（基础数学专业论文）阻尼边界条件的helmholtz方程的近似求解方法.pdf

颀士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文主要讨论由时间调和声波产生的具有阻尼边界条件的h e l m h o l t z 方程的 数值解： z n = 巴2 百 z r ， ( ) r = l z l ， 其中百是平面r 2 上的有界光滑区域，r 为其边界，c 为波数，a 为阻 尼系数 关于上述问题解的存在性和唯一性，d c 0 l t o n 和r k r e 8 s 在文献 1 中作了很 详细的证明本文的目的是研究上述问题的数值解首先我们利用位势理论把 问题( + ) 转化成一个等价的积分方程，该积分方程含有一个未知的密度函数，本 文的关键就变成了去寻找该密度函数的数值解，从而获得积分方程的数值解 所用的方法就是利用边界条件得到一个关于密度函数的第二类s y m m 型边界积 分方程，然后我们研究该方程的数值解及其收敛性 关键词th e l r i l l l o l t z 方程，第二类s y m m 型边界积分方程，h a n k e l 函数，弱奇异 性，s 打j m 方法 一 蠹 a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，w ed i s c u s st h en u m e r i c 出s o l u t i o n so ft h eh e l m h o l t ze q u a t i o nw i t hd a m p i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ： f u + 女2 = o ， 器+ u = ，) 【，魄( 嚣一龇) = o z n = r 2 百， o r ，( ) r = l z l ， w h e r egsr 2i sab o l l n d e dd o m a j n 研t hs u 伍c i e t 1 ) - s m o o t hb o u n d 缸y 工七ci s c a l l e dw a en u m b e r 蛆d s l l r f a c ed a m p i n g dc o h o l la n dr k r e s s 1 p r o v e dt h ee ) ( i 8 t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ea b a v ep r o b e l m t h ea i mo ft h i st h e s i si st os t u d y 曲en u m e r i c a ls 0 1 u t i o n so ft h ep r o b l e m b ye m p l o y i n gt h e p o t e n t i a lt h e o r e m ，w ec o l l 、e np r o b l e m ( ) i n t oa ne q u i v a l e n ti n t e g r a le q u 乩i o nw h i c hh a sa u n k n o w nd e n 8 i t ) rf l l n c t i o nt ob ed e t e r l l l i n e dh e n c e 妇ek e yo ft h i sp r o j e c tb e c o m e st of i n d t h en u m e r i c a ls o l u t i o i l 8f o rt h i sd e n s i t yf u n c t i o na n dc o i l s e q u e n t l yt h em l i n e r i c “s o l u t i o n s t ot h ei n t e g r a le q u 眦i o na r eo b t 缸n e d t bt h i se n d ，w e 矗r 8 ta p p 时t h eb o u n d 盯yc o n d i t i o n t od e r i v et h es y m m si n t e g r a le q