（计算数学专业论文）arfima模型参数贝叶斯估计的渐近性质.pdf

中文摘要 v 对于平稳的a r m a 过程来说，自协方差函数依负指数下降至0 ，速度比较快， 通常称该过程为短记忆过程。但在许多现实的时间序列过程中，自协方差函数依 负幂指数下降，下降速度较慢，即时间序列观察值之间具有较强的依赖性，称该 过程是长记忆过程。g r a n g e r ，j o y e a t l x 和h o s k i n g 提出并定义了分整自回归移动平 均模型，简称a r f i m a 模型。这类平稳的时间序列过程展现出短记忆和长记忆的 行为特征。此类时间序列在经济、金融、地理和水文等方面有着广泛的实际应 用。在过去的一段时间里，人们提出了许多方法来估计该模型的参数，比如极大 似然估计和贝叶斯方法。与其他估计方法相比较，贝叶斯方法由于考虑了模型参 数的先验信息，所得到的估计更为准确。而且，近年来随着马尔可夫链蒙特卡罗 方法和吉布斯算法的改进，参数的贝叶斯估计方法更加可行和有效。这一点已被 不少学者得以实例来证明。但由于贝叶斯估计形式的复杂性，到目前为止还没有 人从理论上证明a r f i m a 模型的贝叶斯估计的大样本性质。在本文中，首先根据 贝叶斯定理得到a r f l m a 模型参数的后验边缘分布，并选择后验边缘分布的众数 作为参数的估计值。接下来，参照季节性a r f i m a 模型的极大似然估计的渐进性 质的证明思路，本文证明了模型参数的贝叶斯估计具有相合性、有效性和渐近正 态性。该证明过程主要是对模型的谱密度函数作了近似计算。最后，本文对参数 的贝叶斯估计方法的大样本性质进行仿真模拟，结果表明当时间序列样本足够大 时，参数的估计值越来越接近于真实值。 关键词：贝叶斯方法，a r f i m a 模型，后验分布，渐近性质 a b s t r a c t i nas t a t i o n a r ya r m ap r o c e s s ，t h ea u t o c o r r e l a t i o nd e c a y sf a s tt o0a ta ne x p o - n e n t i a lr a t e t h i sp r o c e s si sc a l l e ds h o r t - m e m o r yp r o c e s s y e ti nm a n ye m p i r i c a l t i m es e r i e s ，t h ea u t o c o r r e l a t i o nd e c a y st o0s l o w l ya n dt h ed e p e n d e n c eb e t w e e nd m - t a u to b s e r v a t i o n si sv e r ys t r o n g t h i 8b e h a v i o ri sn a m e d 蠲l o n g - m e m o r y g r a n g e r 。 j o y e a u xa n dh o s k i n gp r o p o s e da u t o r e g r e s s i v ef r a c t i o n a l l yi n t e g r a t e dm o v i n g - a v e r a g e ( a r f i m a ) m o d e l s ，w h i c he x h i b i tl o n g - m e m o r ya n ds h o r t - m e m o r yb e h a v i o r m a n y r e s e a r c h e r sh a v ef o u n da p p l i c a t i o no ft h ea r f l m am o d e i si ns e v e r a la r e a ss u c ha s e c o n o m i e s ，f i n a n c e ，g e o l o g ya n dh y d r o l o g ye t c i nt h e l a s td e c a d e s ，an u m b e ro fp a - r a m e t e re s t i m a t i o np r o e s d u r e sh a v eb e e np r o p o s e d s u c h 嬲t h em a x i m u ml i k e l i h o o d e s t i m a t i o na n db a y e s i a nm e t h o d s t h eb a y e s i a ne s t i m a t i o n w h i c ht a k e st h ep r i o r i n f o r m a t i o no fp a r a m e t e r si n t oc o n s i d e r a t i o n ，i sm o r ee f f i c i e n tt h a no t h e re s t i m a t i o n t e c h n i q u e s f 、l r t h e r m o r e t h ed e v e l o p m e n to fm a r k o vc h a i nm o n t ec a r l om e t h o d s a n dg i b b ss a m p l i n ga l g o r i t h mh a v em a d eb a y e s i a nm e t h o dc o m p u t a t i o n a l l yf e a s i - b l ea n dm o r ee f f i c i e n t ，w h i c hh a sb e e ni l l n s t r a t e db ym a n yr e s e a r c h e r sv i aa p p l y i n g t or e a l - f i f ee x a m p l e s b u tt h e r ei sn oa n yr e s e a r c ha b o u tt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e s o ft h eb a y e s i a ne s t i m a t i o nf o rt h ea r f i m am o d e l sb e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo f t h ep a r a m e t e r se s t i m a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h em a r g i n a lp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o no ft h e p a r a m e t e ri sp r e s e n t e db yb a y e st h e o r e ma n dw ec h o o s et h em o d eo ft h em a r g i n a l p o s t e r i o rd i s t r i b u t i o na st h ee s t i m a t o r t h e n ，f o l l o w e dt h ea n a l y s i so ft h ea s y m p o - t o t i cp r o p e r t i e so fm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nf o rt h es e a s o n a la r f i m am o d e l s w ep r o v et h ec o n s i s t e n c y , e f f i c i e n c ya n da s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h eb a y e s i a ne s t i - m a t o r n ep r o o ft e c h n i q u ei sb a s e do na na p p r o x i m a t i o no ft h es p e c t r a ld e n s i t y p r o p o s e db yh a n n a n f i n a l l y , l a r g es a m p l ep e r f o r m a n c eo ft h eb a y e s i a ne s t i m a t e s i 8e x a m i n e db ys i m u l a t i o n s i ti 8s h o w nt h a tt h ee s t i m a t e sb e h a v ew e l lw h e nt h e s a m p l es i z ei 8l a r g ee n o u g h k e yw o r d s ：b a y e s i a nm e t h o d s ；a r f i m am o d e l s ；p o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n ；a s y m p - t o t i cp r o p e r t i e s 1 v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期； 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： a c k n o w l e d g e m e n t s m yd e e p e s tg r a t i t u d eg o e sf i r s ta n df o r e m o s tt op r o f e s s o ry a n gj i l o n ga n dd u ) ( i l l l i f o rt h e i rc o n s t a n te n c o u r a g e m e n ta n dg u i d a n c e t h e yh a v ew a l k e dm et h r o u g h a l lt h es t a g e so ft h ew r i t i n go ft h i st h e s i s w i t h o u tt h e i rc o n s i s t e n ta n di l l u m i n a t i n g i n s t r u c t i o n t h i st h e s i sc o u l dn o th a v er e a c h e di t sp r e s e n tf o r m ia ma l s og r e a t l y i n d e x e dt ot h ep r o f e s s o r sa n dt e a c h e r sa tt h ed e p a r t m e n to ff i n a n c i a ls t a t i s t i c s ： d e a nl i ng u o x i a n g ，p r o f e s s o rw a n gx i a o q i a n ，w h oh a v ei n s t r u c t e da n dh e l p e dm e al o ti nt h ep a s tt h r e ey e a r s l a s tm yt h a n k sw o u l dg ot om yb e l o v e df a m i l yf o r t h e i rl o v i n gc o n s i d e r a t i o n sa n dg r e a tc o n f i d e n c ei nm ea l lt h r o u g ht h e s ey e a r s ia l s o o w em ys i n c e r eg r a t i t u d et om yf r i e n d sa n dm yf e l l o wc l a s s m a t e sw h og a v e 蹴t h e i r h e l pa n dt i m ei nl i s t e n i n gt om ea n dh e l p i n gm ew o r ko u tm yp r o b l e m sd u r i n gt h e d i f f i c u l tc o u r s eo ft h et h e s i s n a n j i n gj i a n g s u p e o p l e 8r e p u b l i co fc h i n a m a r c h5 ，2 0 0 7 i i i h o n gz h a o p i n g c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n 