（应用数学专业论文）hilbert空莘中广义框架的性质及其应用.pdf

t h e p r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n s o f 2 e n e r a l i z e df r a m ei nh i l b e r ts p a c e a m e 1 1d e r ts p a c e 彳劢e s i s s u b m i t t e d 觑p a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t f o rt h em s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y z h u a n gg u o p i n g p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fa p p l i e dm a t h e m a t i c s h u a z h o n g n o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：h ex i n g g a n g a c a d e m i ct i t l e ：p r o f e s s o r s i g n a t u r e a p p r o v e d m a y , 2 0 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：宦固平 日期：洳j7 年朔譬日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 f 作者签名：色固辛导师签名：彳厕以h 日期：乙刀y 忤 岁月孑日 日期： 胖石月 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。圃童途塞握窒后进蜃；旦圭生；旦二生；旦三生蕉查l 日 日期：纱忤6 月f 日 导师签名：厶孓孩们 ，嚣、 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 1 9 5 2 年，d u m n 和s c h a e f f e r 在研究非调和f o u r i e r 级数时引入了h i l b e r t 空间上 的框架的概念，1 9 8 6 年，d a u b e c h i e s ，c r r o s s m a n 和m e y e r 发现使用框架可将r ( 灭) 中 的函数展开成类似于标准正交基展开的级数框架的研究才开始兴起 框架有很多好的性质，且用途广泛，如在刻画函数空间，信号处理等领域都有 广泛的应用，h i l b e r t 空间中的广义框架是框架的推广，它包含了h i l b e r t 空间中通 常框架的各种推广，具有一些很好的性质，本文介绍了广义框架的一些性质，并应 用这些性质对广义框架与其对偶框架的等式，紧广义框架的不等式和对偶广义框架 与一般对偶框架间关系的定理都给予了新的证明，并改进了文 4 中广义框架及其 对偶框架的不等式，得到新的不等式 关键词：框架：广义框架；对偶框架 ： ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t t h ef r a m ec o n c e p to nh i l b e r ts p a c ew a sa p p l i e dw h e nd u f f i na n ds c h a e f f e rs t u d i e d t h ei n h a r m o n i o u sf o u r i e rs e r i e si n19 5 2 d a n b e c h i e s ，g r o s s m a na n dm e y e rf o u n dt h a tt h e f u n c t i o no fr ( r ) c a nb ee x p a n d e di n t os e r i e sw h i c h i ss i m i l a rt ot h es e r i e sl a u n c h e db y t h es t a n d a r do r t h o g o n a lb a s i si n19 8 6 t h er e s e a r c ho ff r a m eb e g a nt or i s e f r a m eh a sal o to fg o o dp r o p e r t i e sa n du s e dw i d e l y ，s oi th a saw i d er a n g eo f a p p l i c a t i o n s i n d e p i c t i n gf u n c t i o ns p a c