u a t i o o ft h es e c o n dk i n da n dt h e ns t u d yt h en u m e r i c a l s 0 1 u t i o n 8t ot h es y m m si n t e g r a le q u a t i o na sw e ua s 幽ec o n v e r g e n c eo ft h e s es o l u t i o n s k e yw o r d s ：h e l m h o l t ze q u a t i o n ；s y m m si n e g r a le q u a t i o no ft h es e c o n dh n d ；h a n k e l f i l c t i o n ；k a ks i n g u l a r i t y ；可s t r 6 m 8m e t h o d i i 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 劫锑 1 日期：占年，月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保尉、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 神签名：曼f 卜 、，f 日期i 群年o 月伊 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童迨塞坦奎垣溢压i 旦主生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：立夕 日期：，年 j 日 锄虢誓f 卜 导师签名：g fq 一 日期：祈g 月油 簪 ，免年 娩 者期 咋日 厦叩 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第一部分序言 本文主要讨论了由时间调和声波产生的阻尼边界条件的h e l m h o l t z 方程的数 值解： z n = 瓞2 百， z r ， ( 1 ) r = i z i ， 其中u = “( z ) ，r 是一条光滑的闭曲线，百是平面畔上以r 为其边界的有界区 域，n 为g 在边界r 处的单位外法向量， - ，i 为复常数，o ，i m o ： 当i m = o 时， o ，g 1 ( r ) 为一给定的连续函数，a 为正数 众所周知，问题( 1 ) 的形成过程可简单概述为：在一种均匀的媒介中( r 2 空 间中) 有一个有限的物体( 假设为g ) ，如果用一种声波去探测它，当入射的声波 碰到该物体时，声波必然产生散射我们可用一种设备在较远处接收到散射波 的信息根据物理学的知识，声波的运动可由速度位势u = 【，( 。，t ) 。n ；r z 百 来决定，而矿= u ( z ，) 满足波动方程 祟：c 2 矿 丽2 。凸u 在时间调和情况下，也就是声速度位势的形式为u ( 。，t ) = m u ( z ) e 一“t ) ，其 中u o 为频率，这时只与空间变量有关的“( z ) 满足h e l i i l h 0 1 t z 方程 u + 七2 u = 0 z q 并且在无穷远处要求满足s o m m e r f e l d 辐射条件 熙 筹一舭 = o ，r = l z r y r 人们对这类问题的研究已有较长的历史，研究这类问题很重要的理论意义 和应用价值，也是人们长期关心的焦点问题之一，并获得了一系列的重要成果 下面我们回顾一下前人在这个问题以及相关方面所做的工作情况 划裂 m 针二璺! 硕士学住论文 m a s t e r s t h e s i s 在文献 5 j 中，gc h s i a o 和r ，c m a c c a l y 首先于1 9 7 3 年研究了如下d i r i c h l e t 边界条件l a p l ”e 方程的求解问题： f “= o ， z g 【札= ， 茁r 1 ， ( 2 ) 其中g r 2 为有界单连通区域并且在边界处r 是解析的，g ( r ) 为一给定的 函数作者应用单层位势将( 2 ) 式转化为含有未知密度函数庐的第一类s y m m 型边界积分方程 删z ) _ _ ；上地) l n 卜鲋s ( ) = m ) ，z r 由于第一类边界积分方程是不适定的，作者采用离散正则化方法解决了上述关 于西( z ) 的方程的数值解，最后用积分方程理论证明了这些解的收敛性 k r e 8 s 于1 9 9 1 年在文献 2 2 】中，利用单层位势和双层位势的组合研究了d l r j c h 1 e t 边界条件的声波散射的解的存在唯一性问题 在此基础上，许多作者开始对n e u m a n n 、r o b i n 等边界条件的l 印1 ”e 方程， 以及n e u m a n n 边界条件的h e i m h o l t z 方程的求解问题进行了研究( 见文献7 1 ， 9 ， 1 3 ) 据我们所知，到目前为止，问题( 1 ) 的求解还没有被详细研究过我们知道 问题( 1 ) 的解的存在性和唯一性是容易得到的( 见文献 1 】) 本文采用的方法与 过去的作者所用的方法的不同之处在于：应用单层位势构造了问题( 1 ) 的解， 将问题( 1 ) 转化成与之等价的含有未知密度函数( z ) 第二类s y m m 型边界积分 方程 4 咖( z ) = 毋【z ) 一( 彤+ a s ) 庐( z ) = 一2 ，( z ) ，z r ，( 3 ) 其中s 7 ：g ( r ) 一e ( r ) 表示如下： 厂 ( s 庐) ( z ) = 2 砂( 掣) 西( z ，y ) d s ( f ) ，z r ， ( 删牡2 z 蛳) 裂d s ( 眈触 由第二类积分方程( 3 ) 的适定性，我们可以采用f s t r 衲方法直接讨论了关于 ( z ) 问题( 3 ) 的数值解：初略地讲就是可以得到一个序列t 呲) 作为问题( 3 ) 的数 值解最后我们对所得到的这些解进行收敛性分析，并给出了本文的两个主要 结论( 详细内容见本文第二部分) ； 定理2 o 对任一以2 7 r 为周期的连续函数妒，a 。妒都一致收敛于a 中其中 n n ，a 。妒和创分别由一纠和俐给出 定理2 4 对任意充分大的n n ，由以剀定义的序列算子 。存在有界逆算 子 颤1 ：a ( r ) 一a ( r ) ， 且a i l 是一致有界的，即 怄_ 、 以及有下面的误差估计，其中o 兰2 一1 ，”n ， l l 姚一妒f f 丁= _ 兀； 队a 。一a ) 妒l l + l i m 9 1 1 ) 整篇论文的安排如下： 第一部分介绍了阻尼边界条件的h e l m 血o l t z 方程的物理背景和相关问题研究 的历史进展在回顾前人工作的基础上叙述了本文的主要结果，并提出了方法 上的不同之处 第二部分主要讨论应用位势理论将阻尼边界问题转化为边界积分方程后， 我们用咖；m 数值方法所获得积分方程的近似解，并给出本文的主要结果 第三部分先给出三个主要引理及其证明，然后应用这些引理证明了第二部 分的主要结果 附注：本文的一些符号意义 本文所采用的数学符号绝大多数都是标准的，但为了本篇文章的完整性， 我们在这里补充凡点。 3 颇士学住论文 m a s t e r st h e s i s 在不致引起混淆的情况下，我们用g 0 = o ，1 ，2 ，) 有时甚至用c 来表示 正常数，并且在不同的不等式中，这些常数是可以变化的 e m ( g ) 表示为定义在区域g 噼上的m 次可微空间，其中o m o 。当 m = o 时，约定c r o ( g ) = g ( g ) 扩( r ) ( 1 p o 。) 记为通常意义下定义在r = ( 一。，+ 。) 上的p 空间当 p = 2 时，我们把 简记为 m 我们分别用豫，z 表示为实空间，复空间，n 表示正整数集 4 第二部分阻尼边界问题近似解及其主要结果 2 1 问题的转化及其解的存在唯一性 问题【1 ) 的解的唯一性是很容易得到的( 见文献 1 ) ，而存在性我们可以用 位势理论来构造，即，利用单层或双层位势构造其解，然后利用相应的边界条 件可得到一个边界积分方程，运用m e s z n e d h o l m 理论可以证明该边界积分方程 解的存在唯一性 为了数值解方法的简单，这里我们用单层位势构造其解，具体如下：由单 层位势定义 u ( z ) = 垂( z ，) 曲( 可) d s ( 可) z 豫2 r ( 4 ) 其中 垂侮，g ) = ；毯1 ( 陋一f ) z ：z 豫2 为h e l m h 0 1 t z 方程 u + 南2 u = o ，z 妒 掣 的基本解，联1 是第一类零阶h a n k e l 函数( 见附录) 则利用单层位势的跳跃 关系，该问题转化成：u ( 。) 