（应用数学专业论文）c1随机扩张映射hausdorff维数的估计.pdf

g 1 随机扩张映射h a u s d o r f f 维数的估计 摘要 摘要 本文我们考虑随机动力系统令( q ，厂，p ，口) 为完备的概率空间，m 为i n 维的紧 致光滑p d e m a n n 流形 我们首先给出c 1 扩张映射，：m _ m 上不变集a 的h a u s d o r f f 维数( 记d i m h a ) 的上下界得到d i m n a 的上界是方程 p ( f a ，一口1 0 9m ( 见，) ) = 0 的根然后利用b r i n - k a t o k 局部熵公式，得到遍历不变测度的h a u s d o r f f 维数的下界 利用这个结果，我们得到d i m h a 的下界是方程 p ( l h ，一口1 0 90 见州) = o 的根由a 的不变性，考虑迭代系统，得到 拥以藏忑竹l _ 。7 最后，我们将这一结果推广到扰动的g 1 随机扩张映射，：q m q m 上，并 得到类似的结果 关键词：h a u s d o r f f 维数，拓扑压，扰动，b r i n - k a t o k 局部熵 作者。马强 导师，曹永罗( 教授) e s t i m a t i o n so fh a u s d o r f fd i m e n s i o nf o rc lr a n d o me x p a n d i n gm a p a b s t r a c t t h ee s t i m a t i o n so fh a u s d o r f fd i m e n s i o n f o rc 1r a n d o me x p a n d i n gm a p a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rr a n d o md y n a m i c a ls y s t e m l e t ( q ，歹，p ，口) b ec o m p l e t ep r o b e r b i l i t ys p a c ea n dmb ec o m p a c ts m o o t hr i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hd i m e n s i o nm f i r s t ，w eg i v eu p p e ra n dl o w e rb o u n d so fh a u s d o r f fd i m e n s i o no fi n v a r i a n ts e ta ( d e n o t e dd i m n a ) f o rc 1e x p a n d i n gm a p ，：m _ m w eo b t a i nt h eu p p e rb o u n do fd i r n h a i st h er o o to fe q u a t i o n p ( f a ，- al o g 仇( p 。，) ) = 0 t h e nw eu s et h ef o r m u l ao fb r i n - k a t o kl o c a le n t r o p yt oo b t a i nt h el o w e rb o u n do fh a u s d o r f f d i m e n s i o no fe r g o d i ci n v a r i a n tm e a s u r e u s i n gt h i sr e s u l t ，w eo b t a i nt h el o w e rb o u n do f d i r n h ai st h er o o to fe q u a t i o n p ( f l a ，- - 5l o gi l 仇刘) = 0 f o rt h ei n v a r i a n c eo fa ，w ec o n s i d e rt h ei t e r a t e ds y s t e ma n dg e t 以戛lira穗00 ，：苎1 0 窟上，卫r ”d “ ，n _ f i n a l l y , w eg e n e r a l i z et h e s er e s u l t st ot h ep e r t u b a t i o no fg 1r a n d o me x p a n d i n gm a p f ：q m _ q ma n do b t a i nt h es i m i l a rr e s u l t s k e y w o r d s ：h a u s d o r f fd i m e n s i o n ，t o p o l o g i c a lp r e s s u r e ，p e r t u b a t i o n ，b r i n - k a t o kl o c a le n t r o p y i i w r i t t e nb ym aq i a n g s u p e r v i s e db yp r c a oy o n g l u o 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：乌 主益e l 期：竺2 ：。 