1 1d e f i n i t i o n so fa r f i m am o d e l s i na t t e m p t st ou n d e r s t a n dt h ew o r l da r o u n du s ，o b s e r v a t i o n sa r ef r e q u e n t l ym a d e s e q u e n t i a l l yo v e ft i m e v a l u e si nt h ef u t u r ed e p e n d ，u s u a l l yi na s t o e h a s t i cm a n n e r ， o nt h eo b s e r v a t i o n sa v a i l a b l ea tp r e s e n t s u c hd e p e n d e n c em a k e si tw o r t h w h i l et o p r e d i c tt h ef u t u r ef r o mi t sp a s t i n d e e d ，w ew i l ld e p i c tt h eu n d e r l y i n gd y n a m i c s f r o mw h i c ht h eo b s e r v e dd a t aa r eg e n e r a t e da n dw i l lt h e r e f o r ef o r e c a s ta n dp o s s i b l y c o n t r o lf u t u r ee v e n t s t i m es e r i e sa n a l y s i sd e a l sw i t hr e c o r d st h a ta r ec o l l e c t e do v e rt i m e t h eo b j e c - t i v e so ft i m es e r i e sa n a l y s i sa r et ou n d e r s t a n dt h eu n d e r l y i n gd y n a m i c s ，t of o r e c a s t f u t u r ee v e n t sa n dt oc o n t r o lf u t u r ee v e n t sv i ai n t e r v e n t i o n t h ea n a l y s i sr e s t so n p r o p e rs t a t i s t i c a lm o d e l i n g ，i n c l u d i n gm o d e ls e l e c t i n ga n dp a r a m e t e re s t i m a t i o n t h em o s tp o p u l a rc l a s so fl i n e a rt i m es e r i e sm o d e l sc o n s i s t so fa u t o r e g r e s s i v e m o v i n ga v e r a g e ( a r m a ) m o d e l s ，i n c l u d i n gp u r e l ya u t o r e g r e s s i v e ( a r ) a n dp u r e l y m o v i n g - a v e r a g e ( m a ) m o d e l sa ss p e c i a lc a s e s a r m am o d e l sa r ef r e q u e n t l yu s e d t om o d e ll i n e a rd y n a m i cs t r u c t u r e s ，t od e p i c tl i n e a rr e l a t i o n s h i pa m o n g l a g g e dv a r i - a 1 ) l e 8 a n dt os e r v ea sv e h i c l e sf o rl i n e a rf o r e c a s t i n g ( 1 ) a rm o d e l s a na u t o r e g r e s s i v em o d e lo fo r d e rp 1i sd e f i n e da 8 妒( b ) 甄= 龟， w h e r epa r ei n t e g e r s ，( b ) = 1 一c t b 一一如b pa r et h ea u t o r e g r e s s i v eo p e r a - t o t s ，b x t 。x t 一1 ，a n dt h e 白a r ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da sn o r m a l 1 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 2 r a n d o mv a r i a b l e sw i t hm e a nz e r oa n dv a r i a n c e 矿 t h ea u t o r e g r e s e i v em o d e lr e p r e s e n t st h ec u r r e n ts t a t ex tt h r o u g hi t si m m e d i a t ep p a s t v a l u e s z 一1 ，轨，i n a l i n e a rr e g r e s s i o n f o r m t h e m o d e l i s e a s y t o i m p l e m e n t a n dt h e r e f o r ei sa r g u a b l yt h em o s tp o p u l a rt i m es e r i e sm o d e li np r a c t i c e ( 2 ) m am o d e l s am o v i n ga v e r a g ep r o c e s sw i t ho r d e rq 1i sd e f i n e d 鼬 x t = 日( b ) 龟， w h e r eqa r ei n t e g e r s ，0 ( b ) = 1 0 1 b 一一如b 。