为问题( 1 ) 的解的充分必要条件是密度函数c ( r ) 为第二类s y m m 型边界积分方程的解，即，西满足 a 咖( z ) = 咖( z ) 一( k 7 + a s ) ( 。) = 一2 ，( z ) ， z r ( 见文献【3 】) 其中s ：7 ：e ( f ) 一e ( r ) 表示如下： ( s 妒) ( 。) = 2 曲( 掣) 垂( 岱，可) d s ( ) z r ， j r ( 例班2 胁) 帮州n 州 于是对问题( 5 ) ，我们有 定理2j 假定 o ，a o ，则两m m 方程俐的解存在且唯一 5 ( 6 ) 证明：由于具有连续核的或者弱奇异性核的积分算子是紧算子，且紧算子 的线性组合也是紧算子( 见文献【1 1 ) ，所以由( 6 ) 、( 7 ) 的表示可知k 7 + a s ： a ( r ) 一e ( r ) 是紧算子。 设( j 一7 一a s ) 咖= o ，西c ( r ) 因为( 4 ) 表示的u ( z ) 是h e l m h 0 1 t z 方程的 辐射解，当 o ，a o 时，根据外阻尼边界条件问题解的存在性和唯一性 ( 见文献f 3 1 ) ，得u ( z ) = o z n 。运用单层位势的连续性( 见附录留) ，可知 + ( z ) = o ，。r ，从而u + ( z ) = u 一( z ) = ；s 妒( z ) = o ，z r ，于是s 咖( z ) = o ，z r ，其 中扎士( z ) = 1 i m “( z 士九竹( z ) ) 通过对边界r 的假设，易知“( z ) = o ，。石r ，因此( z ) ：o z 皿2 再一次 运用单层位势的跳跃关系，可得 曲+ 0 = 0 ，莎一曲= 0 从而，曲= o 所以，一一a s ：c r ( r ) 一c ( 1 1 ) 是单射根据r i e s f r e d h o h n 理论( 见 文献( 1 1 ，【2 1 ) ，一k 7 一 s 是双射的，且具有有界的逆算子( ，一k7 一) 、s ) ， 故s y m m 方程( 5 ) 的解存在且唯一证毕 口 有了存在性和唯一性后，我们就可以应用数值分析的方法求出s y m m 方程 ( 5 ) 的近似解，并进一步证明该近似勰的收敛性 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 2 s y m m 方程的参数化 设闭的光滑边界曲线r 可以用参数方程表示为 o 2 7 r 记z ( t ) = ( z ，( t ) ，z 。( t ) ) ，并假设m t ) l o ， o 、2 7 r 则积分方程( 5 ) 可以写为 ，2 f 似归帅) 一j ( ( ”) + a 呻，r ) m 圳r = 鲫) 其中曲( t ) = 西( 。 ) ) ，9 ( f ) = 一2 ，( z ( ) ) ，o t 2 w 且 m ) = 萼警器吼训卜州圳吲小吲蛐 对任意f 郡成立，嬲为第一类n 阶h a n k e l 函数( 见附录) 这里， s ( 下) = z i ( 下) 2 + 【。：( 丁) 1 2 ) ： r ( ，r ) = 茁- ( r ) 一z 。0 ) 】2 + f 。( r ) 一z 。( t ) 2 ) ， 蝎( tr ) = 一如( 胁( f ，r ) ) s ( r ) ， 尬r ) = m r ) 一去尬州n ( 4s i n 2 字) ， 螂，归 ；一；一去l n 【和) j ) 札 ( 8 ) 且核 厶、尬都是解析的 我们看到，( ，r ) 在扛r 处具有对数奇异性，为了进行数值计算，可将它 们分别分解为 ( t ，r ) = 去1 ( 打) 1 n ( 4s i n 2 字) + 2 ( t ，r ) 7 其中， 眦，小书等铲鬻) 阶h 水) - 州州酬咄 ) 飓( t ，r ) = ( t r ) 一去l ( t ，r ) l n ( 4 s i n 2 字) 则核 - 1 ，2 都是解析的，利用b e s s e l 函数和n e u m a n n 函数的性质，我们有 2 ( t ，t ) =土型型生塑二型塑墨盟 2 7 r 5 2 ( t ) 再记 ( ，t ) = ( ，r ) + m ( f ) ， k l ( t ，t ) = n 1 ( ，r ) + 掰1 纽f j 虬( t ，f j 一 _ 2 ( r ) 十柚如( t r ) 则。