一 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：a 拯日期：垒2 ：c 一 名：辑 c 1 随机扩张映射h a u s d o r f f 维数的估计第一章引言 第一章引言 h a u s d o r f f 维数，熵l y a p u n o v 指数和拓扑压是动力系统中的重要概念，经常用 来刻画系统的复杂性近年来对维数和拓扑压的关系引起人们的极大兴趣拓扑压可 能比其它动力系统量能够更好地估计不变集的维数b o w e n 1 】第个得到不变集的维 数是个包含拓扑压的方程的根r u e l l e 2 l 重新定义了b o w e n 的方法，得到以下结果： 假定，是c 1 + q 的共性扩张映射，a 是孤立的紧致不变集，且，1 人是拓扑混合的， 那么a 的h a u s d o r i f 维数是方程 p ( i a ，- a l o gi i 现川) = 0 的根其中p ( f l a ，) 是压泛函 近来光滑性c 1 + a 可以减弱为d 1 张【1 l 】用特征根的方法得到c 1 扩张映射排斥子 的h a u s d o r f f 维数的上界是压泛函方程 p ( f l a ，一矿( ，) ) = 0 的根本文用小模定义扩张性得到不变集a 的h a u s d o r f f 维数的上、下界分别是方程 p ( i a ，- al o gm ( d z ，) ) = 0 和 p ( f l a ，一al o gi i d 。j i ) = 0 的根，并将其推广到c 1 随机扰动的系统 我们考虑抽象动力系统( q ，厂，p ，口) 上的随机动力系统，其中，( q ，厂，p ) 是完备的 概率空间，口：qhq 是保测的遍历可逆变换对映射族，= 丸：mhm 为c 1 ) ，假 设( u ，z ) h 九z 是可测的这就决定了一个可微的动力系统船：= 如一to o 厶 m z + ) 更精确地，我们有斜积形式， f ：q mhq m 0 ，z ) h ( 口) ，丘z ) 其中，m 为紧致光滑的r i e m a n n 流形，d i m m = m 进一步，令acq m 为可测集，且使得所有的纤维虬= ( z m ：( u ，。) a ) 是 紧致的用咒表示m 上所有紧子集组成的集合，并对它赋予h a u s d o r f f 拓扑等价地 说u 一儿是可测的我们h 称为q 上的紧丛 称a 为f 不变的，如果厶虬= a 口) ，p 一口e u ，l a 称为丛动力系统用d i m h h , , , 表示虬的h a u s d o r f f 维数，由文献【1 】知uhd i r a h a o jp n s 为常数，记为d i m h a c 1 随机扩张映射h a u s d o r f f 维数的估计第一章引言 确定性系统，：mhm 为c 1 扩张映射，即存在a l ，使得任意z m ，有 m ( d 霉i ) a ，其中m ( a ) = 悄1 | i - 1 ，j i 0 为t m 上由r i e m a n n 度量产生的范数， acm 为，的不变集 本文我们考虑，为c 1 随机扩张映射，假定对任意的u ，丸作为，的个扰动显 然，存在u ( f ) cd i f f l ( m ) ，使得对任意的“，允e u ( f ) 且对任意z m ，m ( 仇丸) 学 令l 夫( q ，c ( m ) ) = 妒：q m _ q m ：对任意的u q ，：虬ha a ( u ) 连续，且 朋厶| j d p ( w ) 0 ，存在p ( e ) 0 ，使得 l e 磊m 丽( d x f ) 1 + ，b ( z ，p ( e ) ) ( 1 ) 卜 0 ，使得任意p 0 , p 0 和m 上的测度p ： 定义2 2 令 聊她r 俘r ； l u jb ( z j , r i ) dy , x je y , r j p ) ， 则定义y 的a 一维觑l 如形测度为， 日a ( y ) 5 磐鄙( y ) ， 3 c 1 随机扩张映射h a u s d o r i t 维数的估计第二章确定系统h u u s d o r f f 维数的估计 并定义y 的h a u s d o r f f 维数定义为； d i m h y ：= i n f a 【o ，- q ：日口( y ) = o ) 定义2 3 令p 为m 上b o r e l 有限测度，它的h a u s d o r f f 维数定义为： d i m h # ：= i n f d i m h z ：p ( z ) = 1 ) 记m ( f l a ) 为a 上所有不变测度的集合，e ( f l a ) 为a 上所有遍历测度的集合 显然，由上面的定义可知，对任意p m ( f l a ) ，有d i