e ，s i g n a lp r o c e s s i n ga n do t h e rf i e l d s t h e g e n e r a l i z e df r a m ei st h ep r o m o t i o no ff r a m ei nh i l b e r ts p a c e ，i tc o n t a i n sv a r i o u s p r o m o t i o no ff r a m ei nh i l b e r ts p a c ea n dh a ss o m eg o o dp r o p e r t i e s t h i st h e s i sg i v e sa n e wp r o o fo ft h ee q u a l i t ya b o u tg e n e r a l i z e df r a m ew i t hd u a lf r a m ea n di n e q u a l i t yo ft h e t i g h tg e n e r a l i z e df r a m eb yt h o s ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e df r a m e ，t h et h e o r e m so ft h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed u a lg e n e r a l i z e df r a m ea n dg e n e r a ld u a lf r a m ei si m p r o v e d ，t h i s t h e s i sg i v e san e wp r o o fo ft h et h e o r e m s t h i st h e s i si m p r o v et h ei n e q u a t i o no ft h e g e n e r a l i z e df r a m e w o r ka n dd u a lf r a m e w o r ki nt h et h e s i s 【4 】w h i l eg e tt h en e wi n e q u a l i t y k e yw o r d s ：f r a m e ；g e n e r a l i z e df r a m e ；d u a lf r a m e i l 硕士学位论文 m a s l e r 。st h e s i s 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章引言。l 第二章预备知识5 2 1h i l b e r t 空间中框架的定义。5 2 2h i l b e r t 空间中对偶框架的定义5 2 3h i l b e r t 空间中广义框架的定义5 2 4h i l b e r t 空间中广义框架算子的定义6 2 5h i l b e r t 空间中广义框架的对偶框架的定义6 第三章h i l b e r t 空间中广义框架及其对偶框架的性质7 3 1h i l b e r t 空间中广义框架算子的性质7 3 2h i l b e r t 空间中广义框架的对偶框架的性质9 第四章广义框架的应用1 3 4 1 对偶广义框架与一般对偶框架间的关系1 3 4 2 广义框架与其对偶框架的等式1 6 4 3 紧广义框架的不等式1 8 4 4 广义框架与其对偶框架的不等式- 2 1 参考文献2 3 致谢。 2 4 ，嚣、 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 小波分析是上世纪八十年代由y m e y e r ，s m a ll a t 及i d a u b e c h i e s 等人的 奠基工作而迅速发展起来的- - f 应用数学学科，它是f o u r i e r 分析发展史上的里程 碑，同时具有深刻的理论与实践双重意义。框架是由d u f f i n 和s c h a e f f e r 于1 9 5 2 年在研究非调和f o u r i e r 分析时引入的概念 1 。但在当时乃至以后相当长的时间 内，并没有引起人们的足够重视，自从小波分析诞生以来，框架的研究才开始兴起。 