( ，f ) ，虬( t ，r ) 也是解析的，并且 即，扣去州 ) 1 n ( 4 s i n 2 字) + 脚，r ) 那么方程( 8 ) 可转化为 训归如) 一z “( 去吲 ) 1 n ( 4 s i n 2 字) + 眦啪卅) 把蝌( 9 ) 从而，( 9 ) 就是( 5 ) 的参数表达式 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 3s y m m 方程的数值解及其主要结果 下面我们用s 打拥方法( 见文献【1 】，f 1 2 ， 1 9 】) 求( 9 ) 的数值近似解 选取等距节点0 = 等，j = o ，1 ，2 ：，2 n 一1 ，n n ，由复化矩形公式，( 9 ) 的解 析部分可以表示为 小m r m r 肌：蓦驯渺，川叩n 对于方程( 9 ) 有对数奇异性的项，我们先对妒作三角插值( 见文献【1 ， 3 p n 妒= ，( 巧) l ， ，= 0 其中l 1 ，l 2 ，l 。为l a g r a n g e 基，且当t 0 ，j = o 1 ，2 一1 ，n n 时， 啪) = 扣+ 2 薹c o s 邮吲+ c o 州) ) = 去s t n 啡刊c 。t 半 于是( 9 ) 的奇异项转化为 去序眦州n ( 4 s i n 2 字) 打 z 去：”( 驯眦州n ( 4s i i l 2 字渺 ：去：2 ”蚓靳脚，) 1 n ( 4 s i n 2 字渺 2 去z 蚓靳脚，t 岬由2 字渺 9 f 1 0 1 2 n 一1 砂( 如) ，( ，巧) 砂( t ) j = 0 ( 1 3 ) 其中j = o ，l ，2 n 一1 ，n n ，且 妣) = 去z ”计) l n ( 4s i n 2 字渺 = 一壤去c 酬川卅扣吣1 m ， 从而由( 1 0 ) 和( 1 3 ) 可得积分方程( 9 ) 的算子4 可以表示成序列如，即 2 n 一1 一 a 批) = 砂( t ) 一 ( t ) ，( 如) + i 2 ( t ，) 黼，) 29 ( t ) j = o 因为方程( 9 ) 的奇异性只发生在等距节点屯= 等，j = o ，1 ，2 上，而在其它非节点处连续的，所以将方程( 1 5 ) 离散化可得到 ( 1 5 1 若 r 骱m “小：蚍埘也咄 ( 1 6 ) 其中，t ，j = o ，1 ，2 ，2 n 一1 ，n n ，且 砒= 妒( 赴) ，肼= 9 ( t 。) ：础卟一事萎扣警+ 饼) 这里的砒，就是我们所要求的边界积分方程( 9 ) 的数值近似解，从而也是( 5 ) 的 近似解 1 0 若记 ( 风妒) ( ) = 妒( 如) k ，( ，o ) 矽( ) ， ( 1 7 ) ( 刚= 去z “帅槲，州n ( 4 8 i n 2 字渺 ( 1 8 ) 则我们有如下主要结论： 定理2 2 序列风是集紧且逐点收敛的，即 这里n n d 。妒+ d 妒，v 世l 2 【o ，2 7 r 在定理22 成立的条件下，我们容易得到 定理2 3 对任一以2 ”为周期的连续函数讪，a 。掣都一致收敛千却，其中 n n a 妒和a 妒分别由r i 纠和俐给出 根据定理2 1 ，定理2 3 ，我们有如下收敛性结果 定理2 # 对任意充分大的n n ，由“剀定义的序列算子a 存在有界逆算 子如1 ：g ( r ) 一g ( i 、) ，且岛1 是一致有界的，即 a 一1 - 4 1 ( a a 。) 以及由f j 圳，r 9 j 所得的解有下面的误差估计，其中o z 2 n l ，n n f 1 9 1 妒。一妒l l 兰t 二 f 3 胍a 。一a ) 妒l l + i l 仇一9 l | ) ( 2 。) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三部分引理和主要结果的证明 在证明主要结果之前，我们先给出下面三个引理及其证明过程，这三个弓 理对主要结果的证明起着很重要的作用 引理3 ，方程f j u 确定的插值算子r ：g 【o ，2 7 r 一l 2 【o 2 ”】是一致有界的 证明：由l a g r a n g e 基的性质( 见文献【3 ，) 以及f 1 1 ) 可得 因此 该引理得证 r 妒i i i = ( r 吐，只。