（基础数学专业论文）两类功能反应函数的食饵捕食者模型周期运动的研究.pdf

中文摘要 本文主要运用微分方程定性理论以及分支理论的方法，讨论了两类h o l l i n g 型功能性反应函数的食饵捕食者模型，得到了模型出现极限环以及由极限环 产生分支的充分条件，详细的研究了模型的周期运动全文内容共分为四章 第一章是绪论，首先从生物意义和解决实际生态学问题的角度出发，讨论 了食饵捕食者模型的发展趋向和研究意义随后介绍了问题的引入，以及本 文的主要工作最后，介绍了本文所用到的一些有关定性分析以及分支理论方 面的定义和引理 第二章讨论了一类功能反应函数为h o l l i n gi i 的食饵捕食者模型，分析 了此类模型的正平衡点性态，得出了模型极限环不存在与存在的充分条件，以 及在给定参数满足一定条件下：利用分支理论，得到至少出现两个或三个极限 环的充分条件 第三章讨论了一类功能反应函数为h o l l i n gi i i 的食饵一捕食者模型，采用 与第二章类似的研究方法，分析了此类模型的正平衡点性态：得出了模型极限 环不存在与存在的充分条件，以及在给定参数满足一定条件下，利用分支理论， 得到至少出现两个极限环的充分条件从而使所描述的种群动态更具有多样性， 但定性分析的难度增大最后，对这两种具有不同的功能反应函数的食饵捕 食者模型进行对比 第四章总结出计算焦点量的算法，并对自己所作的工作总结及展望 关键词 非线性密度制约，食饵捕食者模型，全局稳定性，极限环，h o p f 分支 a b s t r a c t ( 英文摘要) t w oc l a s s e so fp r e d a t o r - p r e ym o d e l so fh o l l i n g sf u n c t i o n a lr e s p o n s ea r e d i s c u s s e di nt h i sp a p e r ，w h i c ha r ef i n i s h e du s i n gt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n d b i f u r c a t i o nt h e o r y a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t m n e do nw h i c hl i m i t c y c l e sa n db i f u r c a t i o n sp r o d u c e db yl i m i tc y c l e se x i s t w h a ti sm o r e ，t h ep e r i o d i c m o t i o no ft h e s em o d e l si sa n a l y z e di nd e t a i l f o u rc h a p t e r sa r ei n c l u d e di nt h i s p a p e r c h a p t e ro n ei st h ei n t r o d u c t i o n f i r s t ，t h ei m p r o v e m e n tt r e n da n dr e s e a r c h v a l u ea r ed i s c u s s e df r o mt h ep o i n to fb i o l o g i c a ls i g n i f i c a n c ea n dt h es o l u t i o no f a c t u a le c o l o g i c a lp r o b l e m s s e c o n d l yt h em a i nc o n t e n to f t h i sp a p e ra n dp r o b l e m a r ep r e s e n t e d f i n a l l y , t h ed e f i n i t i o n sa n dl e m m a so fq u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n d b i f u r c a t i o nt h e o r ya r ei n t r o d u c e di nt h i sc h a p t e r ，w h i c ha r eu s e di nt h