设日是h i l b e r t 空间， x o 2c h ，若了o a b 佃，使任意x h ，都有 a 2 - z i ( x , 矗) 1 2 _ o ， 使任意厂x 有： 硎卅2 - z , 1 1 2 - 为 z g j ，髟：je j ，ke i ( ，) 的典则对偶框架 广义框架及其对偶框架的等式( 定理3 ，定理4 ) ： 定理3 ( 3 ) 设算子列 乙l ( x ，) ：歹，) 为x 关于 ：_ ，) 的广义框架， 则 方( x ，r ) ：方= t j sl ，) 为 乃三( x ，) ：，) 的典则对偶框架，若对任 2 ： ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 意g j ，有= 乃g ，则： x ，“l l 毋1 1 2 = 若l i i i 方厂1 1 1 1 2 + 否0 i i 邑一方厂0 1 1 2 t 自i at 毛j 定理4 ( 4 ) 设算子列 乃l ( x ，r ) ：) 为x 关于 ：) 的广义框 架，框架界为g d ， 乞l ( x ，) ：) 为其对偶广义框架，框架界为聊，刀， | 厂| ，m ，任意j ，则对任意厂x ， 0 若。c + 乃厂1 1 2 + 若( 一。) ( 乃厂，e 厂) = l 否( ，一，：，) 弓巧厂1 1 2 + o ( 乃厂，c f ) j 毛) 紧广义框架的不等式( 定理5 ) ： 定理5 ( 5 ) 设算子列 乃l ( x ，r ) ：歹，) 为x 关于 r ：，) 的紧广义 框架且界为a ，jcz ，则对任意kcj 和任意f x ，有 母肝i i 酚z 卅= = a y = i i 乃i l l 2 幅叫2 净1 1 2 并且改进了文l 4 j 中的厂义框架与冥对偶框架的小等式得剑足理6 ： 定理6 设算子列 乃l ( x ，) ：， 为x 关于 巧：，j ) 的广义框架，框架界 为c ，d ， 方l ( x ，r ) ：方= t j sl ， 为 乃l ( x ，r ) ：j f j ) 的典则对偶框架， 则对 乃l ( x ，) ：，) 的任意对偶框架 乞l ( x ，r ) ：_ ，) ，框架界为聊，刀，有 球州2 去驴州2 ，v 试 本文主要利用广义框架的性质对广义框架的一些等式，不等式和对偶广义框架 与一般对偶框架的关系的定理给予了新的证明，并得到了广义框架与其对偶框架的 不等式总- q ；t - 分为四童： 硕士学位论文 m a s t e r lst h e s i s 第一章，主要介绍了框架与广义框架的概念，并叙述了本文的侧重点； 第二章，介绍了h i l b e r t 空间中一般框架及其对偶框架的定义，并介绍了h i l b e r t 空间中广义框架及其对偶框架的概念； 第三章，介绍了h i l b e r t 空间中广义框架及其对偶框架的一些性质； 第四章，第一节对对偶广义框架与一般对偶框架关系( 定理1 ，定理2 ) 给予 了新的证明，第二节对广义框架与其对偶框架的等式( 定理3 ，定理4 ) 给予了新 的证明，第三节对紧广义框架的不等式( 定理5 ) 给予了新的证明，第四节改进了 文 4 中的广义框架与其对偶框架的不等式得到了新的不等式( 定理6 ) 。 4 ： 二 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章预备知识 2 1h i l b e r t 空间中框架的定义 设日是h i l b e r t 空间， 4 o o lc 日，若j o a b 佃，使任意x h ，都有 a 2 - o ， 使任意f x 有： c i v i l 2e l t f l l 2 d 1 1 2 ( 1 ) ， 则称算子列 乃l ( x ，) ：) 为x 关于 ：歹，) 的广义框架，其中c 称为广义 框架的下界，d 称为广义框架的上界，若( 1 ) 中右侧不等式成立，则称 乃( x ，r ) ：，) 为广义b e s s e l 序列，若c = d ，则称 乃三( x ，r ) ：歹，) 为紧 广义框架，若广义框架中去掉任何一个元后就不再是广义框架，则称恰当广义框架， 反乡称为冗余广义框槊 ：一， 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 2 4h i l b e r t 空间中广义框架算子的定义 设算子列 乃l ( x ，艺) ：，) 为x 关于 ：，) 的广义框架，框架界为c ， d ，对任意x 定义相应的广义框架算子s ：x x ，s f = l r j f ，下证s 在x j d 上有定义：对任意刀l ，忍2 z + ， j | ；霎l 7 j 厂l = g 。s u 。p g 。：。 = g 。s 肖u 。p d 。，j 艺= h i ( 7 j 厂，7 j g ) g 。s j u 。硎p ：。( ；霎。乃厂1 1 2 j ( ；霎。乃g i l 2 ) j 刚s u 如p 酬吼渺1 1 2 ) - - = 阶s u p 。x 砑( t x 码班s 州u 山p z u l 厂1 1 2 d 所以i i s i l 2 矿s u i ：p ，s s l l d ， 因此s 为有界算子，下证s 为自共轭算子，对任意f ，g x ， ( s i ，g ) = ( 乃乃厂，g ) = ( 乃。