妒) ：如t 一( 一1 ) 一翥 ( 2 1 ) 钏训l 蝥篆i 序以溉d r s 恻l 蝥if k ( r 溉( r 渺 仇拦0 “” i i 妒l i 乙3 7 r r l | 俪 1 2 ( 一1 ) 一赤 ( 2 2 1 f 2 3 1 口 妒 一一 k“砂 一 | | l 一一 l 一脚 o 砂 o 、有i | r | | c 成立证毕 口 引理7 3 如果函数，2 【o ，2 叫被定义为 m ) = 去l n ( 4 s i n 2 ；) 、垤取 且记 ( z ) = ， 一t ) ，z r ，z + 2 n 口，v o ：2 7 r 】，n n ，那么下述等式成立 i = 击， ( 2 7 ) ， 1 _ 圳= 嘉妻扣m “m t 。i z 0 m _ _ o f 2 8 1 证明：因为，l 2 o ，2 ” ，所以可以考虑复型f 0 u r i e r 级数及其系数( 见文献【1 5 】) 我们有 ，( m ) = 去z “m ) e t 、m _ 0 士1 1 4 f 2 9 1 f 3 0 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 应用如下两个结果， 薹嘉 以及若，( z ) 是以2 ”为周期的任意可积函数，则有 + 2 ”，( z ) d 。= z 2 。，( z ) d z ， e 由于，2 o 2 ”3 ，记五= ，扛一t ) ，从而 2 f o ，2 州因此有 五( 。) 一去广 ( 。) 扩址 o “j 0 = 去厅c 矽出 ：三f “m ) 。呻+ 1 ) 如 z 7 rj t = j ，+ 2 ”，( z ) e i m 。：k e 。m t 去厅e “。 = ，( m ) e ” 利用下面积分式( 见文献 3 】， 1 1 ) 、 去z 2 “- n c as ，n 2 ；，e m ；。a z = 三击 1 5 m o m = 士1 2 f 3 1 1 硕士举位论文 m a s t e r s t h e s i s 以及p a r 8 e v a l 等式( 见文献 1 5 ) 我们可以得到 = l 五( m ) 1 2 = f j ：( m ) e “。1 2 0 m - - o c 0 一。 f “1 2 嘉。；叁。l 去卜辞妒酬2 = 赤。；量。嘉矽“卜嘉。；量。嘉 2 西， ( 3 2 ) 即( 2 7 ) 式成立 类似地，我们有 ，( m ) 一，c 。( m ) 去厅州”叶 因此再一次应用p a r s e v a l 等式可以得到， i 【 。一 ：旧 m z 。一 一 如 m e 功 h z 土打 。一 睁 | | m 一z 。一 睁 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s = 瞰m ) 一五。( m ) 1 2 0 # m _ _ o o 。；量。 并弛矽吲坪小“蛐1 2 嘉。量。l 新”m a 咖2 妒讲 ：三争土旧呐 4 俨。m 2 ” 即( 2 8 ) 式成立引理33 得证 现在我们开始主要结果的证明 定理2 2 的证明：应用( 1 3 ) 式以及引理3 1 和引理3 2 可得 从而 2 n l ( 风砂) ( ) = 蚍) t ( t 。o ) 跨( t ) ，= 0 去厅驯眦帅( 4 8 船字渺 = z 2 ”( f ：妒) ( r ) k 。，r ) ( r ) d r = ( ( r k l ) 妒， ) ， | i d 。妒l l o 。si ( r 耳，) 妒 1 1 2 sc l l l l z l i 妒i i 。 f i l 。 = c l j k ，| 1 。1 1 i l z ) 1 j 世i 1 。 1 7 f 3 4 1 口 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 根据一致有界原理和引理3 3 ，我们得到现在l 2 o ，2 7 r 】上是一致有界的 由f 1 4 ) 式以及引理3 1 和引理3 2 ，我们有 类似可证 2 n l l 碍计( t ) l ，= 0 l 硝哪( t t ) 一嘭州( t 。) ，= 0 = | | r | 1 。