i sp a p e r a p r e d a t o r - p r e ym o d e lo fh o l l i n gi if u n c t i o n a lr e s p o n s ei sd i s c u s s e di nc h a p - t e rt w o t h eb e h a v i o ro ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m si sa n a l y z e d ，a n dt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fn o n e x i s t e n c ea n de x i s t e n c eo fl i m i tc y c l e si ns y s t e ma r eo b t a i n e d m e a n w h i l e ，o nt h ec o n d i t i o nt h a tp a r a m e t e r ss a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h es u f - f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ef o u n d ，o nw h i c ht w oo rt h r e el i m i tc y c l e se x i s ta tl e a s t ， a c c o r d i n gt oh o p f - b i f u r c a t i o nt h e o r y ap r e d a t o r - p r e ym o d e lo fh o l l i n gi i if u n c t i o n a lr e s p o n s ei sd i s c u s s e di n c h a p t e rt h r e eu s i n gt h es a m em e t h o da si nc h a p t e rt w o t h eb e h a v i o ro fp o s i t i v e e q u i l i b r i u mo ft h em o d e li sa n a l y z e d ，t h e nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nw h i c ht h e l i m i tc y c l e si ns y s t e me x i s to rn o ta r eo b t a i n e d a d d i t i o n a l l y , o nt h ec o n d i t i o n t h a tt h ep a r a m e t e r sm a t c hc e r t a i nq u a l i f i c a t i o n s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r e f o u n do nw h i c ht w ol i m i tc y c l e se x i s ta tl e a s t ，u s i n gh o p f - b i f u r c a t i o nt h e o r y t h e r e f o r e ，i tm a k e sp o p u l a t i o nd y n a m i c sm o r ed i v e r s e ，b u tt h ed i f f i c u l t i e so f q u a l i t a t i v ea n a l y s i sa l s oi n c r e a s e a tl a s t ，ac o m p a r i s o nb e t w e e nt w oc l a s s e so f p r e d a t o r p r e ym o d e l so fd i f f e r e n tf u n c t i o n a lr e s p o n s ei sm a d e a l g o r i t h mo ff o c u s v a l u ec a l c u l a t i o ni sp r e s e n