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课 程 教 学 大 纲(理论课)课 程 名 称： 数值分析 适 用 专 业：数学与应用数学 课 程 类 别： 学科基础课程 制 订 时 间： 2006年8月 数学与计算机科学学院 制数值分析课程教学大纲（2000年制订，2006年修订）一、课程代码： 0501121012二、课程类别：学科基础课程三、预修课程：数学分析、高等代数、常微分方程、高级语言程序设计四、学 分： 5学分五、学 时： 108学时（其中实验部分36学时）六、课程概述：数值分析是我院数学与应用数学专业学生的一门专业必修课，该课程的研究对象是从科学与工程问题中归纳出来的数学模型，它是研究如何利用计算机通过数值运算求出数学模型数值解的方法和算法的科学。数值分析又称为计算方法或数值计算方法，由数值逼近、数值代数和微分方程的数值解法三部分构成，具体内容有：代数插值、函数逼近、数值积分与数值微分、解非线性方程的迭代法、解线性代数方程组的直接法、解线性代数方程组的迭代法、常微分方程初值问题的数值解法等。七、教学目的：本课程主要向学生介绍数值分析的基本方法以及数值分析研究中的一些较新的成果。通过教学使学生掌握各种常用数值算法的构造原理和过程分析，培养学生良好的数学思维能力，为进一步的专业学习打下坚实的基础，同时，通过本课程的学习，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，为工程技术的应用提供必要的手段，为培养高素质的人才打下一个良好的基础。八、学时分配表教学内容(章)理论学时实验学时习题课其它备注第一章 引论42第二章 插值与逼近2010第三章 数值积分与数值微分126第四章 非线性方程的数值解法84第五章 线性代数方程组的数值解法2010第六章 常微分方程初值问题的数值解法84九、教学基本内容： 第一章 引论教学要求：通过本章的学习使学生了解数值分析的研究对象、主要方法及误差的分类，掌握有效数字位数的确定以及设计算法过程中应注意的一些事项。重点：有效数字位数的确定和设计算法过程中应注意的一些事项。难点：误差限和有效数字概念的理解。本章课外作业：第23页，2、6。教学内容：一、 数值计算方法的对象和特点（2学时）数值分析在解决实际问题中的作用、研究对象和主要研究方法及误差的来源；二、误差及近似计算中需要注意的一些问题（2学时）绝对误差,相对误差和有效数字的概念及数值计算中应注意的一些问题.第二章 插值与逼近教学要求：通过本章的学习使学生掌握Lagrange插值、Newton插值和Hermite插值函数的求法及其误差表达式的证明方法；了解三次样条插值函数的求法及正交多项式的性质和构造；掌握最佳平方逼近函数的求法；会进行曲线拟合。重点：插值函数的求法及其误差表达式的证明方法和最佳平方逼近函数的求法。难点：三次样条插值函数及正交多项式。本章课外作业：第99-102页，1、2、5、6、9、10、14、16。教学内容：一、 插值的基本概念及拉格朗日插值（2学时）代数插值及其存在唯一性定理和Lagrange插值多项式的构造方法.二、插值余项及牛顿插值（4学时）插值余项的表达式及其证明和应用、差商的概念及性质、Newton插值公式,差分及等距结点的插值公式.三、Hermite插值（2学时）两类特殊的Hermite插值多项式的构造及余项的表达式和证明.四、三次样条插值（4学时）分段线性插值和分段三次Hermite插值公式及其误差估计和三次样条插值的概念、三转角方程组的推导及用三转角方程组求三次样条插值的方法.五、正交多项式（4学时）权函数,内积,正交性的概念及正交多项式的三个重要性质的证明、常用的Chebyshev多项式,Legendre多项式,Lagurre多项式和Hermite多项式的定义及性质的推导.六、最佳平方逼近（2学时）法方程组的推导及最佳平方逼近多项式的构造方法.七、曲线拟合的最小二乘法（2学时）利用数据表如何进行最小二乘拟合.第三章 数值积分与数值微分教学要求： 通过本章的学习使学生掌握求定积分近似值的Newton-Cotes公式和Guass型求积公式的构造及其代数精度，理解各种复化求积公式和Richardson外推算法的思想，会用Romberg求积法，了解数值微分的基本思想方法。重点：Newton-Cotes公式、复化求积公式和Guass型求积公式。难点：Romberg求积算法和Guass型求积公式的构造。本章课外作业：第163-165页，1、2、5、7、9、10。教学内容：一、 数值积分概述及Newton-Cotes求积公式（4学时）代数精度及Newton-Cotes求积公式的推导、Newton-Cotes求积公式的余项和稳定性及复合求积公式.二、龙贝格求积公式（2学时）外推算法及Romberg求积算法.