a r et h em o v i n ga v e r a g eo p e r a - t o r s ，b x t = x t l ，a n dt h ef ta r ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da sn o r m a l r a n d o mv a r i a b l e sw i t hm e a nz e r oa n dy 目t l i a n c e0 - 2 a nm am o d e le x p r e s s e sat i m es e r i e sa sam o v i n ga v e r a g eo f8w h i t en o i s e p r o c e s s t h ec o r r e l a t i o nb e t w e e nz ta n dz t k i sd u et ot h ef a c tt h a tt h e ym a y d e p e n do nt h e8 a l n ee t j 8 o b v i o u s l y , 观a n d x t ka r eu n c o r r e l a t e dw h e nk q ( 3 ) a r m am o d e l s t h ea ra n dm ae l a t e 8c a nb ef u r t h e re n l a r g e dt om o d e lm o r ec o m p h c a t e d d y n a m i c so ft i m es e r i e s c o m b i n i n ga ra n dm a f o r m st o g e t h e ry i e l d st h ep o p n l a r a u t o r e g r e s s i v em o v i n ga v e r a g e ( a r m a ) m o d e l sd e f i n e da s 毋( b ) 貌= 口( b ) 龟 w h e r e pa n d q a r e i n t e g e r s ，( b ) = 1 - 妒1 b 一如b pa n do ( b ) = 1 0 i b 一一 以b qa r et h ea u t o r e g r e s s i v ea n dm o v i n ga v e r a g eo p e r a t o r s ，r e s p e c t i v e l y , b x t 。茁t 一1 ， a n dt h e “a r ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da sn o r m a lr a n d o mv a r i a b l e s w i t hm e a nz e r oa n dv a r i a n c e 矿w ew r i t e 现) 一a r m a 妇，口) i nas t a t i o n a r ya r m a p r o c e s s ，t h es p e c t r a ld e n s i t yi sb o u n d e d a tt h ef r e q u e n c y u=0a n dt h ea u t o c o r r e l a t i o nd e c a y st o0v e r yr a p i d l y y e ti nm a n ye m p i r i c a l t i m es e r i e s ，e s p e c i a l l yt h o s eo fe c o n o m i c sa n dg e o - p h y s i c s ，t h ed e p e n d e n c eb e t w e e n d i s t a n to b s e r v a t i o ni ss os t r o n gt h a ta r m am o d e l sa r eu n a b l et oe x p r e s st h es p e c - t r a ld e n s i t yo fl o wf r e q u e n c i e sa d e q u a t e l y h e n c e a t t e n t i o nh a db e e np a i dt ot w op a r a m e t r i cm o d e l st h a th a v eu n b o u n d e d s p e c t r a ld e n s i t i e sa tu = 0a n da u t o c o r r e l a t i o nt h a td e c a yt o0m o r es l o w l yt h a n t h a to fa na r m am o d e l t h ef i r s t1 1 1 0 d e lc a l l e daf r a c t i o n a lg a u s s i a nn o i s e ，w a s i n t r o d u c e db ym a n d e l b r o ta n dv a nn e s s ( 1 9 6 8 ) a n dh a sb e e nu s e dt oa n a l y z eg e o - p h y s i c a lt i m es e r i e s t h es e c o n dm o d e l w a sp r o p o s e db yg r a n g e ra n dj o y e u x ( 1 9 8 0 ) c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n3 a n dh o s k i n g ( 1 9 8 1 ) t oa n a l y z eat i m es e r i e st h a th a sa nu n b o u n d e ds p e c t r a ld e n s i t y a tu = 0b u t t h ef i r s td i f f e r e n c eo fw h i c hh a ss p e c t r a ld e n s i t yv a n i s h i n ga t 叫= 0 t h ew e l l - k n o w nc l a s so fl o n g - m e m o r ym o d e l si sc a l l e dt h ea u t o r e