t e di nc h a p t e rf o u r ，a n db e s i d e s m yp e r s o n a lp r o s p e c ta n dw o r ko i lt h i st h e s i si ss u m m a r i z e di nt h i sc h a p t e r k e y w o r d s n o n l i n e a rd e n s i t yd e p e n d e n t ，p r e d a t o r - p r e y , g l o b a ls t a b i l i t y , l i m i tc y c l e ， h o p f - b i f u r c a t i o n i n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：! 壑鱼塑 缈7 年 6 月5 日 指导教师签名：窒窒竺： 7 年月r 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：赵侈坌工 叫年6 月j 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 本章首先从生物意义和解决实际生态学问题的角度出发，讨论了食饵一捕 食者模型的发展趋向和研究意义随后介绍了问题的引入，以及本文的主要工 作最后罗列出本文所用到的定义和引理 1 1 食饵一捕食者模型的发展趋向及研究意义 自然界中不同种群之间存在着一种非常有趣的既有依存，又有制约的生存 方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生，生物学上把 种群甲称为食饵( p r e y ) ，种群乙称为捕食者( p r e d a t o r ) ，两者共处组成食饵一捕 食者模型此类模型是通过揭示不同种群之间的内在规律预测种群数量之间 的变化趋势，由此可定向地调控管理生物种群因此，食饵捕食者模型在实际 应用中，发挥着巨大的作用 最早的食饵捕食者模型是1 9 2 6 年，由a j l o t k a 和v v o l t e r r a 1 1 两位 著名数学生态学的先驱提出： ， l 士= a l x b l x y ( 1 1 ) 【雪= 一a 2 y + b ：x y 其中a 1 ，b 1 ，a 2 ，b 2 都是大于0 的常数这个模型不仅解释了生物学家d a n c o n a 提出的问题，也解释了很多生态学现象：在弱肉强食的情况下，降低食饵的繁殖 率，可使捕食者减少然而降低捕食者的掠夺能力，却使得捕食者增加；捕食者 的死亡率上升导致食饵增加，食饵供养捕食者的能力增强会使食饵减少 尽管模型( 1 1 ) 解释了很多生物现象，但同时很多生态学家发现，多数的食 饵一捕食者系统都观测不到模型( 1 1 ) 所显示的那种周期震荡：而是趋向于某 种平衡状态，即系统存在稳定的平衡点因此，v v o l t e r r a 又提出一个经典的食 第一章绪论 饵捕食者模型( v o l t e r r a 模型) ： 雪：=yx。(您rl一-咖ax，)+-cbzx可y c l 2 ， 显然( 1 1 ) 是( 1 2 ) 的特例，由于这个模型是不存在极限环吼由此也解释了上 述现象 模型( 1 2 ) 在生态学中已经被广泛的应用使用了近8 0 年，但当食饵非常富 裕时，它却存在不合理之处在模型( 1 2 ) 中，功能反应函数b x 称为v o l t e r r a 函数j 从图形上看，它是一条过原点的无界直线! 其生物意义是功能反应函数与 食饵数量成正比，食饵数量越大，在单位时间内捕食者吃掉的食饵数量就越多 1 9 6 5 年，h o l l i n gf 3 】在实验的基础上将功能反应函数分类为i , i i 和i i i 型 h o l l i n gi 型适用于简单的动物藻类细胞，h o l l i n gi i 型在微生物和小的无脊椎动 物中视最普遍的，在微生物中，摄取营养发生在特殊营养源穿过细胞型以酶为 中间物的转化水平上，摄取率一般由m i c h a e l i s - m e n t e n 4 , 5 1 函数来表示h o l l i n g i l l 型功能反应函数适用于高等的脊椎动物，正如r e a l 6 1 已经详细讨论了 1 9 6 8 年，a n d r e w s1 7 】针对微生物动力学中出现的抑制现象j 