r , f ，g ) = x ( ，乃+ 巧g ) = f ，乃乃g ) j d j dj 毛j j d i = ( 厂，裾) ， 因此s = s ，所以s 为自共轭算子，下证s 为可逆算子，由定义任意f x ， c m l 2 若忱列22 若( 乃厂，巧厂) 2 ；( 乙乃厂，厂) 2 2 ( s s ，厂) 、 - i l s f ll l f l l ， 所以c l l f l l - l l s s l l ，所以s 为单射， 取g e x ，使任意f x ，都有( s f ，g ) = o ，则( f ，s g ) = ( 驴，g ) = o ，因此 s g = o ，p ) 7 以g = o ，s x = x ，因此s 为满射，所以s 可逆且忙卅0 圭， 因此s 为线性有界可逆自共轭算子 性质3 1 2 设算子列 乃l ( x ，r ) ：，j ) 为x 关于 ：j ，) 的广义框架，s 为其广义框架算子，s 1 为s 的逆算子，则对任意f x ，有 7 厂= e s 。1 乙乙厂= 乃r , s f j 曲 证明：因为f = s 一驴= s - 1 j r = j 乙乙厂= e s 一乃r , f ， j 曲 又因为f = s s 一厂= j d 乃乃s f ， j 日 所以厂= e s 一乃+ 乃= 乃乃s f j dj d 。 性质3 1 3 设算子列 乙l ( x ，r ) ：，) 为x 关于 巧：j f ，) 的广义框架， 框架界为g d s 为其广义框架算子，s _ 1 为s 的逆算子，乃= 乃s - 1 仁三( x ，r ) ：_ ，) 也为x 关于 r ：歹，) 的广义框架，且框架界为i 1 ，丢 证明：对任意f x ， 若4 厂0 2 = 若 = 若( 乃s 一1 厂，弓s 一1 厂) ( 乃乃s f ，s 。1 f ) = ( 乙乃s 。1 f j dj a = ( 厂，s 一1 ) l 厂洲s 一1 厂i i i s 一1 i i i i s u 2 _ 1 驴i l s l i 即抑 2 8 j 口 肛 ， 则 、， ， 力 7 s ， $ 凡 厂 一 5 鼹 7 = 乃 ， ， r 以 叶 气， 芦 2 ， 邢 ，、 卜 一!pi， 三p 二一睡r ： ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 综上所述得：吉i l 州2 若眵卅2 却州2 ， 所以 方( x ，) ：歹，) 也为x 关于 ：，) 的广义框架，且框架界为 11 dc 性质3 1 4 设算子列 乃l ( x ，r ) ：，) 为x 关于 ： e ) 的广义框架，s 为其广义框架算子，s 一1 为s 的逆算子，方= 乃s ， 弓( x ，r ) ：，) 也为x 关 于 【：，) 的广义框架，定义广义框架 方( x ，) ：，) 的框架算子为： s ：x x ，v f x ， s = s 奄sf - e r j t jf ，则s 为线性有界可逆自共轭算子，且 证明：与证明s 为线性有界可逆自共轭算子类似可证明s 为线性有界可逆 自共轭算子，下证s = s ，对任意f x ， s s = s e r ，乙厂= s 乃乃厂= s s 一乃5 s f = 厂， i dj dj d 所以s = s 一 3 2h i l b e r t 空间中广义框架的对偶框架的性质 性质3 2 1 设算子列 t ( x ，r ) ：，) 为x 关于 艺：，) 的广义框架，s 为其广义框架算子，s 一1 为s 的逆算子，方= t s ， 方( x ，r ) ：，) 也为x 关 于 ：歹，) 的广义框架，则p 三( x ，r ) ：j ) 与 乃三( x ，艺) ：，) 互为对偶 9 框架，并称广义框架 弓( x ，【) ：，) 为广义框架 乃( x ，) ：，j ) 的典则 对偶框架 证明：对任意f x ， 巧t 厂= z s z + t j = s s f = f ， j 日j 日 z r , 乃厂= 乃r , s 一= 髓f = f ， j 毛lj d 所以仁三( x ，) ：歹，) 与 乃三( x ，【) ：歹，) 互为对偶框架 性质3 2 2 设算子列 乃l ( x ，) ：，) 为x 关于 巧：，) 的广义框架， - i s 为其广义框架算子，e = 乃s2 ，_ ， 则 乞l ( x ，r ) ：) 为紧广义框架且 界为1 ，并且 乞l ( x ，) ：，) 为其自身的对偶框架 证明：对任意f x ， 若o e 厂1 1 2 = 若( e 厂，c ) = 否 i = 若 乃+ 乃s 寻厂，s 寻厂) i 3 dj a j 毛 j 幽 = o ，则： t j * g s , r ，以k 吩) 和pg j 。s 。：歹j , k k j ) 为x 的对偶框架 证明：对任意厂x ，有( 厂，乃g j ，置) = ( 乙厂，g j ，k ) ， 因为i ( 厂，乙g ，芷) 1 2 = l ( c 厂，毋，) 1 2 l 毫jk c = k ；。l e jk e k | 又因为 g 脂：k 一) 为r 的框架， 所以a 川叫2 - - z i ( 乙厂，g j 硝- z b ，m 2 ， l 毛jj r = dkex|口 即q x l l 乙f l l 2 - e l ( 乃厂，邑硝sc ：e m 2 ， l t |c=jkek；|毛 从而c 1 忆州2 - z 乃。