m h a d i m 日p 引理2 1对任意的z a ，0 d ( f 七z ，f 七可) = 岛，d l ， ，一七r = i d j l l ( f 一七r ) i d ，七i i i 一可0 m ( 域，七) 忙一训 i i m ( d ，t e f ) l l x 一圳 i = o k - i 兀m ( d l t $ f ) 气可 训 其中r 为m 上连接，七z 与，鼍秽的最短的截线，毒b n ( x ，r ) 所以 i x - - y i i 0 满足( 1 + e ) d 0 ，使得( 1 ) 式成立由，的扩张性，可取充分 小的p p ( ) 使得， 一2 t = p l ( 回= l i m s u p 丢l o g q ( 一d l o g m ( 仇，) ，他，力 因而存在足够大的n o z + ，使得当n n o 时，有 q ( - d l o gm ( d = ，) ，力 e x p ( 一m ， 从而存在最大( n ，p ) 分离集e = q ) ca ，使得 和 也即 acub n ( x j ，l p ) ， z j e e 霉墨e x pf。n-1-dlogmfxjf)exp d l o g m ( o f t feei = 0) e x p 一位) ， e ) 【p 一位) ， 霉ilj 石广_ j 一 e x p - m 町e 旦【m ( d ，t 。，) 1 4 由于a 是紧的，从而e 为有限集故令j = z m j e a x e ( 屯 ，则 6 也煮# _ 0 ，( n _ o o ) 所以 acu 玩( 叼，l p ) cub ( 巧，如) 5 c 1 随机扩张映射h a u s d o r f f 维数的估计第二章确定系统h a u s d o r f f 维数的估计 由h a u s d o r f f 维数的定义知 其中 因而 所以 由d 的任意性，知 2 2下界估计 日2 ( a ) 疃 z j b ：p a ( 1 + ( 州要型 勺印nm ( d ，t 彩，) d l = u p d m d 【掣r 1 川( n _ ) m ：s u p 眈i i 0 0 霉m 日d ( a ) = 0 ， d d i m n a d i m n a d t 口 本节我们主要证明a 的h a u s d o r f f 维数下界是方程p f f l a ，- a l o g0 见州) = 0 的根 首先我们来看几个引理。 引理2 2 对任意的z a ，0 0 ，使 得比( $ ) d ，p a e z ，则 d i m h # d y o u n g 定理给我们提供了解决问题的一个思路如果找到满足该条件的a 上的不 变测度p 和常数d 的话，就可以估计a 的h a u s d o r f f 维数的下界 令知表示方程p ( f a ，一a u d 霉f t ) = o 的零点 定理2 2d i m h a 伽 7 c 1 随机扩张映射h a u s d o r f f 维数的估计g ：- 章确定系统h a u s d o r f f 维数的估计 证 由引理2 2 可知 6 = 裂 堂兰蟛_ o ，m _ o o ) h1 1 0 f k 州 i = 0 考虑弘m ( i i a ) 。当n 充分大时， 警 l 0 9 6 一 l o gp ( b n ( z ，r ) ) - - n - - n l o g6 令扎_ ，r 一0 ，由b r i n - k a t o k 局部熵定理及b i r k h o f f 遍历定理知， d 肛( z ) h a y ，茁) 页j t 研，p o e 茁 其中 ( z ) = 一l i m 1 0 9 慨霉州毗 若p 是遍历的，则对p a e 茁，有 ( ，z ) = ( ，) ， 和 a p ( z ) = fl o gi i d o ，l id p 由引理2 4 可知 d i m h p 警， 其中 a p = f l o g0 k ，i id p 又由于，是扩张映射，则p ( f l a ，一a ol o gi | 见川) 存在平衡态p ，也即存在遍历的平衡态 矿e ( f l a ) ，使得 0 = p ( f i a ，一n ol o g0 d 霉，0 ) = ( ，) 一n o 厂l o g0 d z ，i | d p 。 所以 h 芷( ，) 伽2 芾， 从而 d i r n n l 比o o 由测度维数的定义可知 d i m n a d i m n l 比+ o t o 口 由i ( a ) = a ，可知对任意的m z + 有，m ( a ) = a ，故可以考虑迭代系统来讨论维数 的下界首先给出一个引理： 8 掣 州一 c 1 随机扩张映射h a u s d o r f f 维数的估计 第二章确定系统h a u s d o r f f 维数的估计 引理2 5 对任意a 上，的遍历测度p ，构造旷满足： ( a ) p = 去肛。