提出了m o n o d h a l d a n e 函数：妒( z ) = 孑南，h o l l i n gf 8 l 在生物模型中应用了这个函数， 因此，这个函数也被称之为h o l l i n gv 函数后来，s o k o l h e ，h o w e l l 9 1 建议取： 妒( z ) = 羔：得到了简化的h o l l i n g v 函数 1 9 7 5 年，b e d d i n g t o n 和d e a n g e l i s 根据实验的结果，提出了b - d 功能反应 函数：妒( z ) 2i i 万x y 了瓦文献【1 0 - 1 2 】中，很多学者对此类功能反应函数做了 修改功能反应函数仅仅只是研究食饵，捕食者模型的发展趋向之一， 西北大学硕士学位论文 c r o m b i c 在实验中发现，对模型( 1 2 ) 做数学理论分析：与观测数据相对照时发 现得出的结论并不是对所有情况适用1 9 7 0 年，a y a l a 同样在实验中，发现实际 与理论不符：他们认为不吻合的原因是数学上线性化所引起的，线性化使得很 多重要的因素被忽略了，例如密度制约项为非线性等如果把这些因素都考虑 进去，就必须考虑更复杂的方程j 其中非线性函数的选取，则根据研究对象的不 同而不同因此，非常有意义考虑种群的密度制约项是非线性的情况，即修改种 群的密度制约项为非线性也是研究食饵捕食者模型的发展趋向之一p i e l o u e c f 1 3 l ，陈兰荪【1 4 j 和马知思f 1 5 l 详细的讨论了模型( 1 2 ) ，为食饵捕食者模 型提供了一个强大的理论基础 在进入2 0 世纪以后，国内外绝大部分的文章主要讨论了模型极限环唯一 性的充分条件1 1 6 - 1 8 】，其生物意义是：自然界里长期存在的呈周期性变化的生 态平衡系统应该是结构稳定的，即当系统受到不可避免的干扰，而偏离原来的 周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动回复原状，如恢复原有的周期和振 幅而在实际情况中，模型所描述的周期变化状态并不一定是结构稳定的，由 于系统受到干扰偏离了原有的周期轨道后，并不一定是系统恢复原状，有可能 从一个周期震荡偏离到另一个周期震荡因此，研究讨论食饵捕食者模型的 周期运动是有意义的而本文的工作就是利用分支理论，研究功能反应函数 为h o l l i n gi i 和h o l l i n gi i i 型! 非线性密度制约的食饵捕食者模型产生多个 极限环的充分条件 1 2 问题的引入与本文的主要工作 具有h o l l i n g 类功能性反应的食饵捕食者模型般可写为： 喜三二三二 二_ ：二， c ，3 ， 其中z ( ) 表示食饵种群的密度，y ( t ) 表示捕食者种群的密度，七表示种群的变 换系数jg ( x ) 表示食饵种群的相对增长率j ，( y ) 表示捕食者种群的相对增长率， 第一章绪论 砂( z ) 表示捕食者的功能反应函数它有较强的生物意义：因此得到了广泛研究 1 9 3 6 年，c a u s e ，s m a r a g d o v a ，w i t t l l 9 】利用等倾线的性质，讨论了g ( z ) = a ，妒( 0 ) = 0 ，( z ) 0 ，z r + 的情况，分析了正平衡点不存在与存在的充分 条件 1 9 6 3 年：r o s e n z w e i gm l ，m a c a r t h u rr h 【2 0 l 提出了一种新的方法，即图 表法和数值法在这篇论文中讨论了9 ( z ) = 。一b x , 妒( z ) = 南；的情况，得 到了当参数满足一定条件时，正平衡点全局稳定的条件 1 9 7 6 年，f r e e d m a nh i 1 2 1 】讨论了g ( z ) = a b x ，妒( 0 ) = 0 ，( z ) 0 ，z 矿的情况，利用r o s e n z w e i gm l ，m a c a r t h u rr h 2 0 1 的方法，对系统平衡 点的性态进行了分析，不仅得到了满足正平衡点稳定性的条件，也得到了 稳定极限环存在性和唯一性的充分条件此后的一段时期内，很多学者都采 用r o s e n z w e i gm l ，m a c a r t h u rr h 【2 0 l 的方法，针对不同的生物模型进行研 究讨论了模型平衡点存在性与稳定性的条件，得到了一系列的结论，为以后模 型的研究做了扎实的铺垫【2 