g r e s s i v ef r a c t i o n a l l y i n t e g r a t e dm o v i n ga v e r a g e ( a r f i m a ) p r o c e s s e s a na r f i m a0 ，d ，q ) p r o c e s s 耽，i sd e f i n e db y ， 庐) ( 1 一b ) d g g t = o ( b ) e t ( 1 1 ) w h e r epa n dga x ei n t e g e r s ，d i sr e a l ，妒( b ) = 1 一妒1 b 一一如b pa n d a ( b 1 = 1 一日l 口一一o q b qa x et h ea u t o r e g r e e s i v ea n dm o v i n ga v e r a g eo p e r a t o r s ，r e - s p e c t i v e l y , b x t = x t 一1 ，t h e 屯a x ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da sn o r m a l r a n d o mv a r i a b l e sw i t hm e a nz e r oa n dv a r i a n c eo - 2a n dt h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n c eo p e r a - 、 t o r i 8 d e f i n e d b y a b i n o m i a l s e r i 髑( 1 一b ) 4 ：登f d l ：1 一b d + 亟等韭b 2 f o j u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h er o o t so fp o l y n o m i a h 妒( 口) a n do ( b ) a r eo u t s i d et h e u n i tc i r c l ea n di d i d 0 s o t h a t ，7 r ( 妒1 ) o c ；1 b yb a y e s t h e o r e m ， ”( 妒z 1 ) o ( l ( 1 妒1 ) 7 f ( 妒1 ) o c ( 仃2 ) 一孚i q 。一唧 一刍磁孵1 ) c h a p t e r2 ba y e s l a ne s t i m a t i o nb a s e do np o s t e r i o rm o d e s8 t h u s ，t h em a r g i n a lp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o no ft h ep a r a m e t e r 妒： 丌( 妒i j 。) o c ( 矿) 一半i 一e 印t 一去x 瓣：1 x n ) 曲 o c l 一a 七“) e 印 一刍磁q 二1 蜀) 出 2 一1 r ( ；) i 一( 磁簖1 ) 一2 t h e l o gf u n c t i o no f 丌( 妒l x 。) i s ： l n 【丌( 妒i ) 】= ( ；一1 ) h 2 + 蝴( ；) 一j 1l n l 瓯| - 罢伽( 磁簖1 墨) w h e r eq 二1i sp o s i t i v ed e f i n i t e t h e n ， 一三防( 妒i ) 】一；( 争一1 ) 瑚一击h r ( ) + l n l i + ；( k q 二1 矗) l e t 厶。7 r ( 妒) b e 一击【丌( 妒i ) 】，u n l e s so t h e r w i s es t a t e d ，w ew r i t e 丌( 妒1 ) ( k ) 8 s7 r ( 妒) ，q 。 鹪qa n d 兄鹪xh e r e i n i no r d e rt oe s t i m a t e 曲w ec a l lc a l c u l a t et h em e a no rm o d ef r o mt h em a r g i n a l p o s t e r i o rd i s t r i b u t i o no f 曲t h em e a ne q u a l st ot h em o d eo ft h ed i s t r i b u t i o ni ft h e p o s t e r i o rd i s t r i b u t i o no f 妒i ss y m m e t r i c h o w e v e r ，i ft h ed i s t r i b u t i o ni sn o ts y m - m e t r i ct h e yd on o te q u a lt oe a c ho t b e r f u r t h e r m o r e ，t h em e a nm u s tb ec a l c u l a t e d n u m e r i c a l l y b u ti ti 8m o r ee a s i e rt oc a l c u l a t et h em o d eb yo p t i m i z a t i o nm e t h o d s s ow ew i l lc h o o s et h em o d ea 8t h ee s t i m a t i o no fp a r a m e t e r 曲 t h ea p p r o x i m a t eb a y e s i a ne s t i m a t o r 讥o f 妒m a x i m i z e s7 r ( 妒i ) a n dt h el o g f u n c t i o ni sm o n o t o n i c ，s ow ec a ne s t i m a t e 妒b ys o l v i n gt h ee q u a t i o n ： v 厶1 7 r 似) = 0 w h e r e ”v ”d e n o t e st h ed i f f e r e n c i n g o b d o u s l y 以h a st h ei n t e r p r e t a t i o no fb e i n g t h e ”m o s th k e l y v a l u eo f 妒，g i v e nt h ep r i o ra n dt