+ 丢，p + ； ( 6 )p + e ( 2 i a ) ； ( c ) d i m h # d i m h # + ； ( d ) 旷( ，2 ) 22 ( ，) 证 ( a ) 若p 是，2 遍历的，则旷三p 若p 不是，2 遍历的，则存在ee b ( m ) ，使得 f - 2 e = e ，且0 u ( e ) 1 由于 1 - 1 ( e n y - i e ) = e n - i e ，一1 ( e u f - 1 e ) = e u ，e ， 且p 是，遍历的，则有 p ( e n f - 1 e ) = 0 及 p ( e u f - 1 e ) = 1 又p ( e ) = p ( ，一1 刀) ，则 定义： 则 p ( e ) = p ( 厂1 e ) = 互1 矿( a ) = 喂铲， va e b ( m ) m 班警= 帮。 则 删+ ，删= 世盟铲= 船锄( 以 由a 的任意性可知， 丢p + 丢，p + = p 五p 。+ j r 。p 2 p ( b ) 由( a ) 可知 扩m 俨眢= 等铲= 眢叫c 舢 从而旷是f 2 的不变测度 断言t矿是，2 遍历的 我们用反证法来证明，如果存在ae b ( m ) ，使得f - 2 a = a ，且0 旷似) 1 则 i - 2 n e ) = a f l e 9 c 1 随机扩张映射h a u s d o r i f 维数的估计第二章确定系统h a u s d o r f f 维数的估计 不妨设ace ( 否则取ane ) ，则f - l ac1 - 1 e ，故 p ( a u f - 1 a ) = 2 p ( a ) 由旷) 1 ，可知p ( a ) ，所以 0 ，0 ，存在p ( ) 0 ，使 得 l 唰制 l 托舢( 邺“州 ( 3 ) 1 一 监i i d 必v a , i i 0 满足( 1 + ) d 0 ，使得( 3 ) 式成立 由，的可扩性及l 作为它的扰动，可取充分小的p j d ( ) ，使得 一2 t = p l ( d ) = l i m s u p 元1l o g t r y ( - d l o g m ( d x 丸) ) ( u ，t , ，p ) 因而存在足够大的n oe z + ，使得佗伽有 丌，( 一d l o gm ( d x 丸) ) ，n ，p ) e x p - n t 从而存在最大的( 死，p ) 分离集e = 吻) c 虬，使得 儿cub n 0 ，p ) ， 彩e 和 巧如u ) ，一 善f 知u ) ， 茹e x pi、n-1exp - d l o g m ( d l 兽。 je x p - n t i - - - - 0 也即 茄广一 e ) ( p 一疵) 叼e e 旦u 【m ( d ，毒勺，一) 】4t = 一， 由于a 是紧的，也就是说对任意的u ，a u 是紧的，从而e 为有限集故令 则 所以 乩2 糍卿 ，z t e 。 屯惴_ 0 ，m _ 0 0 ) 、 2 ， 虬cub n ( w ，x j ，p ) cub ( u ，吻，瓦砌) z j b蕾i e 由h a u s d o r f f 维数的定义可知 砚( 虬)s 配，q 巧e e ：( 1 + e ) d ( n 一- ! r t ! - - 1 1 1 2 量二三垒型 勺印旦m ( d 凫嘶后u ) d p d ( 2 m ) d 【旦去竺】驴- 一o ，m 叶o o ) 其中 m = s u pi i d 茹y l l o o ， x e m 那么 s u p 0 现厶0 2 m ， f ，x ) e f l x m 1 5 c 1 随机扩张映射h a u s d o r f f 维数的估计第三章随机系统h a u s d o r f f 维数的估计 因而 日d ( 虬) = 0 ， 所以 d d i n a h 虬 由d 的任意性且对n e u ，d i m h 虬都相等，可知 3 2 下界估计 d i m h asd 1 口 本章我们主要证明a 的h a u s d o r f f 维数下界是方程r ( - al o gl i 现厶0 ) = 0 的根首 先我们来看两个引理t 引理3 2对任意的( u ，z ) q m ，0 l i r al i r a i n f r _ 0t i _ o o = l i r al i r a i n f r _ on _ o o l o g p ( b n ( 芘”，u ，z ，r ) ) 一n n l 0 9 6 l o g p ( 风( ，茁，) ) - 1 一 ；1 1 0 9 r + 睁l o g ( 1 - e ) 一击薹l o gi i d f ：暑 - ；霉骗u i i l = = u ：瓦禚粤而， 小e ( 邺) q m 2 了i 戛订讧互j 丽肛口e 【u ，z j 3 2 。 1 8 c 1 随机扩张映射h a u s d o r f f 维数的估计第三章随机系统h a u s d o r f f 维数的估计 而 lo g i i 眈批= 丢k 萎- 1 i o g i l d 正l l d 【( 矿) l 旷 = 三k 孓i = o 1 0 9l l d 肚概2 1 , t 1 慨 =logi i d = f 矿l l d 矿 由m 的任葸性，令m _ 0 0 ，由y o u n g 足理口j 知， 咖矿戛再锚o om _ 。 