g j 硝巳渺i | 2 ， i 皂j j a _ dk e k ij a _ d 所以q a v i l 2 - , ，e “m 2 ，x “k x 。_ l 厂，g j ) 一 方厂，方 否 + 否 一否l 方厂0 2 e 宰) ， 又因为吾l 方厂0 2 = 若 = ； = 若 3 - d( s 一1 厂，乃乃s 一1 厂) = 若( 粥s - i f , s - i f ) = 传粥力 = ( 厂，s f ) = ( 乃g j ，s 1 ) = ( z g j ，s 。1 ) = ( 毋，乃s 。1 厂) j e j j r = j d j dk 计 、， 1 1 2 卅= i i j a 1 1 2 酬 定理4 ( 4 ) 设算子列 乃l ( x ，r ) ：j j ) 为x 关于 r ：je ，) 的广义框架， 框架界为c ，d 弓三( x ，巧) ：j ) 为其对偶广义框架 则对任意f x ， ，框架界为m ，刀， 厂112+蓦(一，：，)(乃厂，e厂)=8若(一，：，)乞乙厂82+萋；厕 证明：令s 。f = z ( 1 - r j ) p j 乃厂，s 2 f - - j a j d 1 7 t 飞 对任意f x ， ， 一 邑 弓 w 。 岫峙 所以为线性有界算子，同理可证s 为线性有界算子， 对任意f ，g x ， ( s 2 f ，g ) = ( ，：，e 乃厂，g ) = ( o 弓乃厂，g ) = ，：，( e 乃，g ) = x r , ( s ，乃c g ) 3 日 j ad r = j a 若( 厂，弱咏) = f ，；功 ， 所以曼= 劢弓，i n n s , = ( 1 一i ) 巧，所以s i + & = ， j 毛) a 又因为s 厂+ 是厂= ，：，e 乃厂+ ( 1 一o ) 弓t , s = x4 乃厂= 厂，所以s + & = ， i dj d3 a n 为s , - s ，s = ( i - s i + ) s = 曼+ ( ，一是) = 是一是是， n j h c s , s 一是+ 是= s 一是，所以： 酚刊啊卅2 一峰研= ( s i f , s i f ) _ ( s 2 f , & f ) = ( s s , f ，) 一( 是厂，厂) = ( ( s s , - s ：是) 厂，厂) = ( ( s 一是) 厂，厂) = ( s 厂，厂) 一( 曼厂，) = ( s 厂，s ) - ( s ，岛厂) = 若( 一。) e 乃厂，厂) 一 a 2 ， 又因为s x 七s f = s = 鲥，既以蝎x + a s x c = 心j ， 得到峨+ & 2 + 峨。+ 譬等，“ 因为s x + s k c = s = 鲥，所以a - s k + a - sk c = i ， 所以a s k a - i s k a - 1 & = ( ，一a _ 1 & ) a _ 1 & = a - 1 叉。( ，一a 。1 & 。) = 一s p - a 司s k ? ， 因此a - 1 s k - a _ 2 s k 2 = a s k 。- a - 2 & 。2 ，所以峨一& 2 = 峨。一& 。2 ， 犏a s k + s k ? = s k 2 + 硒p ， 代入幸) a s k + $ 等i ，s k 2 + 峨。等z ， 所以( ( 峨+ s k 。2 ) ) 等2 ，( ( 峨。+ & 2 ) ) 等2 ， 因此a ( s x f ，厂) + ( & 。厂，& 。厂) 等m 1 2 ， a ( 蹦咖( s f , s k f ) 等2 ， 2 0 ： 硕士学位论文 m a s t e r s ，r i - , i e s i s 所以a 争1 1 2 ， a 荟( 弧圳防乙刈2 跏1 1 2 ， 又可化为a 沙厂1 1 2 + 酵c 卅2 洳州2 ， a 麒z 。i i t , 肝i i 酚乃卅2 跏| 2 麒z i i t ，州2 + 防z 卅2 = a 驴卅2 佰叫2 铷| 2 ， 所以原命题成立 4 4 广义框架与其对偶框架的不等式 定理6 设算子列 乃三( x ，r ) ：，) 为x 关于 ：j ) 的广义框架，框架界 为岛d ，仁( x ，r ) ：方= t j s - i ，, ，) 为 乙三( x ，r ) ：，j ) 的典则对偶框架， 则对 乃上( x ，) ：歹，) 的任意对偶框架 c 三( x ，r ) ：，) ，框架界为聊，疗，有 非卅2 去驴州2 ， 证明：对任意f x ， 可y x 否0 方厂0 2 = 若 = 若( 弓s 一1 厂，乃s 一1 厂) = 若( 乙7 ：s 一1 厂，s 一1 ) 2 1 = ( 伊一1 绑却1 2 ， 又因为聊h 2 驴卅2 ，删l l s l l 2 去驴州2 ， 因此( 宰) 式可化为 所以结论成立 j u酬同w 去驴州2 ， 参考文献 【1