2 2 4 1 随着微分方程定性理论与分支理论的日趋成熟很多学者将这些理论 应用在生物模型上，得到了很显著的成果1 9 8 4 年，陈兰荪，井竹君【2 5 1 讨论 了9 ( z ) = q b x , 妒( z ) = r 亳的情况，利用定性分析的方法对此类模型做了 详细的分析，得到了稳定极限环存在性和唯一性的充分条件，且在满足一定条 件下，该系统的正平衡点全局渐近稳定，并推广了r o s e n z w e i gm l 、m a c a r t h u r r ，h ，【2 0 】的结论 1 9 8 6 年，c h e nj u n p i n g ，z h a n gh o n g d e l 2 6 1 讨论了夕( z ) = a b x ，妒( z ) = j 等岛的情况，利用定性分析的方法对此类模型做了详细的分析，得到了稳定 7 r j 一，1 极限环存在性和唯一性的充分条件，且在参数满足一定条件下，该系统的正平 衡点全局渐近稳定 p i e l o ue c 1 1 3 1 ，陈兰荪【1 4 1 和马知恩1 1 5 | 详细地讨论了模型( 1 2 ) 的稳定极 限环存在性与惟一性的充分条件，极大地丰富了种群生态学的研究，为后来的 学者研究生物种群模型提供了强大的理论基础 4 西北大学硕士学位论文 进入2 0 世纪以来! 由于所建立的生物模型并不能完全符合实际的情况：因 此人们不断的修改模型，使其更贴切的符合现实2 0 0 2 年，陈柳娟和孙建华【2 7 1 讨论了夕( z ) = 口一凹一k 2 一 ( z ) ，p ( z ) ：i _ 芋杀的情况，证明了该系统至 多存在一个极限环，且存在极限环的充要条件是正平衡点不稳定2 0 0 3 年，他 们又继续研究f 2 引，讨论了9 ( z ) = 。一c z k 2 - h ( z ) ，妒( z ) = 丁孚! 瑟的情况， 证明了该系统至多存在一个极限环，且存在极限环的充要条件是正平衡点不稳 定 2 0 0 5 年，程荣福：蔡淑云【2 9 1 考虑了一类具有h o l l i n gi i 型的食饵捕食 者模型，其中食饵种群的相对增长率为：9 ( x ) = a b x ，a ，b 0 ，即食饵的密 度制约为线性得到了稳定极限环存在性与惟一性的充分条件但在很多情况 下，线性密度制约已经不能客观的反映事实因此，考虑食饵种群的相对增长 率g ( z ) = a k 去，m 为正整数，即食饵的线性密度制约是非线性的 2 0 0 6 年，邱树林，吴承强，陈江彬考虑了m = 2 的情况，分析了该系统 的平衡点性态! 证明了系统在正平衡点的外围极限环的存在性，得出了在一定 的条件下，正平衡点外围至少有两个或三个极限环的结论 2 0 0 8 年，赵书红，窦霁虹，原冠秀【3 1 l 考虑了m = 3 的情况，利用定性分析 的方法，分析了模型的正平衡点性态，得出了模型的极限环不存在与存在的充 分条件，以及在给定参数满足一定条件下，利用分支理论，得到了在正平衡点外 围至少出现两个或三个极限环的充分条件由于m = 3 比m = 2 时，求解系统 正平衡点的焦点量过程更为复杂，因此得到的结论更加丰富 本文在上述文献的启发下，我们讨论了两类生物数学模型的动力学性态 第二章考虑了m 为一般情况，具有非线性密度制约的h o l l i n gi i 型功能性 反应的食饵捕食者模型： 卜z ( 口一妇击) 一罴 ky ( 讲高) 首先，我们分析了模型的正平衡点性态! 得出了模型极限环不存在与存在 第一章绪论 的充分条件然后，在给定参数满足一定条件下，利用分支理论，得到了出现多 个极限环的充分条件显然，文献【3 0 ，3 1 是本章的特例 第三章考虑了m 为一般情况，具有非线性密度制约的h o l l i n gi i i 型功能 性反应的食饵捕食者模型： 采用与第二章类似的方法，分析了模型的正平衡点性态，得出了模型极限 环不存在与存在的充分条件然后，在给定参数满足一定条件下，利用分支理论， 得到了出现多个极限环的充分条件 本文所用到的定义与引理 初等奇点分析 设有平面非线性系统 其中p ，q c 1 ( d r 2 ) ， 其中z ，y = o ( ，) ，z ，y 连续可微，r = 干孑 定义1 3 1 f 2 1 若行列式 i 口 6l 俨l cdl 0 ( 14 ) ( 1 4 ) 可改写为 ( 1 5 ) 则称o ( 070 ) 为系统( 1 4 ) 的初等奇点；否则称o ( 070 ) 为高阶奇点通常线性部 