中的应用 3 基于抛物线方程的二维散射问题 3 1c r a n k - n i c o l s o n 差分格式 3 1 ic r a n k n i c o l s o n 有限差分方法 我们可以用完全匹配层截断计算区域，在此区域内用c r a n k - n i c o l s o n 方法，如图3 1 所剥7 】： 强1 ： ( p 乃：己，乃： 吒 ，z _ ，一1 ： o ，z 乙 、。 在扩展的坐标系中，抛物线方程可写为： 窘+ 2 f 嗉“一1 弘= o ( 3 3 4 ) 在z 时，方程的解与自由空间抛物线方程的解一致。在z z b 时，方程的解呈衰 减形式。 若有一个前向的单位振幅平面波，入射角为0 ，在p m l 媒质中，解的形式为 啦z ) e x p 卜主s i n 2 ( 9 - 觚m 叫e x p 4 - k s i n 9 r 仃够黟 ( 3 3 5 ) 需要注意的u ( x ，z ) 并不是抛物线波动方程在大于z b 区域的解，而是抛物线方程在扩 展坐标系中关于高度z 的实部的解。我们用新的方程代替了原始方程，同时保证了在乙以 内的解不变，而大于元时解迅速衰减。 3 1 4 完全匹配层中的c r a n k - n i c o l s o n 差分格式 在扩展坐标系中，将式( 3 3 2 ) 代入式( 3 3 4 ) ，抛物线方程可写为： 熹昙(南卦2撬oul i o ( z ) 1 缸= o ( 3 3 6 ) 一 瑟i 一打p ) 龙j 缸 、 其中 t r ( z ) = a o ( z 8 ) 2 = 丢旁宰- 。g ( 去) ，刁= 2 。万，r = 。，。，。4 3 3 7 化简式( 3 3 6 ) ，有 l _ i ；( z ) ( o ( 1 1 1o u - + 南卦2 磕知 3 8 ， 1 - 历1 r ( z ) 卜面丽1 午呻g ” 瓦o u + 南器卜七瓦o u 州3 ， 函l l 、，一i 丙吼2 吾净南卦2 嗉= 。 b 4 。， 函，一丽即否否西+