c 1 1 0 2 = i i r ，一 。) i i o 。 sc i 五，一，c 。 因此运用( 3 7 ) 式和( 3 8 ) 式，可得 1 ( 玩1 】f ，) ( t 1 ) 一( i k 妒) ( ：) 2 n 一1 = 忡，) l ( 也如) 碜( t ，) 一妒( 岛1 耳- ( t 。，幻) 碍“1 ( 屯) = o 2 n l i 妒( ) 【k ( ，o ) 一玛( t 。，圳碍8 ( t ) ，= 0 + 忡，) ( 坛，) 硝”( t - ) 一碍“1 ( t 。) f 3 7 1 f 3 8 1 c l j 妒1 1 0 。m a xl k ，( - ，0 ) 一k ( t ? ，0 ) | | i 。lj 。 + c i i 训i * m a x l k l ( 2 ，如) 川 。一 。i 】2 ( 3 9 ) 由引理3 3 以及函数妒，k - 的连续性可知v e o ，劭= 6 ( e o ，使得当 f i t 2 _ 6 ， 1 8 fd 一0f 打 ， 一伽 = 打r 如 t 厶 一 r 斯 ， 一舢 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 时，总有 l ( d 。妒) ( ) 一( 妒) ( 幻) | o ，使得怕- 10 o | 0 n ，使得当 n 0 时，有i i a 。一刮 5 ，故对任意充分大的n n ，有 i a 一1 ( a a 。) i lsl l a 一1 l i l l a 。一a | | c 丢= 若取= 1 ，则有 i _ 一1 ( 一a 。) | | 1 那么，由n e - m a n n 序列的性质( 见文献【2 1 ) ，得 一a 一1 ( a a 。) = a 一1 a 。， 的逆存在，且一致有界，即 | | 。一4 1 ( 以一a n ) ) 一1 i | 丁= 1 j _ i 南 从而4 。的逆存在，即 所以 故( 1 9 ) 成立 a 二1 = j a 一1 ( a 一_ 。) ) 一1 4 1 a ：1 | | = l i 一a 一1 ( a a 。) ) 一1 4 1 | | i l ，一a 一1 ( a a 。) ) 一1 | | l i 以一1 研， f 4 3 1 因为 a 。( 啦一妒) = ( a 。呲一a 妒) + ( a 妒一a 。妒) = ( 或一9 ) + ( a a 。) 妒， 所以 呲一妒= 4 二1 ( 肌一9 ) + ( a a 。) 妒) 因此 啦一妒1 | = o ，c “为正常数，k ：g g z 为连续核函数选择可积规则序列 吼g ) 为 ( q 。9 ) ( z ) = ( 咖( ) ，。g ， ( 4 8 ) 其中。( 竹( z ) 为实可积权函数，z 为可积点，j = 1 ，2 ，m n n 并且( 4 8 ) 对 应的积分方程为 ( q g ) ( z ) = u ，( i z 一掣i ) 9 ( 可) d y ， 。g ， ( 4 9 ) g 以及( 4 7 ) 对应的数值积分算子序列 a 。咖) 为 ( a 。( z ) = 。( z ) o ，z 妒) ( z ) 。 。g ( 5 0 ) k = 1 定理席1 p z e 9 剀：若似剐式中骗对任意多项式9 ，有l i mq 。( 9 ) 一q ( 9 ) n ? n + o c o 是一致有界的，即存在正常数c ，使得羔1i 凹l c ，n 则序列( ) 是收 敛的 z 一2 卫p +叱 一醛 当 二 式 公 进 渐的酹 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 定理劈2 ：假定“别中虢9 对于任意。g 一致收敛，那么线性算子序列 g ：e ( g ) 一c ( g ) 在g 上一致收敛的充分必要条件是q 。9 一q 9 ，当n 一。时， 对于任意g 在g 上的稠密子集g ( g ) 上一致成立 定理席3 ：假定求积公式( ) 收敛，且实可积权函数弩( z ) 满足条件 慧骝薹| q ( 沪。，坛g 则序列 a 。) 是集紧的，并且是逐点收敛的，即 a 。