三、高斯求积方法（4学时）Gauss求积公式的概念及其构造、 Gauss求积公式的余项及其稳定性和收敛性,带权Gauss求积公式的构造.四、数值微分（2学时）常用的数值微分公式第四章 非线性方程的数值解法教学要求：通过本章的学习使学生理解求解非线性方程组的各种迭代公式构造的基本思想，掌握求解非线性方程的二分法、简单迭代法、牛顿迭代法和弦截法，会判定迭代的敛散性，掌握求解非线性方程组的迭代法的收敛阶和加速收敛方法。重点：解非线性方程组的牛顿迭代法。难点：求解非线性方程组的迭代法的收敛阶和加速收敛方法。 本章课外作业：第196-197页，1、2、3、4。教学内容：一、 二分法（2学时）求非线性方程的根的二分法算法.二、 迭代法（2学时）迭代法的基本思想及迭代法的局部收敛性.三、 迭代法的收敛阶和加速收敛方法（2学时）收敛阶的确定方法及Aitken加速收敛方法四、 牛顿迭代法及弦截法（2学时）Newton迭代法的迭代公式及收敛性,重根的加速收敛法.第五章 线性代数方程组的数值解法教学要求：通过本章的学习使学生理解求解线性代数方程组近似解的高斯顺序消去法、列主元素消去法、LU分解（包括Doolittle分解、Crout分解）、对称正定方程组的平方根法和LDLT分解及解三对角方程组的追赶法的思想并掌握其算法，同时，使学生了解求解线性代数方程组近似解的迭代法的思想，掌握三种常用的向量范数、矩阵范数及谱半径的求法，掌握迭代公式收敛的条件，掌握Jacobi迭代、Seidel迭代法，理解逐次超松驰迭代法的思想，会使用判别敛散性的几个常用条件判定迭代的敛散性。重点：各种算法的构造及迭代敛散性的判定方法和向量范数、矩阵范数、谱半径的求法。难点：各种算法的构造和逐次超松驰迭代法及其相应的理论部分。本章课外作业：第286-289页，2、4、8、9、11、12、13。教学内容：一、 高斯消去法（2学时）顺序Gauss消去法,列主元Gauss消去法和全主元Gauss消去法的算法.二、 三角分解法（6学时）各种三角分解形式及条件、分解算法的推导及分解公式。三、 解带状方程组的三角分解法（2学时）大型等带宽方程组的LU分解算法及解三对角方程组的追赶法。四、 范数与方程组的状态（4学时）向量与矩阵的三种范数及相关理论、谱半径,F-范数,条件数的计算及解方程组的误差分析。五、 迭代法（6学时）Jacobi迭代及Gauss-Seidel迭代的分量形式及矩阵形式、一般迭代法收敛的充要条件,充分条件及其证明、按行(列)严格对角占优及SOR迭代收敛的必要条件和充分条件第六章 常微分方程初值问题的数值解法教学要求：通过本章的学习使学生掌握求解常微分方程初值问题数值解的欧拉方法、改进的欧拉方法和标准四阶Runge-Kutta方法，理解自动选取步长和事后估计的思想，了解其收敛性和稳定性。重点：欧拉方法、改进的欧拉方法和Runge-Kutta方法。难点：Runge-Kutta方法的推导过程和各种数值解法的收敛性和稳定性。本章课外作业：第344页，1、2。教学内容：一、 欧拉方法（2学时）Euler方法,梯形公式和改进的Euler公式的截断误差及其推导。二、 龙格库塔法（4学时）Runge-Kutta法的基本思想及其推导。三、 收敛性与稳定性（2学时）单步法的收敛性及绝对稳定域十、实验部分： 一、蝴蝶效应：用C语言编写不具有数值稳定性的算法程序进行计算,体验蝴蝶效应,同时编写具有数值稳定性的算法程序进行计算,比较计算结果.（2学时）；二、插值与逼近：用C语言编写程序进行Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值、三次样条插值及最佳平方逼近和曲线拟合（10学时）；三、数值积分与数值微分：用C语言编写利用Newton-Cotes公式、复化求积公式、Romberg求积法及Guass型求积公式求定积分近似值的程序并上机进行计算（6学时）；四、非线性方程的数值解法：用C语言编写求解非线性方程的二分法、简单迭代法、牛顿迭代法和弦截法程序并上机进行计算（4学时）；五、线性代数方程组的数值解法：用C语言编写高斯顺序消去法、列主元素消去法、LU分解（包括Doolittle分解、Crout分解）、对称正定方程组的平方根法和LDLT分解、解三对角方程组的追赶法以及Jacobi迭代、Seidel迭代法和逐次超松驰迭代法解线性代数方程组的程序（10学时）；六、常微分方程初值问题的数值解法：用C语言编写求解常微分方程初值问题数值解的欧拉方法、改进的欧拉方法和标准四阶Runge-Kutta方法的程序（4学时）十一、教材及主要教学参考书： 沈剑华，数值计算基础(第二版)，上海：同济大学出版社，2004颜庆津，数值分析，北京：北京航空航天大学出版社，2000王仁宏，数值逼近，北京：高等教育出版社，1999谭浩强, C程序