分具有一个零特征根时对应的高阶奇点成为l y a p u n o v 奇点 6 一l o，t 生舻、j“一+妒篙 乩 l r ，i 3 & 姐 姐 秒 萝 ” z z ，l，l s u p q 瞎 篡一 出一出咖一出煳 、圳 、驯扛 x y 十 + 幻 匆 + + 凹 凹 | i = 如一出曲一出 ，i-ij、_- 西北大学硕士学位论文 设有平面系统( 1 4 ) ，其中p ，q 在o ( o ，0 ) 邻域内有足够高阶的连续偏导 囊d x 三乏：三：；： 三：三； c 6 ， 其中p 仇，q n 分别是z ，y 的m 次与n 次齐次多项式，n 1 ，m 1 ，圣：屯c 1 ， 圣= 妒z y ( 1 7 ) i 雪= a x + b y + 砂( z ，y ) 引理1 3 2 1 3 2 1 设o ( o ，0 ) 是系统( 1 7 ) 的孤立奇点，晚砂均在o ( o ，0 ) 的邻域内解析且展开式不低于两次并设由y + 矽( z ，y ) = 0 解出的满足 y ( 0 ) = 0 ，矿( 0 ) = 0 的y = y ( z ) ，使妒ky ( z ) 有展开式 妒i x ，y ( z ) 】= g x 仇+ d ( z m + 1 ) ，g 0 ，r a 2 i ) 若m 为奇数，则当g 0 时，o ( o ，0 ) 为系统( 1 7 ) 的不稳定结点；当 g 0 时，系统( 1 8 ) 以( 0 ，0 ) 为不稳定( 稳 定) 焦点则对充分小的a 0 ，使对 任一组入， e o ，系统( 1 8 ) 在以o 为中心，6 0 为半径的圆盘以。( o ) 内最 多有m 个极限环，且对任一0 e o ，存在适当的a ， 0 考虑到模型的实际生态意义，仅在r + = ( z ，可) f z 0 ，! o ) 中研究讨论 分析系统( 2 2 ) ，易知o ( o ，0 ) 和m l ( x l ，0 ) 是系统( 2 2 ) 的奇点当满足 a 3 a 2 ( 口 + u ) ，m o ( x o ，y o ) 也是系统( 2 2 ) 的奇点，其中 z 1 一z 0 = x o2 a 2 a 3 一q 2 u a 3 一n 2 ( 口，+ u ) 日r ( n 3 一a 2 a ) ) y o =螂。( z - - a l x 亭) a 2 x l = a i - m 0 ，因此可以大体分析出奇点的位置 定理2 1 1 ( i ) 当a 3 a 2 ( 口p + u ) ，系统( 2 2 ) 有两个奇点：o ( o ，0 ) 和 m l ( a - r m ，o ) ； 9 罴0 一 z 一 、j“一十 上m ，一l警 1一。统 k 嵊 中 趣 其 耵 | | 示 舭表 孙 用 f f 仍令张 张堡。 纲 = 艟口 斯 驴 6一，o 汜 =署 第二章h o l l i n gi i 型功能性反应的食饵捕食者模型 ( i i ) 当a s a 2 ( a t + u ) ，系统( 2 2 ) 有三个奇点：o ( o ? o ) ，m 1 ( a i - m ，0 ) 和 m o ( x 0 ，y 0 ) 定理2 1 2 ( i ) o ( 0 ，0 ) 为系统( 2 2 ) 的鞍点，z 轴为不稳定的分界线，y 轴 为稳定的分界线 点) ( i i ) 若满足a s a 2 ( a t + ) ，则m a ( a m ，0 ) 为系统( 2 2 ) 的鞍点； 若满足a 3 0 ( 一瓮( 。 0 ，则一6 3 0 ，m o ( z 。，y o ) 为系 统( 2 2 ) 一阶不稳定的细焦点 i i ) 当m 一1 2 ( 仇+ 1 ) a l x 亭，即吼 0 ，则一6 3 凼此从上式口j 看出o i ) 当h 3 0 ，日4 一鱼h 4 ，则一6 5 o 因此，( z 。，珈) 为系 统( 2 2 ) 二阶不稳定的细焦点；若满足o n 2 a 2 ( 口r + u ) ，若日1 0 i i ) h 1 = 0 ，h 2 0 i i i ) 日1 = 。：飓= 。，凰 o ，。 一瓮时，凰从。开始负向微扰，系统( 2 2 ) 在m o ( x o ，! o ) 的外围恰有两个极限环此时，胁从0 开始正向微扰，系统( 2 2 ) 在, u o ( x o ，y o ) 的外围至少会产生三个极限环，最里面的极限环是内侧稳定的 ( v ) 当h l = 0 ，- 3 0 ，0 0 ，h l 从0 开始负向微扰， m o ( z o ，y o ) 的性态由不稳定变成稳定由引理1 3 6 可知，m o ( x o ，y o ) 的外m d , 邻域至少会产生一个不稳定的小振幅极限环r 2 ，且f 2cf 1 所以，系统( 2 2 ) 在m o ( x o ，y o ) 的外围至少会产生两个极限环，最里面的极限环是内侧不稳定的。 ( i i ) 当研 0 时，由定理2 2 3 知，系统( 2 2 ) 在m o ( x o ，y o ) 的外围至少会 产生一个稳定的极限环r 3 固定吼 0 开始减小直至矾= 0 ， m o o = o ，y o ) 的性态由不稳定变成稳定由引理1 3 6 可知，m o ( x o ，y o ) 的外围小 邻域至少会产生一个不稳定的小振幅极限环r 4 ，且r 4cf s 所以，系统( 2 2 ) 在m o ( z o ，y o ) 的外围至少会产生两个极限环，最里面的极限环是内侧不稳定的 ( i i i ) 当矾= 0 ，- 2 = 0 ：风 a 2 ( o r + u ) 且h i 0 厂l 上、 ia 一蛔”j ( m 对模型( 3 1 ) 进行无量纲变换，令 并记口1 ：鱼，口2 ：一d ，口3 ：丝 n口口 化为： k a z 2 1 + 0 3 x 2 o l x 2 y 0 3 x 2 牙：z ，哥：a y , ：z 7 ，其中j ：! ，a ：竺， 口q ，变换后仍用z ，y ，t 表示牙，雪，7 ，则系统( 3 1 ) 转 其中a 1 ，a 2 ，a 3 ，u 0 考虑到模型 【( z ，可) i x 0 ，y o ) 中研究讨论 ( 3 2 ) 的实际生态意义，仅在r + = 分析系统( 3 2 ) ，易知o ( 0 ，0 ) 和e 1 ( x l ，0 ) 是系统( 3 2 ) 的奇点当满足 a 3 a 2 ( 口2 m + ) 时，e o ( z o ，y o ) 也是系统( 3 2 ) 的奇点，其中 2 ：1 x 02 f 印2l n 2、 a 3 a 2 w ，y o = a 3 x of 1 i 一哪亭、) ，x l = o f m 0 ，因此可以大体分析出奇点的位置 定理3 1 1 ( i ) 当a 3 a 2 ( 口；m + ) ，系统( 3 2 ) 有两个奇点：o ( 0 ，0 ) 和e 1 ( n f m ，o ) ； ( i i ) 当a 3 口2 ( a 2 m + u ) ，系统( 3 2 ) 有三个奇点：o ( o ：o ) ，e l ( a l m , 0 ) 和e o ( x o ，y o ) 1 8 斗、 z 秒 = ： z y ，i-jl-i， 巧面朝 h 0 一 矿夏 、-、k一 一i m 。一卜塑 1 0 _ 西北大学硕士学位论文 定理3 1 2 ( i ) o ( o ? 0 ) 为系统( 3 2 ) 的鞍点，z 轴为不稳定的分界线：y 轴 为稳定的分界线 ( i i ) 若满足a 3 a 2 ( o ；m + u ) ，则e 1 ( n f m ，0 ) 为系统( 3 2 ) 的鞍点； 若满足a 3 0 ( 0 ，则一b a 3 0 ，e oz o ，y o ) 为系统( 3 2 ) 一阶不稳定的细焦点 i i ) 当m 一1 2 ( m + 1 ) a l z 孑，即吼 0 ，则e o ( x o ，y o ) 是系统( 3 2 ) 全 局渐近稳定的结点 2 2 西北大学硕士学位论文 证明 从( 3 3 ) 式可看出，特征方程为： n 坐型血些m a 3 警a 3 蕃坚蜊抖潞1w x 5 一o i 0 2 uj ”l 十j ( 3 9 ) 由文献f 3 6 可知，要保证玩( z o ，y o ) 渐近稳定，( 3 9 ) 式的特征根实部必须 均为负，即h 1 0 而o ( o ，0 ) 和e l ( a l m ，0 ) 均为鞍点，e o ( z o ，y o ) 是第一象限 内唯一的全局吸引子，则( z o ，y o ) 是全局渐近稳定的结点 定理3 2 3 系统( 3 2 ) 满足a 3 a 2 ( n p + u ) ，若满足以下条件之一： i ) 扁 0 i i ) 岛= 0 ，鼠 0 则系统在e o ( z o ，y o ) 的外围至少有一个稳定的极限环 证明作直线l 1 ：z = 口f m ，当y 0 ，有： 警l 。= z ( ，咱z 击) 一忠= 一再y 0 ，鼠从0 开始负向微扰此时，系统( 3 2 ) 在 岛( x o ，y o ) 的外围至少会产生两个极限环，最里面的极限环是内侧不稳定的 ( i i ) 当成 0 开始减d 、直至豆1 =