又因为m 1 i r a o 。f l 1 m i l 中存在，故 出警， 其中 = 舰鬲1 lo g l l 仇凹。咖 由于对o e u ，d i r n h 虬都相等，故有 出m 日a 反m 日p 成m 警 口 注3 1 本文的结果能否推广到更一般的系统，也即它不是c 1 扩张映射的随机扰动， 暂时还不得而知困难在于般的随机情形下，拓扑压不再存在可扩常数，是否存在 平衡态伸不知道能否通过其它方法来估计不变集的维数。将是下一步的研究重点 1 9 g 1 随机扩张映射h a u s d o r f f 维数的估计 参考文献 参考文献 【1 】1r b o w e n ，h a u s d o r f fd i m e n s i o no fq u a s i c i r c l e ，p u b l m a t h i h e s5 0 ( 1 9 7 9 ) ，i i - 2 6 【2 】d r u l l e ，r e p e l l e rf o rr e a la n a l y t i cm a p s ，e r g o d t h d y n a m s y s 2 ( 1 0 8 3 ) ，9 9 - 1 0 7 【3 l d g a t z o u r a sa n dy p e r e s ，i n v a r i a n tm e a s u r e so 脚zd i m e n s i o n1 0 ，s o m ee x p a n d i n g m a p s ，e r g o d t h d y n a m s y s 1 7 ( 1 9 9 7 ) ，1 4 7 - 1 6 7 【4 】h c r a u e la n df f l a n d o l i ，h a u s d o r f fd i m e n s i o no fi n v a r i a n ts e t sf o r a n d o md y n a m i c a l s y s t e m , j d y n a m i c s ，d i f f e r e t i a le q u a t i o n ，1 9 9 8 【5 1t b o g e n s c h f i t z ，e n t r o p y ，p r e s s u r ea n dav a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o rr a n d o md y n a m i c a ls y s t e r n ，r a n d o mc o m p u t d y n a m i c s ，1 ( 1 9 9 2 ) ，9 9 - 1 1 6 1 6 】t b o g e n s c h f i t za n dg u n t e ro c h s ，t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no fc o n f o r m a lr e p e l l e ru n d e r r a n d o mp e r t u b a t i o n ，n o n l i n e a r i t y - l o n d o n ，7 ( 1 9 9 9 ) 【7 jy k i f e r ，f r a c t a ld i m e n s i o na n dr a n d o mt r a n s f o r m a t i o n s ，t r a n s a m e r m a t h s o c ， 3 4 8 ( 1 9 9 6 ) ，2 0 0 3 - 2 0 3 8 【8 】y b p e s i n ，d i m e n s i o nt h e o r yi nd y n a m i c a ls y s t e m ：c o n t e m p o r a r yv i e wa n da p p l i c a t i o n , t h eu n i v o fc h i c a g op r e s s ，1 9 9 7 【9 1j m y j a ka n dt s z a r k ，al o w e re s t i m a t i o no fh a u s d o r f fd i m e n s i o nf o ra t t r a c t o r sw i t h o v e r l a p s ，j o u r n mo fs t a r p h y ，1 1 ( 2 0 0 1 ) 1 1 0 】y z h a oa n d l c a o ，o nt h et o p o l o g i c a lp r e s s u r ed ，r a n d o mb u n d l et r a n s f o r m a t i o n 雪n s u b a d d i v i v ec a s e ，j m a t h