h es a m p l e s ot h eb a y e s i a n e s t i m a t o rg i v e na b o v ei ss i m i l a rw i t ht h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o ra n dw ew i l l i l l u s t r a t et h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft h eb a y e s i a ne s t i m a t o rf o l l o w i n gt h er e s e a r c h o nt h a to ft h em a x i m u mh k e l i h o o de s t i m a t o r c h a p t e r3 p r e l i m i n a r yt h e o r y t h ef o l l o w e dl e m m a ss t u d yt h ep r o p e r t i e so fag e n e r a lc l a s so fg a u s s i a nl o n g - m e m o r yp r o c e s s e sw i t hs p e c t r a ld e n s i t i e ss p e c i f i e db y r ，m f ( w ) = h ( w ) 1 w i - 0 兀兀i u 一1 1 t ， 硝 。 ( 3 1 )r m i 、， 厶( u ) = h ( w ) 1 w i 一。i i 【( 1 一叩) 2 + r l ni u 一“i 】一m = 1 3 = 1 w h e r eu ( 一丌，丌】，o = 2 d ，0 a ，啦1 ，i = 1 ，r ，h ( w ) i sa s y m m e t r i c ， s t r i c t l yp o s i t i v e ，c o n t i n u o u sa n db o u n d e df u n c t i o na n d 0a r ek n o w np o l e sf o r j = 1 ，砚，i = 1 ，r i nw h a tf o l l o w s ，i | j ja n d i i d e n o t et h es p e c t r a la n dt h e e u c l i d e a nn o n n ，r e s p e c t i v e l y , i e i i a i i = s u p 以刁五a n di a l = 撕丽 i i x l l = 1 i n a d d i t i o n , i fa i sav e c t o ro fm a t r i c e sa = 【a 1 ，山】t h e ni i i a i id e n o t e s 、；：l0 山盯t h e s el e m m a sh a v eb e e np r o v e db yw p a l m aa n dn h c h a n ( 3 0 0 5 ) l e m m a1 l e t ，( u ) b eg i v e ni ne q n ( 3 1 ) l e tg ( u ) ob es u c ht h a t g ( w ) 矗 t h e n ，t h e r ee x i s t sa c o n s t a n tk 0 ，n o td e p e n d i n go ngo r ，a n d0 p 1s u c h t h a t f o r 叼【j 1 ，1 】， ，f i 厶( u ) f ( w ) l g ( w ) d u k m g o 一1 1 p j f 9 c h a p t e r3 ，p r e l i m i n a r yt h e o r y p r o o f c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd e c o m p o s i t i o n 1 0 j 二霄i 厶( u ) 一，) k p ) 如 = j 二，( u ) k ( u ) g ) 幽 ( 3 2 ) = j l ，0 ) k ) 9 ) 如+ 厶， ) k ) 9 ) 幽 w h e r e k d ) = l 锱一1 i ，如= 卜| ( 1 刊去 a r e n e i g h b o u r h o o d s a r o u n d e a c h d i s t i n c t p o l e w j f o r i = 1 ，r , j = 1 ，佻，m = m a 墨 m l ，a n da = ( 一7 r ，丌】ua j o b s e r v et h a tf o r ，7s u f f i c i e n t l yc l o s et o1 ，t h e s e t sa 莳a r ed i s j o i n t t op r o v et h el e m m a ，i ts u f l l c i e st os h o wt h a te a c ht e r mi n ( 3 2 ) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s ： ，0 ) p ) 9 p ) d 坞i ，7 1 l ， ( 3 3 ) j ， f o rl = 1 ，r ，j = 1 ，佻，a n d 一f ( w ) h _ ( u ) 9 ( 叫) c 幻k m g l y 一1 1 9 ， ( 3 4 ) w h e r eki sa p o s i t i v ec o n s t a n tn o td e p e n d i n go i lgo r ，a n dpi sa n u m b e rb e t w e e n 0a n d l t oe s t a b l i s h ( 3 3 ) ，w ef i r s ts h o w t h a t ) i su n i f o r m l yb o u n d e df o r 叩【j 1 ，1 1a n d o j ( 一7 r ，丌1 o b s e r v et h a t l r i p ) = i a ( 最) 一1 i ， l i f f i l1 w h e r e 最2 翼1 0 3 - 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