曲一a 曲， _ o 。，v 曲g ( g ) 够单层位势及其性质( 见文献 2 j ，f 3 ， 1 4 ) 定义够1 j 给定一个密度函数妒e ( r ) ，函数 u ( z ) ：垂( z ：g ) f ( 剪) d s ( 掣) 。受2 r ( 5 1 ) j r 被称为单层位势，其中 为肌f m o 地方程 圣( 删) - ；硪1 ( i 。一9 1 ) ，。舭，r 2 u + 七2 姐一o 。豫2 笋) 的基本解，硪1 ( z ) 为第一类口阶执础e f 函数 性质管2 由p 砂定义的单层位势“( z ) g ( 豫2 ) u ( ! ) = ，r 垂( 。，y ) 妒( 秽) d 5 ( 分) ，。i 、； 等( z ) = 矗i 妄斜妒( ) 如( ) 千 妒( 。) ，z r ，其中n ( z ) 表示在点z r 处的单 位外法向量，且等( z ) = 糯( n ( z ) ，9 r n d u ( z 土胁( z ) ) ) 。 2 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 1 a n d r e a sk i r 8 c h a ni n t r o d u c t i o nt ot h em a t h e m “i c a lt h e o r yo f i n v e r s ep r o b l e m s s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy 0 r k ，1 9 9 6 2 】d c o l t o a n dr k r e s s i n w r s e o u s t i ca n de l e c t r o m a g e t i cs c a t t e r i n gt h e o r hs p r i n g e 卜 v e r l a g ，n e wy 0 r k ，1 9 9 8 3 】d c o l t o na n dr 王( r 髑s i n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d si ns c 砒t e r i n gt h o e uw i l e v - i n t e r s c k n c e p u b l i “i o n n e wy o r k 、1 9 8 3 4 d k i c a i da n dw c h e e yn u m e r i c a la n 出y s i s 机械工业出版社，北京， 2 0 0 3 5 gch s i a oa n dr c m a c c 锄、fs o l u t i o no fb o u n d a r yv 越u ep r o b l e m sb yi n t e g r a le q u a t i o n s o ft h en r s tl 【i n d j m a t h a n a l a p p l ，5 8 ：“9 4 8 l ，1 9 7 7 6 g h 戈卢布矩阵计算科学出版社，北京，2 0 0 2 7 jg r a e sa n dpm p r e n t e r n u m e r i c a li t e r a t i v e 丘l t e r sa p p h e dt o 矗r s tk i n dl ! r e d h o l mi 址e g r a l e q u a t i o n s n u m e r m a t h ，3 0 ：2 8 1 - 2 9 9 ， 1 9 7 8 8 】j s t o e r 舢l dr b u l i r s c h 数值分析引论南京大学出版社，南京， 1 9 9 5 9 k e a t k i n s o na n di h s l o a n t h ei n 皿e r i c a ls o l u t i 0 i lo f 矗r s t - k i n dl o g a r i t h m i c - k e r n e li n t e _ f a le q u a t i o n so ns m o o t ho p e n 觚c s m a t h c o m p u t ，5 6 ：1 1 9